Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхНапример, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых1) ∆ABD и ∆ACD,

Равновеликие треугольники при параллельных прямых1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых3)

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Равновеликие фигуры

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (299 кБ)

Цели урока: Повторить тему «Площадь параллелограмма». Вывести формулу площади треугольник, ввести понятие равновеликих фигур. Решение задач по теме «Площади равновеликих фигур».

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Ход урока

I. Повторение.

1) Устно по готовому чертежу вывести формулу площади параллелограмма.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

2) Какова зависимость между сторонами параллелограмма и высотами, опущенными на них?

(по готовому чертежу)

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

зависимость обратно пропорциональная.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

3) Найти вторую высоту (по готовому чертежу)

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

4) Найти площадь параллелограмма по готовому чертежу.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

5) Сравните площади параллелограммов S1, S2, S3. (Они имеют равные площади, у всех основание a и высота h).

Определение: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

II. Решение задач.

1) Доказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, делит его на 2 равновеликие части.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

2) В параллелограмме ABCD CF и CE высоты. Доказать, что AD ∙ CF = AB ∙ CE.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

3) Дана трапеция с основаниями a и 4a. Можно ли через одну из её вершин провести прямые, разбивающие трапецию на 5 равновеликих треугольников?

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение: Можно. Все треугольники равновеликие.

4) Доказать, что если на стороне параллелограмма взять точку A и соединить её с вершинами, то площадь получившегося треугольника ABC равна половине площади параллелограмма.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

5) Торт имеет форму параллелограмма. Малыш и Карлсон делят его так: Малыш указывает на поверхности торта точку, а Карлсон по прямой, проходящей через эту точку, разрезает торт на 2 куска и один из кусков забирает себе. Каждый хочет получить кусок побольше. Где Малыш должен поставить точку?

Решение: В точке пересечения диагоналей.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

6) На диагонали прямоугольника выбрали точку и провели через неё прямые, параллельные сторонам прямоугольника. По разные стороны образовались 2 прямоугольника. Сравните их площади.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

III. Изучение темы «Площадь треугольника»

начать с задачи:

«Найти площадь треугольника, у которого основание a, а высота h».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Ребята, используя понятие равновеликих фигур, доказывают теорему.

Достроим треугольник до параллелограмма.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Задание: Начертите равновеликие треугольники.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Используется модель (из бумаги вырезаны 3 цветных треугольника и склеены у оснований).

Упражнение №474. «Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

У треугольников одинаковые основания a и одна и та же высота h. Треугольники имеют одинаковую площадь Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Вывод: Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Вопросы к классу:

  1. Равновелики ли равные фигуры?
  2. Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
  3. Верно ли:
    а) Равносторонние треугольники равновелики?
    б) Равносторонние треугольники с равными сторонами равновелики?
    в) Квадраты с равными сторонами равновелики?
    г) Докажите, что параллелограммы, образованные при пересечении двух полос одинаковой ширины под разными углами наклона друг к другу, равновелики. Найдите параллелограмм наименьшей площади, образующийся при пересечении двух полос одинаковой ширины. (Показать на модели: полоски одинаковой ширины)

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

IV. Шаг вперёд!

На доске написаны задания по выбору:

1. «Разрежьте треугольник двумя прямыми линиями так, чтобы можно было из частей сложить прямоугольник».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

2. «Разрежьте прямоугольник по прямой линии на 2 части, из которых можно сложить прямоугольный треугольник».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

3) В прямоугольнике проведена диагональ. В одном из получившихся треугольников проведена медиана. Найдите соотношения между площадями фигур Равновеликие треугольники при параллельных прямых.

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Ответ: Равновеликие треугольники при параллельных прямых

3. Из олимпиадных задач:

«В четырёхугольнике ABCD точка E- середина AB, соединена с вершиной D, а F – середина CD, с вершиной B. Доказать, что площадь четырёхугольника EBFD в 2 раза меньше площади четырёхугольника ABCD.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение: провести диагональ BD.

Упражнение №475.

«Начертите треугольник ABC. Через вершину В проведите 2 прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на 3 треугольника, имеющие равные площади».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Использовать теорему Фалеса (разделить АC на 3 равные части).

V. Задача дня.

Для неё отвела крайнюю правую часть доски, на которой пишу задачу сегодняшнего дня. Ребята могут решать её, а могут и не решать. На уроке данную задачу мы сегодня не решаем. Просто те, кому они интересны, могут списать её, решить её дома или в перемену. Обычно уже в перемену многие ребята начинают решать задачу, если решили, то показывают решение, и я фиксирую это в специальной таблице. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача).

«В параллелограмме вырезан параллелограмм. Разделите оставшуюся часть на 2 равновеликие фигуры».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение: Секущая AB проходит через точку пересечения диагоналей параллелограммов O и O1.

Дополнительные задачи (из олимпиадных задач):

1) «В трапеции ABCD (AD || BC) вершины A и B соединены с точкой M – серединой стороны CD. Площадь треугольника ABM равна m. Найти площадь трапеции ABCD».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Треугольники ABM и AMK – равновеликие фигуры, т.к. AM – медиана.
S∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, SABCD = S∆ABK = 2m.

2) «В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали пересекаются в точке O. Доказать, что треугольники AOB и COD равновеликие».

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

S∆BCD = S∆ABC, т.к. у них общее основание BC и одинаковая высота.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

3) Сторона АВ произвольного треугольника АВС продолжена за вершину В так, что ВР = АВ, сторону АС за вершину А так, что АМ = СА, сторону ВС за вершину С так, что КС = ВС. Во сколько раз площадь треугольника РМК больше площади треугольника АВС?

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

В треугольнике МВС: МА = АС, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВС. В треугольнике АРМ: ВР = АВ, значит, площадь треугольника ВАМ равна площади треугольника АВР. В треугольнике АРС: АВ = ВР, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника ВРС. В треугольнике ВРК: ВС = СК, значит, площадь треугольника ВРС равна площади треугольника РКС. В треугольнике АВК: ВС = СК, значит, площадь треугольника ВАС равна площади треугольника АСК. В треугольнике МСК: МА = АС, значит, площадь треугольника КАМ равна площади треугольника АСК. Получаем 7 равновеликих треугольников. Значит, Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Ответ: Площадь треугольника МРК в 7 раз больше площади треугольника АВС.

4) Сцепленные параллелограммы.

2 параллелограмма расположены так, как показано на рисунке: они имеют общую вершину и ещё по одной вершине у каждого из параллелограммов лежит на сторонах другого параллелограмма. Доказать, что площади параллелограммов равны.

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Решение:

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхи Равновеликие треугольники при параллельных прямых, значит, Равновеликие треугольники при параллельных прямых

Список использованной литературы:

  1. Учебник «Геометрия 7-9» (авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев (Москва, «Просвещение», 2003).
  2. Олимпиадные задачи разных лет, в частности из учебного пособия «Лучшие задачи математических олимпиад» (составитель А.А. Корзняков, Пермь, «Книжный мир», 1996).
  3. Подборка задач, накопленных за много лет работы.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Равновеликие треугольники при параллельных прямых

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Равновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхРавновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Равновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Равновеликие треугольники при параллельных прямыхДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

📺 Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-13Скачать

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-13

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Равносоставленные и равновеликие фигуры 360pСкачать

Равносоставленные и равновеликие фигуры 360p

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Как найти отрезок через подобие треугольников!? Как помогают параллельные прямые?Скачать

Как найти отрезок через подобие треугольников!? Как помогают параллельные прямые?
Поделиться или сохранить к себе: