Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоСвойства хорд и дуг окружности
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоТеорема о бабочке

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
КругРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
РадиусРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
ХордаРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
ДиаметрРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
КасательнаяРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
СекущаяРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Окружность
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательствоДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаРавенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Пересекающиеся хорды
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство
Пересекающиеся хорды
Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Видео:Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Тогда справедливо равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Доказательство теоремы об отрезках касательных.Скачать

Доказательство теоремы об отрезках касательных.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Отрезки касательных

Рассмотрим, какими свойствами обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

AB=AC Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство∠BAO=∠CAO

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Дано: окружность (O;R),

AB и AC — касательные к окружности (O;R),

B, C — точки касания.

Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Следовательно, треугольники ABO и ACO — прямоугольные. У них

1) катеты OB=OC (как радиусы)

2) гипотенуза OA — общая сторона.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Видео:Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 классСкачать

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Геометрия. 8 класс

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Равенство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказательство

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

💡 Видео

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

Задание 25 Свойство отрезков касательныхСкачать

Задание 25 Свойство отрезков касательных

ОГЭ Задание 24 Свойство отрезков касательныхСкачать

ОГЭ Задание 24 Свойство отрезков касательных

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из

50. Геометрия на ЕГЭ по математике. Теорема об отрезках касательных к окружности.Скачать

50.  Геометрия на ЕГЭ по математике. Теорема об отрезках касательных к окружности.

Свойство отрезков касательныхСкачать

Свойство отрезков касательных

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика
Поделиться или сохранить к себе: