Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Вписанная и описанная окружности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Содержание
  1. Вписанная окружность
  2. Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
  3. Готовые работы на аналогичную тему
  4. Описанная окружность
  5. Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
  6. Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
  7. Существование и единственность вписанной окружности
  8. Вписанная окружность
  9. Свойства вписанной окружности
  10. В треугольник
  11. В четырехугольник
  12. Примеры вписанной окружности
  13. Верные и неверные утверждения
  14. Окружность вписанная в угол
  15. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  16. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  17. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  18. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  19. Вписанная и описанная окружности
  20. Вписанная окружность
  21. Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
  22. Готовые работы на аналогичную тему
  23. Описанная окружность
  24. Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
  25. Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
  26. Вписанная и описанная окружности
  27. 💡 Видео

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Рисунок 1. Вписанная окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Описанная окружность

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Рисунок 3. Описанная окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

Ответ: $frac$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Существование и единственность вписанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная окружность

Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    • Четырехугольник
      Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    • Многоугольник
      Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

    8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    что и требовалось доказать.

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    что и требовалось доказать.

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    a, b, c – стороны треугольника,
    S – площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    ФигураРисунокФормулаОбозначения
    Произвольный треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Равнобедренный треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Равносторонний треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Прямоугольный треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Произвольный треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Равнобедренный треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Равносторонний треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Прямоугольный треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности
    Произвольный треугольник
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности.

    Равнобедренный треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Равносторонний треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольникТеорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Теорема о существовании и единственности вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    с помощью формулы Герона получаем:

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    что и требовалось.

    Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    что и требовалось.

    Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

    Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

    В силу теоремы 3 справедливы равенства

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

    Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Вписанная и описанная окружности

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

    Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

    Вписанная окружность

    Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

    Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Рисунок 1. Вписанная окружность

    Видео:#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

    Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

    В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

    Теорема доказана.

    Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

    Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Видео:Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

    Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3

    Описанная окружность

    Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

    Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Рисунок 3. Описанная окружность

    Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

    Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

    Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

    Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

    Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

    Теорема доказана.

    Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

    Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $ ^0$.

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $ ^0$, то около него можно описать окружность.

    Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

    Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

    В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

    Решение.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $ ^2= ^2- ^2, BM=sqrt ^2-frac >=sqrt =sqrt =3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

    Ответ: $frac $.

    Получи деньги за свои студенческие работы

    Курсовые, рефераты или другие работы

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

    Видео:ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

    ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

    Вписанная и описанная окружности

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Теорема о существовании и единственности вписанной окружности

    В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

    Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

    💡 Видео

    Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

    Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)
    Поделиться или сохранить к себе: