Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника

Окружность, описанная около правильного треугольника, обладает всеми свойствами описанной около произвольного треугольника окружности и, кроме того, имеет свои собственные свойства.

1) Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, высоты и биссектрисы совпадают, центр описанной около правильного треугольника окружности лежит в точке пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольникаНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр описанной окружности.

AK, BF и CD — медианы, высоты и биссектрисы треугольника ABC.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

2) Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу. Так как центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус описанной окружности составляет две трети от длины медианы:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного треугольника окружности

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

И обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

3) Формула для нахождения площади правильного треугольника по его стороне —

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Отсюда можем найти площадь через радиус описанной окружности:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Таким образом, формула площади площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

4) Центр описанной около правильного треугольника окружности совпадает с центром вписанной в него окружности.

5) Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольника

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

2. Радиус вписанной окружности:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

3. Радиус описанной окружности:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

4. Периметр:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

5. Площадь:
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус окружности около равностороннего треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

1. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна сторона a

Пусть известна сторона a равностороннего треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника. На странице Радиус окружности описанной около треугольника вычисляется из формулы:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(1)

где p вычисляется из формулы:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(2)

Учитывая, что у нас треугольник равносторонний, т.е. a=b=c, имеем:

( small p= frac, )(3)
( small p-a=p-b=p-c= frac. )(4)

Подставляя (3),(4) в (1) и учитывая, что a=b=c, получим:

( small R=frac<large 4 cdot sqrt<fraca left( frac right)^3>> ) ( small =frac<large 4 cdot sqrt< frac>> ) ( small =frac< large sqrt> )
( small R=frac< large sqrt>=frac<large a sqrt>. )(5)

Пример 1. Известна сторона ( small a=frac ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (5).

Подставим значение ( small a=frac ) в (5):

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Ответ: Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

2. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна высота треугольника

Пусть известна высота h равностороннего треугольник (Рис.1):

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Найдем радиус описанной окружности около равностороннего треугольника. Из теоремы синусов имеем:

( small frac=frac. )(6)

Уситывая, что сумма углов треугольника равна 180° и что у равностороннего треугольника все углы равны, имеем: ( small angle A= angle B=angle C=60°. ) Тогда из (6) получим:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольникаРадиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(7)

Подставляя (7) в (5), получим:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(8)

Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна:( small h=15 .) Найти радиус окружности описанной около равностороннего треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около равностороннего треугольника воспользуемся формулой (8). Подставим значения ( small h=15 ) в (8):

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Ответ: Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Видео:Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

3. Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника, если известна площадь треугольника

Пусть известна площадьS равностороннего треугольника. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника. На странице Площадь равностороннего треугольника онлайн была выведена формула площади равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(9)

В формуле (9) найдем R:

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника
Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника(10)

Пример 3. Площадь равностороннего треугольника равна:( small S=14.5 .) Найти радиус окружности описанной около равностороннего треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около равностороннего треугольника воспользуемся формулой (10). Подставим значения ( small S=14.5 ) в (10):

Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

Ответ: Радиус окружности описанной вокруг равностороннего треугольника равен половине высоты треугольника

📹 Видео

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

9 класс. Геометрия. Соотношения в равностороннем треугольнике.Скачать

9 класс. Геометрия. Соотношения в равностороннем треугольнике.

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.
Поделиться или сохранить к себе: