Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Практическая работа по геометрии № 5 » Взаимное расположение прямых в пространстве» 10 класс

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Практическая работа №5

Тема: «Взаимное расположение двух прямых в пространстве».

Цель: отработать навыки распознавать на чертежах различные случаи взаимного расположения прямых, используя формулировку определений , признаков и свойств расположение прямых и применение признаков и свойств при решении задач.

Ответить на вопрос и выполнить рисунок.

1.Прямые m и n лежат в одной плоскости. Могут ли эти прямые пересекаться, быть параллельными, могут ли они скрещиваться?

2. Прямые b и c пересекаются. Как расположена прямая b относительно прямой d , если cd ?

3. Даны скрещивающиеся прямые c и d . Как может быть расположена прямая с относительно m , если m d ?

4. Прямые b и d пересекаются. Как расположена прямая b относительно с, если c и d пересекаются?

5. Даны скрещивающиеся прямые m и n . Как может быть расположена прямая m относительно прямой c , если c и n пересекаются?

II . Выполнить рисунок и заполнить таблицу.

В кубе ABCD точка M – середина , F – середина , K – середина DC , O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD .

Взаимное расположение прямых

III . Указания к выполнению

1.Прочитать соответствующий заданию раздел по учебному пособию «Геометрия » Л. С. Атанасян, введение страницы 3-7, глава I §1 страницы 9-12, §2 страницы 15-16,глава II §1 страница 34.

2.Найти ответы на вопросы

1.Что изучает стереометрия?

2. Какие существуют основные фигуры в пространстве?

3. Какие аксиомы существуют в стереометрии?

4. Какие следствия из аксиом существуют в стереометрии?

5. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

6. Какие прямые называются скрещивающимися?

7. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 342 человека из 71 региона

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 688 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

  • Зайцева Ольга НиколаевнаНаписать 7317 15.01.2017

Номер материала: ДБ-096193

    14.01.2017 216
    14.01.2017 227
    14.01.2017 382
    14.01.2017 425
    14.01.2017 372
    14.01.2017 353

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

прямые b и d скрещиваются. как будут расположены прямые b и c, если для c выполняется условие: с параллелна d?

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Прямые с и d лежат в одной плоскости, т. к. параллельны.
Прямая b пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей d, т. к. b и d скрещиваются. Точка пересечения прямой b с этой плоскостью может принадлежать или не принадлежать прямой с. Отсюда b и с или пересекаются, или скрещиваются.

Предыдущий ответ от Katva неверный!

с будет пересекать b. Чтобы понять, достаточно начертить это на бумаге. Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P1M, P1P2) 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Прямые b и c параллельны как расположена прямая b относительно прямой d

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

🌟 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

1 признак параллельности прямых.Скачать

1 признак параллельности прямых.

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поделиться или сохранить к себе: