Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Начертить четырёхугольник разделить его двумя отрезками на 8 треугольников?

Математика | 10 — 11 классы

Начертить четырёхугольник разделить его двумя отрезками на 8 треугольников.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Надо с угла в угл и с верху вниз.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Содержание
  1. Раздели прямоугольник двумя отрезками так, чтобы получилось 8 треугольников?
  2. Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников?
  3. Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так чтобы получилось 8 треугольников?
  4. Начерти треугольник и подели его двумя отрезками на 3 треугольника?
  5. Как разделить прямоугольник двумя отрезками на один четырехугольник и на два треугольника?
  6. Как разделить треугольник на 5 треугольников двумя отрезками?
  7. Как разделить трапецию двумя отрезками, чтобы получилось 4 треугольника?
  8. Шестиугольник поделить двумя отрезками, чтобы получилось три треугольника, четыре четырёхугольника и пятиугольник?
  9. Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников?
  10. Начерти прямоугольники и раздели двумя линиями 4 треугольник?
  11. ГДЗ по математике 2 класс учебник Рудницкая, Юдачева часть 1 Страница 99-106
  12. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  13. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  14. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  15. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  16. Параллелограмм
  17. Параллелограмм и его свойства
  18. Признаки параллелограмма
  19. Прямоугольник
  20. Признак прямоугольника
  21. Ромб и квадрат
  22. Свойства ромба
  23. Трапеция
  24. Средняя линия треугольника
  25. Средняя линия трапеции
  26. Координаты середины отрезка
  27. Теорема Пифагора
  28. Справочный материал по четырёхугольнику
  29. Пример №1
  30. Признаки параллелограмма
  31. Пример №2 (признак параллелограмма).
  32. Прямоугольник
  33. Пример №3 (признак прямоугольника).
  34. Ромб. Квадрат
  35. Пример №4 (признак ромба)
  36. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  37. Пример №5
  38. Пример №6
  39. Трапеция
  40. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  41. Центральные и вписанные углы
  42. Пример №8
  43. Вписанные и описанные четырёхугольники
  44. Пример №9
  45. Пример №10
  46. 🔍 Видео

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Раздели прямоугольник двумя отрезками так, чтобы получилось 8 треугольников?

Раздели прямоугольник двумя отрезками так, чтобы получилось 8 треугольников.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников?

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Геометрия. 8 класс. Площади четырёхугольников и треугольников /19.01.2021/Скачать

Геометрия. 8 класс. Площади четырёхугольников и треугольников /19.01.2021/

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так чтобы получилось 8 треугольников?

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так чтобы получилось 8 треугольников.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачи

Начерти треугольник и подели его двумя отрезками на 3 треугольника?

Начерти треугольник и подели его двумя отрезками на 3 треугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Это улучшит ПЛАНИРОВКУ: 10 фишек в планировке вашего дома или квартирыСкачать

Это улучшит ПЛАНИРОВКУ: 10 фишек в планировке вашего дома или квартиры

Как разделить прямоугольник двумя отрезками на один четырехугольник и на два треугольника?

Как разделить прямоугольник двумя отрезками на один четырехугольник и на два треугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Как разделить треугольник на 5 треугольников двумя отрезками?

Как разделить треугольник на 5 треугольников двумя отрезками.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Как разрезать треугольник по двум прямым на три части, из которых можно сложить прямоугольник?Скачать

Как разрезать треугольник по двум прямым на три части, из которых можно сложить прямоугольник?

Как разделить трапецию двумя отрезками, чтобы получилось 4 треугольника?

Как разделить трапецию двумя отрезками, чтобы получилось 4 треугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | МатематикаСкачать

Урок 6. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники. ОГЭ. Вебинар | Математика

Шестиугольник поделить двумя отрезками, чтобы получилось три треугольника, четыре четырёхугольника и пятиугольник?

Шестиугольник поделить двумя отрезками, чтобы получилось три треугольника, четыре четырёхугольника и пятиугольник.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать

Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников?

Начерти любой четырёхугольник и проведи в нём 2 отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Начерти прямоугольники и раздели двумя линиями 4 треугольник?

Начерти прямоугольники и раздели двумя линиями 4 треугольник.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Начертить четырёхугольник разделить его двумя отрезками на 8 треугольников?, относящийся к уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Вот. И это всё? Может ещё формулы.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Я изобразил Куб с ребром 2см Эт изи а дальше идкт формулы Но ты иx знаешь .

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

1)46 — 9 = 37(ост. ) — после того как съел папа а второе действие я не знаю. Потому что скорее всего тут не полное условие задачи.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

(2, 43 – 4 / 5) / 1 / 40 — (1 10 / 25 + 4. 36) / 6 = (2, 43 — 0, 8) : 0, 025 — (1, 4 (если 1 целая 10 25) + 4, 36) = 65, 2 — 5, 76 = 59, 44.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Точка пересечения диагоналей делит их пополам, а эти половинки равны ещё и сторонам. Т. е. Искомый тр — к равносторонний. , а все углы в нм по 60.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

18 / 17 = 1 1 / 17 17 / 15 = 1 2 / 15 1, 1 = 1 1 / 10Чтобы сравнивать дроби, нужно привести их к общему знаменателю1 1 / 17 = 1 30 / 510 1 2 / 15 = 1 68 / 510 1 1 / 10 = 1 51 / 51018 / 17 Какое из слудующих чисел хаключено между 18 / 17 и 17 / 15?

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Сначала цену снизили на 50 процентов т. Е. наполовину значит товар стал стоить 500р. Потом понизили ещё на 5 процентов это на 500 * 5 : 100 = 25 р 500 — 25 = 475р стал стоить товар.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

— 7 / 11 * 1 5 / 17 : ( — 0, 75) = 1ц. 5 / 51, 1) — 7 / 11 * 1 5 / 17 = — 7 / 11 * 22 / 17 = — 14 / 17, 2) — 14 / 17 : ( — 0, 75) = 14 / 17 : 3 / 4 = 14 / 17 * 4 / 3 = 56 / 51 = 1ц. 5 / 51.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

ГДЗ по математике 2 класс учебник Рудницкая, Юдачева часть 1 Страница 99-106

05.10.2021, 15:54

Страница 99

1. Сколько на столе пирожных?
Как решил задачу Волк и как — Заяц? Кто из них быстрее справился с задачей? Почему?

Ответ:
Волк решил так:
1. сложил пирожные на первой тарелке с пирожными на второй тарелке.
2. сумму пирожных на двух тарелках сложил с пирожными на третьей тарелке.
3. сумму пирожных на трех тарелках сложил с пирожными на четвертой тарелке.
4. сумму пирожных на четырех тарелках сложил с пирожными на пятой тарелке.
5. сумму пирожных на пяти тарелках сложил с пирожными на шестой тарелке.
6. сумму пирожных на шести тарелках сложил с пирожными на седьмой тарелке.
7. сумму пирожных на семи тарелках сложил с пирожными на восьмой тарелке
2 + 2 = 4 пирожных — на двух тарелках
4 + 2 = 6 пирожных — на трех тарелках
6 + 2 = 8 пирожных — на четырех тарелках
8 + 2 = 10 пирожных — на пяти тарелках
10 + 2 = 12 пирожных — на шести тарелках
12 + 2 = 14 пирожных — на семи тарелках
14 + 2 = 16 пирожных — на восьми тарелках
Заяц умножил количество пирожных на одной тарелке на количество тарелок.
2 • 8 = 16 пирожных — на восьми тарелках
Поэтому Заяц справился с заданием быстрее, чем волк.

Страница 100

2. Объясни, как сделаны записи.
2 • 2 = 4 2 • 3 = 6 2 • 4 = 8
Ответ:
Количество фишек в одном ряду умножили на количество рядов:
На 1 рисунке: 2 фишки в одном ряду умножили на 2 ряда получили 4 фишки.
На 2 рисунке: 2 фишки в одну ряду умножили на 3 ряда получили 6 фишек.
На 3 рисунке: 2 фишки в одном ряду умножили на 4 ряда получили 8 фишек.

3. Сколько рядов с двумя фишками надо взять, чтобы умножить 2 на 0?
Сколько фишек должно быть в ряду, чтобы умножить 0 на 2? Какой результат получится, если взять это число фишек два раза?

Ответ:
Чтобы умножить 2 на 0, нужно взять 0 рядов по 2 фишки (2 • 0 = 0).
Чтобы умножить 0 на 2, должно быть 2 ряда по 0 фишек (0 • 2 = 0).
Если взять 0 фишек два раза, то получится 0 (0 • 0 = 0).

4. Найди результаты умножения.
2 • 5 2 • 8
2 • 6 2 • 9
2 • 7 2 • 4

Ответ:
2 • 5 = 10
2 • 6 = 12
2 • 7 = 14
2 • 8 = 16
2 • 9 = 18
2 • 4 = 8

5. Сравни результаты умножения, используя калькулятор.
2 • 6 и 6 • 2 3 • 2 и 2 • 3
9 • 2 и 2 • 9 2 • 1 и 1 • 2

Сделай вывод.
Ответ:
2 • 6 = 12 6 • 2 = 12
9 • 2 = 18 2 • 9 = 18
3 • 2 = 6 2 • 3 = 6
2 • 1 = 2 1 • 2 = 2
Можно сделать вывод, что от перемены мест множителей произведение не меняется.

6. Используя таблицу умножения числа 2, составь и запиши таблицу умножения на число 2.
Ответ:
2 • 1 = 2
2 • 2 = 4
2 • 3 = 6
2 • 4 = 8
2 • 5 = 10
2 • 6 = 12
2 • 7 = 14
2 • 8 = 16
2 • 9 = 18
2 • 10 = 20

7. Назови результаты умножения.
6 • 2 4 • 2 7 • 2 9 • 2
8 • 2 3 • 2 1 • 2 5 • 2

Ответ:
6 • 2 = 12
8 • 2 = 16
4 • 2 = 8
3 • 2 = 6
7 • 2 = 14
1 • 2 = 2
9 • 2 = 18
5 • 2 = 10

Страница 101

8. В каждый из 6 кувшинов налили 2 стакана молока. Сколько молока в этих кувшинах?
Ответ:
6 • 2 = 12 стаканов — молока в 6 кувшинах

9. На каждую из 8 тарелок положили 2 куска торта. Сколько кусков торта на этих тарелках?
Ответ:
8 • 2 = 16 кусков — торта на 8 тарелках

10. Из бочки, в которой было 40 л воды, взяли 2 раза по 9 л. Сколько литров воды осталось?
Ответ:
1) 2 • 9 = 18 литров — воды взяли из бочки
2) 40 — 18 = 22 литра — воды осталось

11. Пять цыплят склевали по 2 червяка, а шестой — 3 червяка. Сколько червяков склевали цыплята?
Ответ:
1) 5 • 2 = 10 червяков — склевали 5 цыплят
2) 10 + 3 = 13 червяков — склевали 6 цыплят

12. На сколько квадратов разделён каждый четырёхугольник? Посчитай разными способами.
Ответ:
Желтый четырехугольник.
1 способ: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 квадратов
2 способ: 2 + 2 + 2 = 6 квадратов
3 способ: 3 + 3 = 6 квадратов
4 способ: 2 • 3 = 6 квадратов
5 способ: 3 • 2 = 6 квадратов

Зеленый четырехугольник.
1 способ: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 18 квадратов
2 способ: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 квадратов
3 способ: 9 + 9 = 18 квадратов
4 способ: 2 • 9 = 18 квадратов
5 способ: 9 • 2 = 18 квадратов

13. Используя таблицу умножения на 2, выполни деление.
6 : 2 14 : 2 4 : 2 12 : 2
10 : 2 16 : 2 8 : 2 18 : 2

Ответ:
6 : 2 = 3
10 : 2 = 5
14 : 2 = 7
16 : 2 = 8
4 : 2 = 2
8 : 2 = 4
12 : 2 = 6
18 : 2 = 9

Страница 102

14. Выполни действия.
6 • 2 2 • 8 7 • 2 9 • 2
12 : 2 16 : 2 14 : 2 18 : 2

Ответ:
6 • 2 = 12
12 : 2 = 6
2 • 8 = 16
16 : 2 = 8
7 • 2 = 14
14 : 2 = 7
9 • 2 = 18
18 : 2 = 9

15. Какое число получится, если умножить 0 на 2 и разделить результат на 2?
Ответ:
0 • 2 = 0 0 : 2 = 0

16. На 2 блюдца разложили поровну 6 слив. Сколько слив на каждом блюдце?
Ответ:
6 : 2 = 3 сливы — на каждом блюдце

17. Для бутербродов нарезали 8 ломтиков сыра. На один бутерброд кладут 2 ломтика. Хватит ли нарезанного сыра для приготовления шести бутербродов?
Ответ:
1) 8 : 2 = 4 бутерброда получится из 8 ломтиков сыра
2) 2 • 6 = 12 ломтиков — сыра нужно для 6 бутерброд
3) 12 — 8 = 4 ломтика — сыра не хватает
Следовательно, 8 ломтиков сыра не хватит для приготовления шести бутербродов.

18. Из данных задач выбери и реши только задачу на деление.
1) В столовой за один стол сели 4 ребёнка, а за другой — 2. Сколько всего детей село за два стола?
2) Четверо туристов расселись в лодки по 2 человека. Сколько лодок заняли туристы?
3) Четыре подружки съели по 2 плюшки. Сколько плюшек съели подружки?

Ответ:
Четверо туристов расселись в лодки по 2 человека. Сколько лодок заняли туристы?
4 : 2 = 2 лодки — заняли туристы

Страница 103

19. У Коли 10 марок. Половину этих марок он подарил Пете. Сколько марок Коля подарил Пете?
Ответ:
10 : 2 = 5 марок — Коля подарил Пете

20. На прогулку вывели 10 собак. Половина этих собак — овчарки, а остальные — пудели. Сколько вывели пуделей?
Ответ:
1) 10 : 2 = 5 собак — овчарки
2) 10 — 5 = 5 собак — пудели

21. Половина цветов в букете — колокольчики, остальные 7 — ромашки. Сколько цветов в букете?
Ответ:
Если колокольчики составляют половину букета, а остальные — ромашки. То колокольчиков такое же количество как и ромашек — 7.
7 + 7 = 14 цветов — в букете
или 7 • 2 = 14 цветов — в букете

22. В сквере растут липы и каштаны. Липы составляют половину всех деревьев. Сколько в сквере деревьев, если лип 9?
Ответ:
Если липы составляют половину всех деревьев, то каштаны составляют вторую половину деревьев. Значит, каштанов такое же количество как и лип — 9.
9 + 9 = 18 — деревьев в сквере
или 9 • 2 = 18 — деревьев в сквере

23. Назови результаты действий.
6 + 4 15 — 9 12 — 7 4 + 5
11 — 5 3 + 8 9 + 2 11 — 5
8 + 7 18 — 9 14 — 8 9 + 0
13 — 4 5 + 6 7 + 7 12 — 8

Ответ:
6 + 4 = 10 15 — 9 = 6 12 — 7 = 4 4 + 5 = 9
11 — 5 = 6 3 + 8 = 11 9 + 2 = 11 11 — 5 = 6
8 + 7 = 15 18 — 9 = 9 14 — 8 = 6 9 + 0 = 9
13 — 4 = 9 5 + 6 = 11 7 + 7 = 14 12 — 8 = 4

Страница 104

24. Вычисли.
(45 + 38) — 54
96 — (63 — 36)
(100 — 67) + 15
74 + (8 + 18)

Ответ:
(45 + 38) — 54 = 83 — 54 = 29
96 — (63 — 36) = 96 — 27 = 69
(100 — 67) + 15 = 33 + 15 = 48
74 + (8 + 18) = 74 + 26 = 100

25. Катя хочет надеть на куклу блузку и юбку. Сколько разных костюмов она может составить, если имеется 2 юбки и 3 блузки?
Действуй по плану.
1) Выбери одну из двух юбок и присоединяй к ней по порядку каждую из трёх блузок.
2) Ко второй юбке присоединяй по порядку каждую из трёх блузок.
Проверь своё решение: всего должно получиться 6 костюмов.

Ответ:
1) Юбка в складку и бело-зеленая блузка, юбка в складку и белая в розовую полоску блузка, юбка в складку и желтая с цветами блузка.
2) Джинсовая юбка и бело-зеленая блузка, джинсовая юбка и белая в розовую полоску блузка, ​​​​​​​джинсовая юбка и желтая с цветами блузка.
Да, всего получится 6 костюмов.

26. Начерти два отрезка так, чтобы их общей частью была точка. Рассмотри разные варианты расположения отрезков.
Ответ:
Разделить четырехугольник на 8 треугольников

27. Начерти окружность и луч так, чтобы луч пересекал эту окружность в одной точке; в двух точках.
Ответ:
Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Страница 105.

28. Миша говорит, что он начертил отрезки, симметричные относительно оси. Верно ли Миша выполнил чертёж?
Ответ:
Если перегнуть лист по оси (красной линии), то отрезки должны совпасть. В данном случае отрезки не совпадут, а будут параллельны друг другу. Поэтому Миша выполнил чертеж не верно.

29. Начерти какую-нибудь окружность с центром в точке О. Отметь три точки: точку К — вне окружности, точку В — на окружности и точку М — внутри окружности. Построй отрезки ОК, ОВ и ОМ. Не производя измерений, сравни длины отрезков ОК и ОВ, ОК и ОМ, ОВ и ОМ. Свои ответы поясни.
Ответ:
Разделить четырехугольник на 8 треугольников
Отрезок OB находится на окружности, т.е. является ее радиусом, а отрезок OK находится за пределами окружности, поэтому ОК>ОВ
Отрезок OK находится за пределами окружности, а отрезок OM внутри окружности, поэтому ОК>ОМ
Отрезок OB равен радиусу, а отрезок OM внутри окружности, т.е. меньше радиуса, поэтому ОВ>ОМ

30. Найди неизвестные числа.
Число 42 меньше неизвестного числа на 19. Чему равно неизвестное число?
Число 63 больше неизвестного числа на 24. Чему равно неизвестное число?
Коля задумал двузначное число. В нём 10 десятков без 9 единиц. Какое это число?

Ответ:
Число 42 меньше неизвестного числа на 19. Чему равно неизвестное число?
Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Число 63 больше неизвестного числа на 24. Чему равно неизвестное число?
Разделить четырехугольник на 8 треугольников
​​​​​​​
Коля задумал двузначное число. В нём 10 десятков без 9 единиц. Какое это число?
10 десятков = 100
9 единиц = 9
А 10 десятков без 9 единиц, т.е. надо из 100 вычесть 9
Разделить четырехугольник на 8 треугольников

31. Выполни действия.
57 + 20 60 + 30 38 — 22
67 — 9 27 + 17 100 — 23
35 + 27 72 — 7 46 + 48
83 — 40 83 — 21 54 + 39

Ответ:

32. У Маши 40 рублей, а у Кати на 16 рублей больше. Девочки купили на все деньги одну игрушку. Какова её цена?
Ответ:
1) 40 + 16 = 56 рублей — у Кати
2) 40 + 56 = 96 рублей — цена игрушки

Страница 106

33. Составь цепочку из пяти чисел: первое число 15, а каждое следующее на 20 больше предыдущего.
Ответ:
15 + 20 = 35 35 + 20 = 55 55 + 20 = 75 75 + 20 = 95
Цепочка: 15, 35, 55, 75, 95

34. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза одну и ту же линию, обведи каждую фигуру.
Ответ:

35. Начерти какой-нибудь четырёхугольник. Проведи отрезок так, чтобы он разделил данный четырёхугольник:
1) на два треугольника;
2) на треугольник и четырёхугольник.

Ответ:
Разделить четырехугольник на 8 треугольников ​​​​​​​

36. Измерь длины сторон многоугольников и найди периметры этих фигур двумя способами.
Ответ:

37. Начерти от руки треугольник, квадрат, круг, пятиугольник.
Ответ:
​​​​​​​Самостоятельное выполнение

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

8 класс, 7 урок, Прямоугольник

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Разделить четырехугольник на 8 треугольниковуглы Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляются внешними.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Разделить четырехугольник на 8 треугольниковГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Разделить четырехугольник на 8 треугольниковРазделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Разделить четырехугольник на 8 треугольниковДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Разделить четырехугольник на 8 треугольниковРазделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Разделить четырехугольник на 8 треугольниковто параллелограмм Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляется ромбом.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство теоремы 1.

Дано: Разделить четырехугольник на 8 треугольниковромб.

Докажите, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство (словестное): По определению ромба Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Разделить четырехугольник на 8 треугольниковравнобедренный. Медиана Разделить четырехугольник на 8 треугольников(так как Разделить четырехугольник на 8 треугольников), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТак как Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляется прямым углом, то Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Аналогичным образом можно доказать, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

План доказательства теоремы 2

Дано: Разделить четырехугольник на 8 треугольниковравнобедренная трапеция. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Докажите: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Разделить четырехугольник на 8 треугольниковтогда Разделить четырехугольник на 8 треугольниковЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпроведем параллельную прямую к прямой Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Разделить четырехугольник на 8 треугольниковчерез точку Разделить четырехугольник на 8 треугольников— середину стороны Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпроведите прямую параллельную Разделить четырехугольник на 8 треугольниковКакая фигура получилась? Является ли Разделить четырехугольник на 8 треугольниковтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Разделить четырехугольник на 8 треугольниковМожно ли утверждать, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Пусть дан треугольник Разделить четырехугольник на 8 треугольникови его средняя линия Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПроведём через точку Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпрямую параллельную стороне Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Разделить четырехугольник на 8 треугольниковт.е. совпадает со средней линией Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТ.е. средняя линия Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпараллельна стороне Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТеперь проведём среднюю линию Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТ.к. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковто четырёхугольник Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПо теореме Фалеса Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТогда Разделить четырехугольник на 8 треугольниковТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство: Через точку Разделить четырехугольник на 8 треугольникови точку Разделить четырехугольник на 8 треугольниковсередину Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Разделить четырехугольник на 8 треугольниковчерез Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Разделить четырехугольник на 8 треугольниковрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Разделить четырехугольник на 8 треугольниковЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Разделить четырехугольник на 8 треугольникови Разделить четырехугольник на 8 треугольникови точка Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкоторая является серединой отрезка Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольниковто Разделить четырехугольник на 8 треугольникова отсюда следует, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

2) По теореме Фалеса, если точка Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляется серединой отрезка Разделить четырехугольник на 8 треугольниковто на оси абсцисс точка Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Разделить четырехугольник на 8 треугольникови Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

3) Координаты середины отрезка Разделить четырехугольник на 8 треугольниковс концами Разделить четырехугольник на 8 треугольникови Разделить четырехугольник на 8 треугольниковточки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковнаходятся так:

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Разделить четырехугольник на 8 треугольниковто, Разделить четырехугольник на 8 треугольников— прямоугольный.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Разделить четырехугольник на 8 треугольниковявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Разделить четырехугольник на 8 треугольниковтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Разделить четырехугольник на 8 треугольниковРазделить четырехугольник на 8 треугольников

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Разделить четырехугольник на 8 треугольников, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Разделить четырехугольник на 8 треугольников=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Разделить четырехугольник на 8 треугольников+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Решение:

Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Разделить четырехугольник на 8 треугольников(АВ CD, ВС-секущая), Разделить четырехугольник на 8 треугольников(ВС || AD, CD — секущая), Разделить четырехугольник на 8 треугольников(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Разделить четырехугольник на 8 треугольников

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Разделить четырехугольник на 8 треугольников Разделить четырехугольник на 8 треугольниковУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Разделить четырехугольник на 8 треугольниковНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Разделить четырехугольник на 8 треугольниковНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Разделить четырехугольник на 8 треугольниковМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Разделить четырехугольник на 8 треугольников. По свойству углов четырёхугольника, Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Следовательно, Разделить четырехугольник на 8 треугольников: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо двум сторонами и углу между ними.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Разделить четырехугольник на 8 треугольников

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Разделить четырехугольник на 8 треугольникови Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПри помощи циркуля сравните длины отрезков Разделить четырехугольник на 8 треугольниковСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Проведём через точки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпрямые Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпараллельные ВС. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпо условию, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Разделить четырехугольник на 8 треугольникови Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак противоположные стороны параллелограммов Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Разделить четырехугольник на 8 треугольниковПроведём прямую Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Через точки Разделить четырехугольник на 8 треугольниковпроведём прямые, параллельные прямой Разделить четырехугольник на 8 треугольников. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Разделить четырехугольник на 8 треугольников, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Разделить четырехугольник на 8 треугольников. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Разделить четырехугольник на 8 треугольников. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольников. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРРазделить четырехугольник на 8 треугольников, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Разделить четырехугольник на 8 треугольников= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак вертикальные, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Разделить четырехугольник на 8 треугольниковравнобедренный. Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольниковсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Разделить четырехугольник на 8 треугольниковРазделить четырехугольник на 8 треугольников

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Разделить четырехугольник на 8 треугольников— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Разделить четырехугольник на 8 треугольников. По свойству внешнего угла треугольника, Разделить четырехугольник на 8 треугольниковРазделить четырехугольник на 8 треугольников— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольниковизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Из доказанного в первом случае следует, что Разделить четырехугольник на 8 треугольниковизмеряется половиной дуги AD, a Разделить четырехугольник на 8 треугольников— половиной дуги DC. Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольниковизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Разделить четырехугольник на 8 треугольниковкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Разделить четырехугольник на 8 треугольников, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Разделить четырехугольник на 8 треугольников(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Тогда Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Докажем, что Разделить четырехугольник на 8 треугольников. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Разделить четырехугольник на 8 треугольников. По свойству равнобокой трапеции, Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Тогда Разделить четырехугольник на 8 треугольникови, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Разделить четырехугольник на 8 треугольниковцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Разделить четырехугольник на 8 треугольниковвписанного в окружность. Действительно,

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Следовательно, четырёхугольник Разделить четырехугольник на 8 треугольников— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Разделить четырехугольник на 8 треугольников

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Геометрия 8. Урок 5 -Прямоугольник, ромб, квадрат - решение задач.Скачать

Геометрия 8. Урок 5 -Прямоугольник, ромб, квадрат - решение задач.

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: