Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и в начертательной геометрии определяется графически согласно следующему алгоритму.

  1. Плоскость переводят в проецирующее положение с помощью методов преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки на плоскость опускают перпендикуляр и находят его длину. Направление проекции перпендикуляра определяется на основании теоремы о проецировании прямого угла.

Рассмотрим, как реализуется составленный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже представлены графические построения, необходимые для определения расстояния между точкой N и плоскостью α, заданной треугольником ABC.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

  • Через вершину B» треугольника A»B»C» проводим проекцию h» горизонтали h. По линиям связи находим h’.
  • Переводим ABC в проецирующее положение. Для этого перпендикулярно h вводим новую фронтальную плоскость П4. Проецируем на неё точку N и треугольник ABC.
  • Из точки N»1 проводим N»11 ⊥ A»11. Длина отрезка N»11 – искомое расстояние между плоскостью треугольника ABC и точкой N.

Требуется определить величину расстояния между точкой K и плоскостью β, заданной следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости проводить линию уровня, так как её роль выполняет проекция h.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

  • Переводим плоскость β в проецирующее положение. Для этого перпендикулярно следу h0β вводим дополнительную фронтальную плоскость П4. На прямой f0β берем произвольную точку E, определяем её проекции E», E’ и E»1. Через E»1 и X0α1 проводим прямую f0β1, которая является следом плоскости β на П4. По линии связи определяем проекцию K»1 точки K.
  • Из K»1 проводим перпендикуляр K»11 в направлении прямой f0β1. Длина отрезка K»11 – величина искомого расстояния от K до β.

Если требуется перевести отрезок KM в исходную систему плоскостей, то это делается с помощью обратных преобразований, как показано на следующем рисунке.

Содержание
  1. Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами
  2. Решение метрических задач методами преобразовании проекций
  3. Четыре основных задачи преобразовании проекций
  4. Способ вращения
  5. Способ плоскопараллельного перемещения
  6. Способ замены плоскостей проекций
  7. Способ плоскопараллельного перемещения
  8. Способ замены плоскостей проекций
  9. Метрические задачи
  10. Определение расстояний между геометрическими объектами
  11. Перпендикулярность плоскостей
  12. Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями
  13. Примеры метрических задач
  14. Теорема о проекциях прямого угла
  15. Линии наибольшего наклона плоскости
  16. Перпендикулярность прямой и плоскости
  17. Взаимная перпендикулярность плоскостей
  18. Определение метрических задач
  19. Определение длины отрезка
  20. Определение площади треугольника
  21. Проецирование прямого угла
  22. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  23. Перпендикулярность прямой и плоскости
  24. Расстояние от точки до плоскости
  25. Перпендикулярность плоскостей
  26. Определение натуральных величин геометрических элементов
  27. Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)
  28. Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V
  29. Метрические задачи
  30. Расстояние от точки до прямой и плоскости
  31. Расстояние от точки до прямой общего положения
  32. Расстояние от точки до плоскости особого положения
  33. Расстояния от точки до плоскости общего положения
  34. Расстояние между параллельными плоскостями, прямой и плоскостью. Расстояние между двумя прямыми
  35. Угол между прямой и плоскостью, двумя плоскостями
  36. Метрические и позиционные задачи
  37. Длина дуги кривой линии
  38. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой
  39. Эквидистанта кривой
  40. Расстояние от точки до кривой линии и поверхности
  41. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью
  42. Пересечение кривой линии с плоскостью
  43. 🔥 Видео

Видео:Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекции

Решение метрических задач в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур.

Определение натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций методом прямоугольною треугольника Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка от той плоскости, на которой ведется построение. При этом угол между гипотенузой и катетом проекций является углом наклона отрезка к той плоскости, ряльной величины выполнено на горизонтальной проекции. Поэтому одним катетом прямоугольного треугольника, является горизонтальная проекцияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриято построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Видео:Расстояние от точки до плоскостиСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Решение метрических задач методами преобразовании проекций

Положении геометрических образов, при которых расстоянии и углы не искажаются на плоскостях проекций

Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций.

Приведем некоторые из них.

1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия— угол наклона к плоскостиРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7) Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи.

Для такого перехода и служат способы преобразования проекций.

Существует несколько способов преобразовании проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.

Четыре основных задачи преобразовании проекций

Этими способами решаются четыре основные задачи:

  • Задача 1. Прямую общего положения преобразуем в линию уровня (одно преобразование).
  • Задача 2. Прямую общего положения преобразуем в проецирующую (два преобразования)
  • Задача 3. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (одно преобразование)
  • Задача 4. Плоскость общего положения преобразуем в плоскость уровня (два преобразования)

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразовании проекций методом вращении, плоскопараллельного перемещении и замены плоскостей проекций

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что геометрические образы вращаются вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций до занятия ими какого-либо частного положения относительно плоскостей проекций. При этом одна проекция точки перемещается по окружности, вторая — но прямой параллельной оси проекций.

На рисунке 3.10 вокруг осиРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриявращаем отрезок ЛВ до положения параллельного плоскостиРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(1 задача). Далее вращением вокруг осиРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияполученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНа Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияотрезок с проецируется в точку Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриядолжно быть равно по величина Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриянаходим в пересечении вертикальных линий связи и линий Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпараллельных оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(1 задача). Далее отрезок Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперемещаем до положения перпендикулярного оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияПри этом Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНа фронтальной проекции отрезок с проецируется в точку Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(2 задача).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси.

На рисунке 3.12 произведена первая замена плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриязаменена на новую фронтальную плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпараллельную прямой АВ. При этом новая ось Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроводится параллельно проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЛинии связи проводятся перпендикулярно оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияи на них от Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияоткладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую. Для этого проводим новую ось Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярно проекцииРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Т.к. Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпараллельна оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, расстояние до проекций Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриябудет одинаковое и прямая спроецируется в точку Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(2 задача)

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразовании проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций

Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций.

Способ плоскопараллельного перемещения

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияДалее Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриярасполагаем перпендикулярно оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОткладываем на ней отрезок Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияи циркулем строим треугольник Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияравный по величине Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНа фронтальной проекции треугольник проецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриярасположить параллельно оси Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпри этом на горизонтальной проекции треугольник проецируется в натуральную величину (4-я задача)

Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроводим перпендикулярно горизонтали Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриятогда на новую фронтальную плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриятреугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпровести параллельно плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНа новую плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриятреугольник спроецируется в натуральную величину.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Метрические задачи

Метрические задачи — это задачи на определение линейных или угловых размеров геометрических объектов, а также расстояний и углов между ними.

Главным вопросом метрических задач является вопрос о построении перпендикуляра к прямой или плоскости. Построение взаимно перпендикулярных прямых было рассмотрено ранее.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве этих пересекающихся прямых наиболее целесообразно использовать горизонталь и фронталь плоскости. Это объясняется тем, что только в этом случае прямой угол будет проецироваться в натуральную величину на соответствующие плоскости проекций. На рисунке 5.1 приведен пространственный чертеж, на котором из плоскости а (из точки А) восстановлен перпендикуляр АВ. Из приведенного изображения можно выяснить методику построения проекций перпендикуляра к плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикуляра проводится перпендикулярно фронтальной проекции фронтали или фронтальному следу плоскости. Таким образом, необходимо выполнить следующий алгоритм проведения проекций перпендикуляра к плоскости:

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Построение перпендикуляра к плоскость и восстановление перпендикуляра из плоскости называется прямой задачей, а построение плоскости, перпендикулярной к прямой — обратной задачей. Обе задачи решаются по одному и тому же вышеописанному алгоритму. При этом плоскость, перпендикулярную заданной прямой, можно задать следами или пересекающимися горизонталью и фронталью.

На рисунке 5.2 показано решение прямой (а) и обратной (б) задач. В прямой задаче из точки A треугольника AВС восстановлен перпендикуляр, в обратной задаче через точку К проведена плоскость, перпендикулярная прямой АВ. Плоскость задана пересекающимися горизонталью и фронталью.

Здесь же приведены примеры прямой и обратной задач, если плоскость задана следами. В прямой задаче (в) из точки Л построен перпендикуляр на плоскость, в обратной (г) — через точку К проведена плоскость перпендикулярно прямой АВ. Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Определение расстояний между геометрическими объектами

Среди этих задач можно выделить следующие задачи: расстояние от точки до плоскости, расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние между двумя параллельными плоскостями и другие. В общем случае все задачи сводятся к определению расстояний между двумя точками.

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, необходимо выполнить ряд логических действий:

  1. Из точки опустить перпендикуляр на заданную плоскость;
  2. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  3. Определить НВ расстояния между заданной и найденной точками.

Задача на определение расстояния от точки до прямой решается по следующему плану:

  1. Через точку к провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
  2. Найти точку встречи М заданной прямой с проведенной плоскостью;
  3. Соединить полученные точки (это будет перпендикуляр из точки на прямую);
  4. Определить НВ перпендикуляра.

Пространственная модель решения второй задачи представлена на рисунке 5.3. Рассмотренная задача относится также к задачам на перпендикулярность двух прямых.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Другие упомянутые задачи на определение расстояний легче решаются методами преобразования эпюра, которые будут рассмотрены в последующих разделах.

Перпендикулярность плоскостей

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если она содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости (рисунок 5.4а). Таким образом, для того, чтобы провести плоскость, перпендикулярную другой, необходимо сначала провести перпендикуляр к заданной плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На рисунке 5.46 представлена задача: через точку К провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника AВС. Искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна заданной плоскости.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Если две плоскости являются одноименными плоскостями частного положения (например, горизонтально- или фронтально-проецирующими), то при перпендикулярности плоскостей их собирательные следы будут перпендикулярны друг другу (рисунок 5.4в,г).

Если плоскости являются плоскостями общего положения, то при их перпендикулярности одноименные следы не будут взаимно перпендикулярны. Другими словами, перпендикулярность одноименных следов плоскостей общего положения не является достаточным условием для перпендикулярности самих плоскостей.

Определение углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Определение углов между геометрическими объектами является трудоемкой задачей, если её решать традиционными геометрическими способами. Так, например, задачу на определение угла между прямой и плоскостью (рисунок 5.5) можно решить способом, алгоритм которого содержит следующие операции:

  1. Определить точку встречи прямой АВ с плоскостью а;
  2. Из точки В построить перпендикуляр на плоскость;
  3. Найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;
  4. Точки К и N соединить и определить НВ угла BKN.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Однако задача может быть значительно упрощена, если использовать способ решения задачи с помощью дополнительного угла. Дополнительным углом назовем угол между заданной прямой АВ и перпендикуляром BN, обозначенный через Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияИз приведенного рисунка видно, что, если из точки В прямой построить на плоскость перпендикуляр, определить НВ дополнительного угла Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриято искомый угол определится по формуле:

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

которую можно решить графически, достроив угол Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриядо 90°.

То же самое можно сказать о задаче на определение двугранного угла, то есть угла между двумя плоскостями (рисунок 5.66). Первый способ (геометрический) достаточно трудоемок. Он заключается в пересечении угла вспомогательной плоскостью а, перпендикулярной ребру АВ, построении линий пересечения KN и KL и определении натуральной величины угла NKL.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

С помощью дополнительного угла задача решается следующим образом. В растворе двугранного угла (рисунок 5.6в) берут любую точку К и строят из неё перпендикуляры на обе плоскости двугранного угла, которые образуют дополнительный угол Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияДалее определяют НВ дополнительного угла и дополняют его (графически) до 180 градусов, исходя из формулы:

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Дополненный угол будет искомым.

Натуральную величину дополнительного угла Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияв обеих задачах наиболее целесообразно определять методом вращения вокруг горизонтали или фронтали, который будет изложен в последующих темах.

Пример: Из любой вершины треугольника АВС восстановить перпендикуляр длиной 40 мм.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Решение: Сначала необходимо в плоскости треугольника АВС провести горизонталь и фронталь для того, чтобы построить проекции восстановленного перпендикуляра. Далее из точки С проводим проекции перпендикуляра согласно рассмотренному выше алгоритму о перпендикуляре к плоскости. Для того, чтобы отложить 40 мм, необходимо определить НВ ограниченного отрезка перпендикуляра CF (точку F берем произвольно). НВ отрезка CF определяем методом прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции CF. Полученную точку К возвращаем на проекции по теореме Фалеса. Получаем проекции перпендикуляра длиной 40 мм (рисунок. 5.7).

Пример: Найти расстояние от точки А до плоскости, заданной следами

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Решение: Из точки А строим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводим перпендикулярно следам. Далее находим точку встречи перпендикуляра с заданной плоскостью с помощью вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНаходим линию пересечения плоскостей Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(линия 1-2) и точку встречи Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияв месте пересечения горизонтальной проекции перпендикуляра с линией 1-2. Методом прямоугольного треугольника определяем НВ расстояния АК (рисунок 5.8).

Пример: Определить расстояние от точки К до прямой AВ.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Решение: Через точку К проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью. Их проекции проводим согласно алгоритму о перпендикуляре к плоскости (обратная задача). Далее находим точку встречи прямой с проведенной плоскостью (точка М). Определяем натуральную величину КМ методом прямоугольного треугольника (рисунок 5.9).

Видео:Расстояние от точки до плоскостиСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Примеры метрических задач

Задачи, в которых определяются различные геометрические величины -расстояния между объектами, длины отрезков, углы, площади и т.д. называются метрическими. Решение многих метрических задач, например задач на определение кратчайших расстояний, требует построения перпендикулярных прямых и плоскостей.

Перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей. Необходимо установить соотношения, по которым строятся проекции перпендикулярных прямых и плоскостей.

Теорема о проекциях прямого угла

Прямой угол проецируется на плоскость без искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости (рис. 10.1).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.1. Теорема о проекциях прямого угла

Дано :Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияBAC = 90°; AB || П’

Доказать, что C’A’Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияA’B’

Доказательство: если AB||П’, то A’B’||AB, но AA’Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияП’^AA’Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияA’B’ значит ABРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияAA,AB Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияплоскости CAA’C’, тогда и A’B’ Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияCAA’C’. Следовательно,CA’Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияA’B’.

На основании этой теоремы две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) проецируются на П1 в виде взаимно перпендикулярных прямых, если одна из них горизонталь, на П2 — если одна из них фронталь (рис. 10.2,а).

Условие перпендикулярности скрещивающихся прямых (рис. 10.2,б) сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся прямых, поведенных через произвольную точку и соответственно параллельных скрещивающимся прямым. Таким образом, понятие перпендикулярности можно отнести как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.2. Перпендикулярные прямые:
а -пересекающиеся a1 Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияh1 Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияa Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияh ;
б -скрещивающиеся b2 Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия2 Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияb Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Линии наибольшего наклона плоскости

Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные линиям уровня этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона к соответствующей плоскости проекций (рис. 10.3). Так, прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонтали плоскости, называется линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций, а прямая, перпендикулярная фронтали — линией наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.

Угол между линией наибольшего наклона и ее проекцией на соответствующую плоскость равен углу наклона плоскости к плоскости проекций (см. рис. 9.15).
Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.3. Линия наибольшего наклона плоскости а к П1:
а — плоскость общего положения; h ∈α — горизонталь плоскости а; AB Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияh — линия наибольшего наклона;
φ = Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияAB, AB 1 — угол наклона плоскости а к П1

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. На основании теоремы о проекциях прямого угла можно получить условие перпендикулярности прямой общего положения и плоскости общего положения:
Если прямая а перпендикулярна плоскости α(ABC), то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Например, при построении прямой а, перпендикулярной плоскости α(ABC) (рис. 10.4,а), в плоскости строятся линии уровня — горизонталь и фронталь, затем через произвольную точку в плоскости, в данном случае точку K(h×Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия), строится прямая, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости α(ABC), а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали плоскости.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.4. Перпендикулярность прямой и плоскости:

а -построение прямой, перпендикулярной плоскости: Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

б -построение плоскости, перпендикулярной прямой: Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Аналогично решается задача о построении плоскости, перпендикулярной прямой общего положения (рис. 10.4,б)

Если плоскость проецирующая, проекции линий уровня совпадают со следом плоскости, перпендикулярность устанавливается по отношению к следу плоскости. Горизонтальная проекция перпендикуляра к горизонтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно горизонтальному следу плоскости (рис. 10.5,а). Прямая, перпендикулярная горизонтально-проецирующей плоскости, занимает положение горизонтальной линии уровня.
Аналогично, фронтальная проекция перпендикуляра к фронтально-проецирующей плоскости строится перпендикулярно фронтальному следу плоскости (рис. 10.5,б). Прямая, перпендикулярная фронтально-проецирующей плоскости, занимает положение фронтали.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.5. Перпендикулярность прямой и проецирующей плоскости:
а -построение прямой, перпендикулярной плоскости;
б -построение плоскости, перпендикулярной прямой

Взаимная перпендикулярность плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению перпендикулярных прямой и плоскости. Например, чтобы через произвольную точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия× h) (рис. 10.6), достаточно построить прямую n,перпендикулярную плоскости α(Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия×h): n1Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияh1; n2Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия2. Вторая прямая m, определяющая искомую плоскость, может быть задана произвольно — как пересекающая прямую n или параллельная ей.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 10.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Дано: α(h × Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия ) ; A (A1, A2).

Построить: A ∈ β Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияα .

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Видео:Замена плоскостей проекции(Расстояние от точки до прямой)Скачать

Замена плоскостей проекции(Расстояние от точки до прямой)

Определение метрических задач

Традиционно задачи, связанные с измерением длин, углов, площадей и объемов относят к метрическим. В основе решения этих задач лежит определение длины отрезка и, как производной от этого, площади плоской фигуры.

Определение длины отрезка

Одним из наиболее распространенных методов (рисунок 5.1) является метод прямоугольного треугольника (так его называют в начертательной геометрии) или метод ортогональных дополнений (название, принятое в линейной алгебре).
Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Идея метода базируется на следующем. Истинная величина отрезка AВ является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого, является проекцией отрезка AВ на плоскость проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияа второй катет -разница координат Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияконцов отрезка для оси, отсутствующей в рассматриваемой плоскости проекции (ортогональное дополнение). Угол между проекцией и гипотенузой этого треугольника (а) определяет наклон прямой к соответствующей плоскости проекции.

На комплексном чертеже возможно решение как на плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриятак и на плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияПри правильных построениях Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Углы а и Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия-углы наклона отрезка прямой АВ к плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриясоответственно.

Определение площади треугольника

Определение площади треугольника и величины плоского угла можно свести к известной задаче построения треугольника по трем сторонам.

Для этого достаточно, используя рассмотренный выше способ прямоугольного треугольника, найти по порядку истинные величины сторон Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия(в соответствии с рисунком 5.2), а затем на свободном месте построить треугольник по трем сторонам.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
Величина плоского угла между двумя любыми сторонами этой фигуры может быть измерена на истинной величине треугольника.

Проецирование прямого угла

Решение многих задач Начертательной геометрии связано с необходимостью построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей. Базой для этого служит умение строить прямые углы на комплексном чертеже.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
Известная в теории чертежа теорема (приведем ее без доказательства) утверждает, что прямой угол (в соответствии с рисунком 5.3) проецируется на

соответствующую плоскость проекций вез искажения, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая — ей не перпендикулярна.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Выше уже отмечалось, что в трехмерном Евклидовом пространстве отсутствует полная параллельность, то же самое можно сказать и о перпендикулярности. Понятие перпендикулярности так же, как и параллельности, вводится через определение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Считают, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся (любым) прямым этой плоскости.

При решении задачи возможны два варианта: проведение перпендикулярной прямой к плоскости из внешней точки и из точки, лежащей в плоскости.
Рассмотрим возможность проведения перпендикуляра из точки К, лежащей в плоскости общего положения Р, заданной следами (рисунок 5.4).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
Рисунок 5.4 — Перпендикулярность прямой и плоскости

В плоскости Р (через точку К) проводятся горизонталь h и фронталь f. Прямые, перпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияв соответствии с теоремой о проецировании прямого угла и данным выше определением, могут быть приняты за проекции прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия.

В том случае, когда точка К не лежит в плоскости Р, решение задачи аналогично (рисунок 5.5).

Поскольку положение точки пересечения искомого перпендикуляра не определено, решение соответствует следующей схеме:

а) в плоскости проводятся горизонталь h (через точку В) и фронталь f (через точку A), в случае задания плоскости следами за фронталь и горизонталь принимаются соответствующие следы плоскости Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 5.5 — Перпендикуляр к плоскости

б) из внешней точки К к соответствующим проекциям линий уровня (следам) проводятся перпендикулярные прямыеРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия— Линия t принимается за перпендикуляр, опущенный из точки К к плоскости Р;

в) определяется точка S пересечения этого перпендикуляра t и плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
Рисунок 5.6 — Расстояние от точки до плоскости

Задачу на определение расстояние от точки до плоскости (рисунок 5.6) можно свести к решению уже известных задач на построение перпендикуляра к плоскости (рисунок 5.5) и определения натуральной величины отрезка прямой (рисунок 5.1)

Перпендикулярность плоскостей

Считают, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Задача может ставиться, как проведение плоскости, перпендикулярной заданной, проходящей через точку или прямую.

При проведении искомой плоскости через точку, как и в предыдущем случае, возможны два варианта проведения плоскости перпендикулярной заданной: через точку, лежащую в плоскости и через точку вне ее (рисунок 5.7).

Точно такой же вариант возникает и при проведении перпендикулярной плоскости через прямую (лежащую в исходной плоскости или не лежащую).

Рассмотрим вариант построения плоскости, проходящей через точку. Пусть точка А лежит в плоскости Р. Линии Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярные соответствующим проекциям линий уровня (следам), определят перпендикуляр t к плоскости Р.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
Рисунок 5.7 — Перпендикулярность плоскостей
Проведение через точку А произвольной прямой s позволяет определить плоскость Q, которая будет перпендикулярна плоскости Р.

Если точка А лежит вне плоскости Р, то решение аналогично. Проведение через точку А перпендикуляра t и произвольной прямой s определит плоскость Q, которая также, по определению, будет перпендикулярна плоскости Р.

Решение задачи на проведение плоскости через прямую аналогично решению задачи по проведению плоскости через точку. Достаточно вместо произвольной прямой s использовать заданную прямую АВ. И тогда, в соответствии с рисунком 5.8, задача сведется к проведению перпендикуляра t к плоскости Р (из точки, лежащей в плоскости или лежащей вне ее).
Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 5.8 — Перпендикулярность плоскостей

Определение натуральных величин геометрических элементов

1. Определить натуральную величину отрезка общего положения:

  • способом прямоугольного треугольника;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в прямую уровня;
  • способом вращения вокруг проецирующей оси преобразовать в прямую уровня.

2. Определить натуральную величину плоскости общего положения (замкнутого отсека):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать в плоскость уровня;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать в плоскость уровня.

Определение расстояния между геометрическими элементами (образами)

1. Определить расстояние от точки до прямой общего положения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования; прямую и точку рассматривать как плоскость);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную прямой и точкой, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить через заданную точку плоскость, перпендикулярную к прямой, и определить точку пересечения последней с плоскостью.

2. Определить расстояние между параллельными прямыми:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня (задачи 3 и 4 преобразования);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать две параллельные общего положения в проецирующие прямые (задачи 1 и 2 преобразования);
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня, ограничив ее замкнутым отсеком;
  • способом плоскопараллельного перемещения преобразовать плоскость, заданную параллельными прямыми, в плоскость уровня;
  • способом задания плоскости, перпендикулярной к прямой (3-й тип задач), построить плоскость через любую точку, принадлежащую одной из прямых, перпендикулярную ко второй прямой, и определить точку пересечения этой плоскости со второй прямой.

3. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми, преобразовав одну из прямых в проецирующую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить расстояние от точки до плоскости:

  • по теме «Перпендикулярность» – провести перпендикуляр к плоскости, построить точку пересечения этого перпендикуляра с заданной плоскостью и найти любым способом натуральную величину построенного отрезка (см. пункт 1);
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую.

5. Определить расстояние от точки до поверхности вращения:

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня (задача 4 преобразования);
  • способом вращения вокруг проецирующей оси повернуть плоскость, проведенную через точку и ось вращения поверхности, в плоскость уровня.

Определение углов наклона геометрических элементов к плоскостям проекций H и V

1. Определить углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций H и V:

  • способом прямоугольного треугольника построить на двух проекциях натуральные величины отрезка и определить углы наклона прямой;
  • способом замены плоскостей проекций преобразовать прямую общего положения в горизонтальную, а затем во фронтальную прямую (задача 1 преобразования);
  • способом вращения вокруг соответствующей проецирующей оси преобразовать прямую общего положения в горизонтальную и во фронтальную прямые.

2. Определить угол наклона прямой к заданной плоскости общего положения:

  • из любой точки прямой опустить перпендикуляр к плоскости;
  • способом вращения вокруг линии уровня преобразовать построенную плоскость, заданную прямой и перпендикуляром, в плоскость уровня;
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 90°.

3. Определить величину двухгранного угла, если на чертеже есть линии пересечения плоскостей, образующих двухгранный угол (ребро):

  • способом замены плоскостей проекций преобразовать ребро двухгранного угла в проецирующую прямую (задачи 1 и 2 преобразования).

4. Определить угол между двумя плоскостями общего положения, если на чертеже нет линии пересечения заданных плоскостей (ребра):

  • задача решается косвенным путем, для чего из любой точки пространства следует опустить перпендикуляры к заданным плоскостям, которые, в свою очередь, задают вспомогательную плоскость, перпендикулярную к этим плоскостям;
  • эту вспомогательную плоскость способом вращения вокруг линии уровня следует преобразовать в плоскость уровня, определив угол между перпендикулярами (преобразование вспомогательной плоскости в плоскость уровня возможно и другими способами – ее плоскопараллельным перемещением или заменой плоскостей проекций);
  • искомый угол будет дополнять построенный угол до 180° (углом между плоскостями считают угол острый).

Структуризация материала тринадцатой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 13.1 (лист 1). На последующих листах 2–7 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального повторения изученного материала при его повторении (рис. 13.2–13.7).

Метрические задачи:

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Определение натуральной величины геометрических элементов:

1. Определение длины отрезка

Способ прямоугольного треугольника

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ замены плоскостей проекций (задача 1)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

2. Определение площади замкнутого отсека

Способ замены плоскостей проекций (задачи 3 и 4)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ вращения вокруг прямой уровня (горизонтали)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ вращения вокруг проецирующей оси i(i Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияV)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Способ плоско-параллельного перемещения (переноса)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Определение расстояний:

1. Расстояние между точками — определяется величиной отрезка, соединяющего эти точки

2. Расстояние от точки до прямой — определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки к прямой

а. Прямой путь (перпендикулярность)

б. Способ замены плоскостей проекций: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис. 13.2, г)

в. Способ вращения вокруг прямой уровня: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, д)

г. Способ плоскопараллельного переноса: определить натуральную величину плоскости, которую определяют точка и прямая (см.рис.13.2, ж)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

3. Расстояние между параллельными прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки одной прямой к другой прямой

а. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем две прямые) — задачи 1 и 2 (преобразовать прямые общего положения AB и CD в проецирующие)

б. Способ замены плоскостей проекции (рассматриваем плоскость, которую определяют параллельные прямые) — задачи 3 и 4 (определить натуральную величину плоскости ? (AB//СВ))

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми — определяется величиной перпендикуляра, проведённого от одной из прямых, преобразованной в точку, к другой прямой (задачи 1 и 2 замены плоскостей проекции).

Способ замены плоскостей проекций — задачи 1 и 2

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

5. Расстояние от точки до плоскости — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из точки на плоскость до точки его пересечения с этой плоскостью.

а. Прямой путь (перпендикулярность)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

б. Способ замены плоскостей проекций (плоскость преобразовать в проецирующую — задача 3)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — определяется величиной перпендикуляра, проведённого из произвольной точки на прямой к плоскости.

7. Расстояние между параллельными плоскостями — определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость (до точки пересечения с другой плоскостью).

8. Расстояние от точки до поверхности

a. Cпособ вращения вокруг проецирующей оси

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

б. Способ замены плоскостей проекции

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Определение величин углов:

1. Угол φ между скрещивающимися прямыми — определяется плоским углом, образованным двумя пересекающимися прямыми, проведёнными из произвольной точки пространства параллельно скрещивающимся прямым (рис. 13.6, а)

Способ вращения вокруг линии уровня

Дано:
а и b — скрещивающиеся прямые
Требуется:

φ — ?

Решение:
1.
Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия
2.φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости α(dс)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

2. Угол φ между прямой и плоскостью — определяется углом между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Дано:
α(h ∩ f);
AB — прямая общего положения
Требуется:
φ — ?

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Решение:
1. l Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия α(h ∩ f);
lРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия» Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияf»;
lРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияh’;
2. ∠φ — вращением вокруг фронтали, проведённой в построенной плоскости β(AB∩l)

3. Угол φ между плоскостями α и β — определяется линейным углом, образованным двумя прямыми, по которым некоторая плоскость γ, перпендикулярная плоскостям (или их ребру), пересекает эти плоскости (углом между плоскостями считают острый угол).

а. Если на чертеже нет ребра (линии пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом вращения вокруг линии уровня (рис. а)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Дано:
(m // h); (а
b).
Требуется:
φ — ?
Решение:
1. провести в заданной плоскости фронтали и горизонтали;

2. из произвольной точки пространства D (D’, D») провести перпендикуляры l1 и l2 к заданными плоскостям, которые определяют плоскость γ(l1 l2);
3.
φ — вращением вокруг горизонтали h3, проведённой в построенной плоскости γ(l1 l2).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

б. Если на чертеже есть ребро (линия пересечения заданных плоскостей) — угол φ определяется способом замены плоскостей проекций (задачи 1 и 2, рис. б)

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

ребро АВ двугранного угла преобразовать двумя заменами в проецирующую прямую.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Тени в ортогональных проекциях
  • Кривые поверхности
  • Пересечения криволинейных поверхностей
  • Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью
  • Пересечение поверхности плоскостью и прямой
  • Развертки поверхностей
  • Способы преобразования проекций
  • Взаимное положение прямой и плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

Метрические задачи

Содержание:

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, который опущен из заданной точки. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, необходимо воспользоваться знаниями о нахождении расстояния от точки до плоскости, поскольку для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо на одной из прямой выбрать точку.

Расстояние от точки до прямой особого положения

Метрические задачи по проецированию точки, прямой и плоскости связаны с определением расстояний, площадей, углов. Все задачи на определение расстояния от точки до прямой и плоскости, между параллельными прямой и плоскостью и двумя плоскостями сводятся к задаче об определении расстояния между двумя точками. Задачи по определению площади плоской фигуры сводятся к нахождению натуральной величины этой фигуры. Определение угла между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями невозможно без применения способов преображения комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3). Методами, описанными в разделе 1, можно определить только проекции этих углов.

Для определения расстояния от точки А до прямой l необходимо провести из данной точки перпендикуляр n до прямой, определить точку N пересечения прямых n, l и найти длину отрезка AN. Последняя является искомым расстоянием (рис. 1.51).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до прямой общего положения

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение расстояния от точки до прямой уровня

При определении расстояния от точки до прямой l особого положения прямой угол между прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияl проецируется в натуральную величину на одну из плоскостей проекций (см. п. 1.4.8), а натуральная величина отрезка АN определяется способом прямоугольного треугольника (см. п. 1.4.4) или вращением вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2.2).

На рис. 1.52 обозначено расстояние от точки А до горизонтали h. На горизонтальной проекции построена проекция А1N1 искомого отрезка. С помощью линий проекционной связи найдена фронтальная проекция A2N2. Натуральная величина отрезка AN определена способом прямоугольного треугольника.

Расстояние от точки до прямой общего положения

Задача на определение расстояния от точки А до прямой l общего положения усложняется тем, что проекции прямого угла между прямой l и проведённым к ней перпендикуляром Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияне равны 90° (см. п. 1.4.8, рис. 1.25). Для решения этой задачи применяются такие способы:

а) способ вспомогательной нормальной плоскости (рис. 1.53);

б) способ замены плоскостей проекций (см. п. 2.1.3);

в) способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2.3).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияСпособ вспомогательной нормальной плоскости

Суть способа вспомогательной нормальной плоскости

Через точку А проводится плоскость Σ общего положения, перпендикулярная прямой l (рис. 1.53 б). Эта плоскость задаётся горизонталью h и фронталью f, пересекающимися в точке А. При этом горизонтальная проекция горизонтали h1 и фронтальная проекция фронтали f2 перпендикулярны соответствующим проекциям прямой l. Основа N перпендикуляра Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриянаходится как точка пересечения прямой l с перпендикулярной её плоскостью Σ с помощью фронтально-проецирующей секущей плоскости Ф (см. п. 1.5.7). Натуральная величина отрезка AN равна искомому расстоянию от точки А до прямой l общего положения.

Расстояние от точки до плоскости особого положения

Для определения расстояния от точки А до плоскости Σ необходимо провести из данной точки перпендикуляр Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриядо плоскости, определить точку N их пересечения и найти длину отрезка AN.

При определении расстояния от точки А до плоскости особого положения прямой угол между прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияи одним из следов плоскости Σ проецируется в натуральную величину на соответствующую плоскость проекций (рис. 1.54).

На рис. 1.55 определено расстояние от точки А до горизонтально-проецирующей плоскости Σ. На горизонтальной плоскости проекций через точку А1 проведена проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикуляра до горизонтального следа Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияплоскости с основой N1. При этом перпендикуляр Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия— горизонтальная прямая уровня. С помощью линии проекционной связи найдена фронтальная проекция A2N2. Натуральная величина отрезка AN равна длине его горизонтальной проекции А1N1.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости особого положения

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия– Определение расстояния от точки до горизонтально-проецирующей плоскости

Расстояния от точки до плоскости общего положения

Задача на определение расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения определяется таким способом. Из точки D проводится прямая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, перпендикулярная плоскости Σ (см. п. 1.5.9, рис. 1.47 – 1.48), и определяется точка N их пересечения (см. п. 1.5.7, рис. 1.38). Натуральная величина отрезка DN равна расстоянию от точки D до заданной плоскости (рис. 1.56).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости общего положения

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение расстояния от точки до плоскости

На рис. 1.57 плоскость Σ задана треугольником АВС. Для построения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, проходящей через точку D перпендикулярно до плоскости треугольника, в последнем проводятся горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция h1 горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпрямой, фронтальная проекция f2 фронтали перпендикулярна Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Точка N пересечения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс плоскостью Σ определяется методом вспомогательной секущей плоскости. В данном случае прямая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриязаключается во фронтально- проецирующую плоскость Ω, заданную фронтальным следом Ω2,и определяется линия k пересечения плоскостей Σ, Ω. Искомая точка N является точкой пересечения прямых k, п. Длина отрезка АN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние между параллельными плоскостями, прямой и плоскостью. Расстояние между двумя прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями Σ и равно расстоянию от любой точки D одной плоскости до другой плоскости (рис. 1.58).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние между параллельными плоскостями

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение расстояния между параллельными плоскостями

На рис. 1.59 одна из плоскостей Σ задана прямыми a, b, пересекающимися в точке D, другая – горизонтальным и фронтальным следами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Из точки D опускается перпендикуляр Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияна плоскость Ω. При этом горизонтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна горизонтальному следу Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияплоскости, фронтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна фронтальному следу Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияТочка N пересечения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс плоскостью определяется методом вспомогательной секущей плоскости. в данном случае через прямую Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроводится горизонтально-проецирующая плоскость Ψ, заданная горизонтальным следом Ψ1, и определяется линия k пересечения плоскостей Ω, Ψ. Искомая точка N является точкой пересечения прямых k, п. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние между параллельными прямой l и плоскостью Σ (рис. 1.60) равно расстоянию от любой точки D прямой до плоскости.

На рис. 1.61 плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Из любой точки D, принадлежащей прямой l, опускается перпендикуляр Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияна плоскость Σ и определяется точка N их пересечения с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Ψ. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние между параллельными прямой и плоскостью

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

Расстояния между параллельными прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияравно расстоянию DN от любой точки D одной прямой до другой прямой (рис. 1.62) и может быть определено способом вспомогательной нормальной плоскости (см. п. 1.6.1.2, рис. 1.53).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние между параллельными прямыми

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияСпособ вспомогательной нормальной плоскости

На рис. 1.63 через точку D прямой l проводится Σ плоскость общего положения, перпендикулярная прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЭта плоскость задаётся горизонталью h и фронталью f, пересекающимися в точке D. При этом горизонтальная проекция горизонтали h1 и фронтальная проекция фронтали f2 перпендикулярны соответствующим проекциям прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Основа N перпендикуляра Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриянаходится как точка пересечения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс перпендикулярной ей плоскостью Σ с помощью фронтально-проецирующей секущей плоскости Ф. Натуральная величина отрезка DN равна искомому расстоянию между параллельными прямыми l, m.

Расстояние между скрещивающимися прямыми l, m равно наименьшему расстоянию от точек одной прямой до другой прямой (рис. 1.64) и определяется такими способами:

а) способом вспомогательной параллельной плоскости;

б) способами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.5, 2.2.5, 2.3.2).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние между скрещивающимися прямыми

Суть способа вспомогательной параллельной плоскости

Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияравно расстоянию от любой точки D одной прямой до параллельной ей плоскости Σ, проведенной через вторую прямую (рис. 1.65).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияСпособ вспомогательной параллельной плоскости

На рис. 1.66 через прямую Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроведена плоскость Σ общего положения, заданная двумя прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпересекающимися в произвольной точке А. Эта плоскость параллельна прямой l, поскольку проекции прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпараллельны соответствующим проекциям прямой l. Для построения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости Σ, в последней проводятся горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпрямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна горизонтальной проекции h1 горизонтали, фронтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна f2. Точка N пересечения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс плоскостью Σ определяется методом вспомогательной секущей плоскости . В данном случае, через прямую Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроводится горизонтально-проецирующая плоскость , заданная горизонтальным следом Ω2, и определяется линия k пересечения плоскостей Σ, Ω.

Искомая точка N — точка пересечения прямых k, Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ определяется как угол между прямой l и её проекцией Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияна эту плоскость (рис. 1.67 а).Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияУгол между прямой и плоскостью

На рис. 1.67 б плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияПроекция прямой l на эту плоскость проходит через отрезок Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, один конец которого (точка K) — точка пересечения прямой l с плоскостью Σ, другой (точка Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия) – точка пересечения прямой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс плоскостью Σ. Прямая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроходит через любую точку N прямой l перпендикулярно плоскости Σ. Горизонтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна следу Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, фронтальная проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярна до Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОртогональными проекциями на плоскости проекций П1, П2 угла φ между прямой l и плоскостью Σ являются соответствующие проекции угла Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Натуральная величина угла φ определяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3, 2.4.2).

Угол θ между двумя плоскостями Σ, Ω называется двухгранным углом (рис. 1.68). Он определяется как угол между перпендикулярами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияк линии k пересечения плоскостей (прямая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпринадлежит плоскости Σ, прямая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияплоскости ).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияДвухгранный угол

Вышеуказанные способы определения углов между прямой и плоскостью и двумя плоскостями относятся к прямым способам, базирующимся на использовании определения углов φ, θ. Прямые способы имеют существенный недостаток – громоздкость вспомогательных построений .

С целью упрощения практической реализации задачи построения углов φ, θ и чтения комплексного чертежа применяются непрямые способы, базирующиеся на свойствах этих углов

Свойство угла между прямой и плоскостью

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ дополняет вспомогательный угол Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриядо 90° (рис. 1.69 а):

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Вспомогательный угол Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия-это угол между прямой l и перпендикуляром Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроведенным из любой её точки D к плоскости Σ.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияВспомогательный угол

На рис. 1.69 б плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Проекции прямоq n, проведенyной через произвольную точку D прямой l перпендикулярно плоскости Σ, перпендикулярны соответствующим следам Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияэтой плоскости. Натуральная величина угла Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияопределяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3, 2.4.2).Угол φ определяется по формуле (1.1).

Свойство двухгранного угла

Угол θ между двумя плоскостями Σ, Ω равен углу Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриямежду прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроходящими через произвольную точку пространства перпендикулярно этим плоскостям (рис. 1.70 а).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНепрямой способ определения двухгранного угла

На рис. 1.70 б плоскости Σ, Ω заданы горизонтальными и фронтальными следами Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияи Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриясоответственно. Проекции вспомогательных прямых Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияперпендикулярны соответствующим следам плоскостей Σ, Ω. Натуральная величина угла Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияопределяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3). Угол θ между плоскостями Σ, Ω равен углу Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриямежду прямыми Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия.

Видео:Определение расстояния от точки до плоскости треугольникаНатуральная величина расстоянияСкачать

Определение расстояния от точки до плоскости треугольникаНатуральная величина расстояния

Метрические и позиционные задачи

Позиционными считаются задачи, решение которых позволяет полу-чить ответ о принадлежности точки или линии поверхности, а также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геомет-рическим фигурам. Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахо-ждением метрических характеристик геометрических фигур, определяе-мых линейными и угловыми величинами.

Длина дуги кривой линии

Задача на определение длины дуги s кривой линии является достаточно сложной. В начертательной геометрии она решается приближённо способом линейной интерполяции: дуга ОМ линии l разбивается на N участков Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриякоторые условно заменяются одноимёнными отрезками прямых. Длина кривой ОМ определяется как сумма длин построенных отрезков с применением способов прямоугольного треугольника (рис. 3.74 а) или вращения вокруг проецирующих осей (рис. 3.74 б).

От количества N выбранных участков зависит точность определения длины дуги

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение длины дуги кривой линии

Задача на определение длины кривой линии намного сложнее, чем расчёт площадей геометрических фигур и объёмов тел. В античные времена единственная удачная попытка определения длины кривой линии была предпринята для окружности.

Декарт высказывал ошибочную мысль, что «отношение между прямым и кривым неизвестно и не может быть познано человечеством»

. Первым достижением было определение длины дуги параболы Нейла в 1657 р. Позже К. Рэн и Х. Гюйгенс нашли длину дуги циклоиды. Незадолго до открытия математического анализа Дж. Грегори создал общую теорию нахождения дуги кривой линии.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Кристофер Рэн (Christopher Wren) – английский математик и архитектор, профессор математики в Оксфорде, член Королевского товарищества. Занимался вопросами кораблестроения, сопротивления жидкости, механикой вёсел и парусов и т.д.. Автор величественных архитектурных сооружений, в том числе Собора святого Павла.

Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой

Кривизна любой линии l в точке М характеризуется двумя основными параметрами: центром и радиусом кривизны

Центр и радиус кривизны – центр С и радиус ρ окружности Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, которая является точнейшим приближением данной кривой l в окрестности её точки М (рис. 3.75 а).

Центр кривизны С находится на внутренней нормали Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриякривой l в данной точке М. На рис. 3.75 б показан способ определения центра кривизны С плоской кривой l в точке М. В точке М и близко к ней расположенной точке N проведены касательные Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЦентр кривизны С является точкой пересечения перпендикуляров Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияк касательным. Радиус СМ построенной окружности Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияс центром в точке С является радиусом ρ кривизны линии l в точке М..

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЦентр и радиус кривизны

Понятия центра и радиуса кривизны введены Лейбницем. Геометрическое место центров кривизны линии l для всех её точек называется эволютой (от латинского evolute – развитый). На рис. 3.76 показаны эволюты эллипса, дуги синусоиды и циклоиды. Для их построения на этих кривых выбирается совокупность точек Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… и проводятся касательные Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… и нормали Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … Точки 1, 2, … пересечения последовательных пар нормалей являются точками, принадлежащими эволюте данной кривой. Например, эволюта эллипса (рис. 3.76 а) имеет форму звезды с двумя осями симметрии; эволюта половины дуги синусоиды (рис. 3.76 б) имеет две асимптоты и одну ось симметрии; эволюта ветви циклоиды (рис. 3.76 в) имеет одну ось симметрии.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЭволюты плоских кривых

Линия Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриядля которой заданная кривая l является эволютой, называется эвольвентой (от латинского evolvens – разворачивающий). Например, на рис. 3.76 а эллипс является эвольвентой фигуры в форме звезды.

Эволюты и эвольвенты широко используются в проектировании машин и механизмов. Например, зубчатые колёса (рис. 3.77) имеют профиль в форме кривой, эволюта которой является окружностью. Другими словами, такие зубчатые колеса имеют форму эвольвенты окружности.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияПрименение эвольвенты окружности

Для построения эвольвенты окружности (рис. 3.78) последняя делится на N равных частей (как правило, N = 12) точками Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … Из этих точек проводятся отрезки Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия…, касательные к окружности и с равномерно возрастающей длиной (от нуля до длины окружности). Эвольвента окружности проходит через точки 1, 2, …

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЭвольвента окружности

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Джеймс Грегори (James Gregory) – шотландский математик и астроном, член Королевского общества. Один из основателей математического анализа. Грегори является автором зеркального телескопа, метода определения расстояния от Земли до Солнца, способа числового интегрирования и разложения функций в бесконечные ряды.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) – выдающийся немецкий философ, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель, филолог; основатель и первый президент Берлинской академии наук, иностранный член Французской академии наук. Автор дифференциального и интегрального исчисления, учения про анализ и синтез, проектов научных исследований магнитного поля Земли. Лейбниц впервые ввёл термин «модель» в математических исследованиях и высказал мысль о возможности машинного моделирования функций человека. Лейбниц является автором механического арифмометра, прибора использования энергии ветра, чертежа подводной лодки, идеи создания паровой машины и т.д..

Эквидистанта кривой

Эквидистанта кривой (от латинского æquidistans – равноудалённый) – геометрическое место Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияконцов N отрезков одинаковой длины r, отложенных на нормалях Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияк заданной кривой l (рис. 3.79 а).

На рис. 3.79 б построена эквидистанта Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометриякривой l. В точках Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… кривой l проводятся касательные Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… По одну сторону кривой l вдоль нормалей Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… откладываются отрезкиРасстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … одинаковой длины r, концы 1, 2, … которых принадлежат искомой эквидистанте.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЭквидистанта кривой

В металлообработке эквидистантой к траектории центра концевой фрезы является контур поверхности, которая получается в результате фрезерования. В системах автоматического раскроя плоских изделий (пластин, тканей и т.д.) эквидистанта является контуром, которым ограничивается припуск на обработку.

Расстояние от точки до кривой линии и поверхности

Расстояние от точки А до кривой линии Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия— это наименьшее из всех расстояний l от этой точки до всех точек кривой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

В начертательной геометрии расстояние l от точки А до кривой определяется способом конической поверхности (рис. 3.80).

Суть способа конической поверхности

Строится коническая поверхность Ф с направляющей Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, совпадающей с данной кривой, и вершиной А, которая совпадает с данной точкой. Среди совокупности прямолинейных образующих выбирается образующая l наименьшей длины.

На рис. 3.80 построен комплексный чертёж точки А и кривой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Строятся проекции образующих Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия…, заданных отрезками Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … Длины этих отрезков определяются способом вращения вокруг фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку А. Натуральные величины Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… вращаются вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через точку А, до общего фронтального положения уровня.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияСпособ конической поверхности

Среди совокупности отрезков Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … выбирается наименьший, длина которого равна искомому расстоянию от точки А до кривой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия.

Расстояние от точки А до кривой поверхности Ω является наименьшим из всех расстояний l от этой точки до всех точек поверхности Ω.

В начертательной геометрии расстояние l от точки А до кривой поверхности определяется способом конических поверхностей.

Суть способа конических поверхностей.

Строятся конические поверхности Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… с вершиной А, которая совпадает с данной точкою, и направляющими Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия, … совпадающими с направляющими поверхности . Среди совокупности прямолинейных образующих каждой конической поверхности выбираются образующие Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… наименьших длин. По точкам полученных образующих Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия…, принадлежащих поверхности Ω, строится кривая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияРасстояние от точки А до поверхности равно расстоянию от этой точки до линии Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОна находится способом конической поверхности (рис. 3.80)

На рис. 3.81 построен комплексный чертёж точки А и поверхности . Способом конических поверхностей (см. рис. 3.80) определяются наименьшие расстояния Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… от точки А до направляющих Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия… По точкам 1, 2, … строятся проекции линии Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Расстояние от точки А до кривой Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияопределяется способом конической поверхности (рис. 3.80)..

Описанные выше графические способы конических поверхностей являются приближенными и требуют громоздких построений. Точное, аналитическое определение расстояния от точки до кривой линии и поверхности является слишком сложной задачей поиска экстремума функции нескольких переменных параметров, которая может быть решена методами вариационного исчисления.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияСпособ конических поверхностей

Пересечение прямой линии с кривой поверхностью

Прямая линия l и кривая поверхность Ω могут иметь такие виды взаимного расположения:

а) прямая и поверхность не пересекаются (рис. 3.82 а);

б) прямая касается поверхности (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73);

в) прямая пересекает поверхность (рис. 3.82 б), в том числе перпендикулярна ей (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияВзаимное расположение прямой линии и кривой поверхности

Из п. 1.5.7 известно, что прямая пересекает поверхность первого порядка (плоскость) в одной точке. В случае поверхности второго и высших порядков прямая может пересекать поверхность в точках, количество которых не превышает порядок поверхности. Например, прямая может пересекать тор (поверхность четвертого порядка) максимум в четырёх точках (рис. 3.82 б).

Для определения точек пересечения прямой l с поверхностью применяются такие способы:

а) способ вспомогательной секущей плоскости особого положения (см. п. 4.2.2.1, рис. 4.17 – 4.19);

б) способ вспомогательной секущей плоскости общего положения (см. п. 4.2.2.2, рис. 4.20 – 4.23);

в) способ замены плоскостей проекций (см. п. 4.2.2.3, рис. 4.24);

г) способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 4.2.2.3, рис. 4.25 – 4.27);

д) метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5);

е) способ косоугольного проецирования.

Все способы, кроме последнего, детально описаны в п. 4.1.2, 4.2.2 на примере гранных тел и поверхностей вращения.

Способ косоугольного проецирования является универсальным, то есть может быть использован для определения точек пересечения прямой l с любой кривой поверхностью.

На рис. 3.83 определена точка K пересечения прямой l с гиперболическим параболоидом . Применён способ косоугольного проецирования на биссекторную плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияНаправление проецирования і совпадает с прямой l, поэтому проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияявляется точкой. Все точки и линии поверхности Ω также проецируются на биссекторную плоскость. Проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияточки пересечения прямой l с поверхностью Ω совпадает с проекцией Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияЧерез точку Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпроводится образующая Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияпринадлежащая поверхности Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. С помощью линии проекционной связи определяются проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияи проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияискомой точки K пересечения прямой l с гиперболическим параболоидом.

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение точки пересечения прямой линии с кривой поверхностью

Пересечение кривой линии с плоскостью

Кривая линия l и плоскость Σ могут иметь такие виды взаимного расположения:

а) линия и плоскость не пересекаются (рис. 3.84 а);

б) плоскость касается лини (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73);

в) линия пересекает плоскость (рис. 3.84 б), в том числе перпендикулярна ей (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73).

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияВзаимное расположение прямой линии и плоскости

Кривая линия может пересекать плоскость в точках, количество которых не превышает порядок кривой. Например, эллипс (кривая второго порядка) пересекает плоскость максимум в двух точках (рис. 3.84 б).

Для определения точек пересечения линии l с плоскостью Σ применяются такие способы:

а) способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности (см. п. 4.2.2.4, рис. 4.29 – 4.30);

б) метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5);

в) способ косоугольного проецирования.

Способ косоугольного проецирования может быть применён для определения точек пересечения плоскости Σ с любой кривой линией l.

На рис. 3.85 определены точки M, N пересечения кривой линииl с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми a, b, с применением способа косоугольного проецирования на биссекторную плоскость Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. Направление проецирования і совпадает с прямыми a, b, поэтому проекция Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияявляется прямой. Все точки линии l также проецируются на биссекторную плоскость. Проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияточек пересечения линий l с плоскостью Σ принадлежат проекции Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия. С помощью линий проекционной связи определяются горизонтальная и фронтальная проекции искомых точек M, N..

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрияОпределение точек пересечения кривой линии с плоскостью

Задачи на пересечение кривой линии с поверхностью, а также на пересечение поверхности плоскостью или другой поверхностью детально рассмотрены в разделе 4.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия Расстояние от точки до плоскости заданной параллельными прямыми начертательная геометрия

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔥 Видео

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

расстояние от точки до плоскостиСкачать

расстояние от точки до плоскости

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)Скачать

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)

Расстояние от точки до плоскостиСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.Скачать

Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

Расстояние от точки до прямойСкачать

Расстояние от точки до прямой

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскости

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

[Начертательная геометрия] Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр к плоскости 1 частьСкачать

[Начертательная геометрия] Расстояние от точки до плоскости, перпендикуляр к плоскости 1 часть

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

18. Расстояние от точки до прямой в пространствеСкачать

18. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Поделиться или сохранить к себе: