Прямая содержащая среднюю линию треугольника abc параллельную стороне ab делит пополам

Ответ оставил Гость

Высоту СН, поскольку треугольник, отсекаемый средней линией, (назовем ее А₁В₁, где В₁ лежит на ВС, а А₁ на АС, С₁=СН∩А₁В₁), это ΔА₁В₁С₁ подобен ΔАВС по 1 признаку подобия треугольников, в них ∠ С общий, ∠В=∠В₁ как соответственные углы при АВ║А₁В₁ и секущей ВС, а из подобия треугольников вытекает указанное соотношение, т.е. А₁В₁/АВ=СС₁/СН=1/2

Поделись вопросом в социальных сетях!

Если Вы не получили ответ на свой вопрос, то предлагаем воспользоваться поиском, чтобы найти похожие вопросы и ответы по предмету -> Геометрия. А если Вы знаете правильный ответ сами, то будем признательны если Вы ответите, воспользовавшись формой ниже.

Видео:Площадь треугольника ABC равна 36. DE – средняя линия, параллельная стороне AB.Скачать

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, то

. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА1, BB1 и CС1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь . Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь . Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь . В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

, и .

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, и верно равенство

.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: .

Доказательство. Из равенства следуют равенства и . Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок CС2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что , т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение , если , . Рис. 4

Ответ. .

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

, . (3)

Из подобия треугольников BС1O и B2CO, AС1O и A2CO имеем равенства , из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если , то и . Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

, . (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что или . Аналогично получим, что и . Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и , (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и , (рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим, . Так как , то обозначим , . Из теоремы Чевы следует, что , и тогда . Если , то (рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как , то = 88. Так как , то , откуда . Так как , то .

Итак, , откуда . Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. , . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: и .

Тогда верны равенства .

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем , откуда следует, что верны равенства

, , .

Последнее равенство верно лишь при условии , т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

, , ,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

, , . (8)

Перемножив равенства (8), получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и AС. P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. , . Найдите отношение .

Решение. Обозначим , , , (рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении , а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении . Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим , , , (рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: , откуда получим, что , . Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что , откуда следует, что .

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: .

Задание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что , то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Задание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны , так как BL биссектриса ABC, то LBC = . Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен , а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен . Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен – = , то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosABC = . Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону BС в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = = 1,5x.

По теореме Менелая , откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: = .

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

1. , Смирнов точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / , , и др. — М.: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / , , и др.; под ред. . – М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Решение планиметрических задач.
методическая разработка по геометрии (10, 11 класс) по теме

Методическая разработка. В работе представлен краткий теоретический справочник, две тренировочных работы (с решениями), две контрольных работы, а также задачи для самостоятельного решения.

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Скачать:

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Видео:В треугольнике ABC DE – средняя линия ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Предварительный просмотр:

КРАТКИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК.

где — проекции катетов , на гипотенузу ; -высота.

Соотношения между сторонами и углами.

sin A = ; tg A = ; cos A = ; ctg A = ;

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

R = =m ; r = , m –медиана, проведённая из вершины прямого угла .

Формула площади. S = .

Определение вида треугольника по его сторонам:

— если , то треугольник остроугольный;

— если , то треугольник прямоугольный;

— если , то треугольник тупоугольный; где c –наибольшая сторона

Соотношения между сторонами и углами.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 .
2. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны (неравенство треугольника).
3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
4. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc (теорема косинусов).
5. = = = 2R (теорема синусов).

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника
3. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
4. m = , где m – медиана, проведённая к стороне с.

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности вписанной в треугольник.
2. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

1. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
2. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

Формулы для вычисления площади.

1. S = ;
2. S = ;
3. S = где p- полупериметр(формула Герона);
4. S = , где R – радиус описанной окружности;
5. S = pr, где r – радиус вписанной окружности.

Формулы для вычисления радиусов вписанной (r) и описанной (R) окружностей.

Пропорциональные площади треугольников.

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
3. Если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию.
4. Если два треугольника имеют общую высоту (или равные высоты), то отношение их площадей равно отношению оснований.

Произвольный выпуклый четырёхугольник.

Формулы для вычисления площади.

1. S = , где — диагонали, — угол между ними;
2. S = pr, если в четырёхугольник можно вписать окружность, где r – радиус вписанной окружности, p- полупериметр.
3. S = , если около четырёхугольника можно описать окружность, где a, b, c, – стороны четырёхугольника, p- полупериметр.

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 . Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника.

Свойство середин сторон четырёхугольника.

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

Формулы для вычисления площади.

Соотношение между сторонами и диагоналями.

Формулы для вычисления площади.

1. S = , где a,b – основания, h – высота;
2. S = pr, если в трапецию можно вписать окружность радиуса r.

Свойства средней линии трапеции.

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
2. Делит пополам любой отрезок, заключённый между основаниями.

a n = 2R n ; a n = 2r n ; r n = R n

где a n – сторона правильного n-угольника, а r n и R n – радиусы вписанной и описанной окружностей.

Окружность и круг.

Свойства касательных к окружности.

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА=МВ и АМО = ВМО, где О – центр окружности.
3. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Свойства хорд окружности.

Произведения длин отрезков хорд АВ и СD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ ЕВ = СЕ ЕD.

Углы, связанные с окружностью.

1. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ОВ и ОС (где О – центр окружности). Центральный угол ВОС измеряется дугой ВС, на которую он опирается.
2. Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами АВ и АС, выходящими из точки А на окружности. Вписанный угол ВАС измеряется половиной дуги ВС, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Длина окружности, площадь круга: l = 2 ; S = R 2 .

Длина дуги, площадь сектора: l AB = , S AOB = ,

где α – центральный угол, опирающийся на дугу АВ, выраженный в градусах.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА №1.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике АВС высота СН, проведённая из вершины прямого угла С, равна 3, АС = 5. Найдите площадь треугольника АВС.

1. В прямоугольном треугольнике АНС по теореме Пифагора АС 2 = СН 2 + АН 2 , АН = = = 4.

1. АСВ – прямоугольный, СН – высота, проведённая из вершины прямого угла

СН 2 = АН ВН, ВН = = = 2,25.

1. АВ = АН + ВН, АВ = 4+2,25 = 6,25.
2. S = СН АВ = 3 2,25 = 9,375.

Задача 2. В треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка М, такая, что С = АВМ. Найдите АВ, если АС = 9, АМ = 4.

1. Треугольники АВС и АМВ подобны по двум углам ( А – общий, С = АВМ).
2. Запишем пропорциональность сторон подобных треугольников.

Замечание. При записи пропорциональности сторон подобных треугольников нужно помнить, что соответствующие стороны лежат против равных углов. Если трудно сразу понять, какую пропорцию следует записать для решения задачи, то лучше выписать равные отношения всех соответствующих сторон и подставить известные стороны.

= = , = = , АВ 2 = 4 9, АВ = 6.

Задача 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и Н так, что АМ : МВ = 5 : 3 и ВН : НС = 2 : 7. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МНВ равна 11.

1. Обозначим через x одну восьмую часть АВ, а через y – одну девятую часть ВС.

Тогда: АВ = 8 x , МВ = 3 x , ВС = 9 y , ВН = 2 y .

= МВ ВН = 3 x 2 y = 3 xy .

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса AD. Площади треугольников АВD и ADC равны соответственно 3 и . Найти длину основания треугольника.

1. Так как треугольники АВD и ADC имеют общую высоту (перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую ВС), то = = = 3.
2. По свойству биссектрисы = = 3 AB = 3 AC.

Пусть АС = x , тогда АВ = ВС = 3 x .

1. Пусть Н – середина стороны АС, то есть ВН – медиана.

Так как АВС – равнобедренный, то ВН _ | _ АС. Поэтому АВН – прямоугольный и по теореме Пифагора ВН = = = .

C другой стороны, = + = 3 + = 4 .

Таким образом, получаем равенство = 4 , = 16 x = 4.

Задача 5. Дан треугольник АВС. В него вписана окружность касающаяся ВС и АС в точках М и Р. Найдите МР, если АВ = 22, ВС = 20, СМ = 2,5.

1. Пусть К – точка касания вписанной в АВС окружности со стороной АВ, так как отрезки касательных к окружности равны, то АК = АР, ВК = ВМ, СР = СМ, сложим равенства и получим: АВ + СМ = АС + ВМ,

АВ + СМ = АС + ВС – СМ

АС = 2СМ + АВ – ВС = 2 2,5 +22 – 20 = 7.

1. Из АВС по теореме косинусов имеем: = , = — .
2. Из РСМ по теореме косинусов: = + – 2 СР СМ .

= (1 – ) = (1 + ) = МР = = = 3,75 .

Задача 6. Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) с углом В, равным , описана окружность радиуса 7 . Её диаметр АМ пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника АЕС.

1. Вписанные углы АВС и АМС опираются на одну и ту же дугу АС, поэтому АМС = АВС = .
2. АСМ = 90 , так как АСМ — вписанный угол, опирающийся на диаметр АМ АСМ – прямоугольный АС = АМ = 7 , так как АС – катет, лежащий против угла в .
3. В АСМ МАС = 180 — АСМ — АМС = 60 .
4. Стороны АЕ и ЕС найдём из АЕС по теореме синусов.

В АЕС ЕАС = 60 , ЕСА = 75 , тогда АЕС = 45 .

По теореме синусов = =

1. = АЕ АС А = 14 7 = .
2. Для вычисления радиуса описанной окружности воспользуемся формулой R = .

R = = = 7 диаметр окружности, описанной около АЕС равен 14.

Задача 7. Точка О лежит на отрезке АВ так, что АО = 13, ОВ = 15. С центром в точке О проведена окружность радиусом 12. Из А и В к ней проведены две касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите длину наибольшей стороны треугольника АМВ.

1. Пусть точки К и С – точки касания. Тогда ОК _ | _ АМ, ОС _ | _ ВМ (радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной) АКО и ВСО – прямоугольные.
2. Из АКО по теореме Пифагора

АК 2 = АО 2 — КО 2 ,

1. Из ВСО по теореме Пифагора ВС 2 = ВО 2 — СО 2 ,

1. МК = МС (отрезки касательных, проведённых из одной точки).

Пусть МК = МС = x , тогда АМ = 5 + x , ВМ = 9 + x .

1. Из АМВ по теореме синусов = , =

15(5 + x ) = 13(9 + x ), 2 x = 42, x = 21 АМ =26, ВМ = 30

Наибольшая сторона треугольника АМВ – это сторона ВМ.

Задача 8. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2 . Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

Замечание. Существует особый класс геометрических задач, имеющих характерную особенность. Эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Поэтому подобные задачи называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения задач такого типа.

Пусть D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC . Тогда ВD –биссектриса и высота этого треугольника.

Возможны два случая расположения указанной в условии окружности в зависимости от типа касания с данной окружностью. В обоих случаях центры O 1 и O 2 этих окружностей будут лежать на прямой BD.

1. Окружности касаются внешним образом.

Пусть точка Е – точка касания окружностей. Тогда искомая окружность описана около треугольника AEC. Для вычисления радиуса описанной окружности воспользуемся формулой R = , = .

Из АВD по теореме Пифагора ВD 2 = АВ 2 — AD 2 BD = = 3.

Из АЕD по теореме Пифагора АЕ 2 = ED 2 + AD 2 АЕ = = .

1. Окружности касаются внутренним образом.

Пусть F – точка касания окружностей. Тогда искомая окружность описана вокруг треугольника AFC . Найдем ее радиус = .

Из АFD по теореме Пифагора АF 2 = FD 2 + AD 2

Ответ: 8,5 или 4,1.

Задача 9. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что

AB = 6 и BC = 4 . Найдите АС.

Из по теореме косинусов AC 2 = AB 2 + BC 2 — 2AB BC cos B,

а также AC = 2 sin B (следствие из теоремы синусов), где – радиус, описанной около АВС окружности.

Отсюда получаем тригонометрическое уравнение 576 sin 2 B = 36 +16 – 48 cos B .

Решая последнее уравнение, находим = .

Положительное значение косинуса соответствует острому углу В, отрицательное – тупому. По основному тригонометрическому тождеству найдём значение . = = AC = 2 sin B = .

Задача 10. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

В данной задаче возможны 4 случая:

АВС – остроугольный; в АВС угол А – тупой; в АВС угол В – тупой; в АВС угол С – тупой.

1. Пусть АВС – остроугольный.

Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и АНС равны между собой:

Так как в четырехугольнике ВEHD углы Е и D прямые,

то В + DHE = 180° АHC = DHE = 180°- В .

Замечание. Если Н — ортоцентр треугольника АВС, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой.

Пусть R — радиус окружности, описанной около ABC, значит СН = R.

Из АНС по обобщённой теореме синусов имеем: СН = 2 .

R= 2 = = 30 или = 150 (это невозможно в остроугольном треугольнике).

Из АЕС – прямоугольного, АСВ = 90 — = 90 — 30 = 60 .

1. Пусть в АВС угол А – тупой.

= R (см. вывод в 1 случае) CН = R (по условию).

Из ВНС имеем: СН = 2 .

В DBC угол D прямой, а угол DBC может быть только острым, значит и угол НВС тоже острый = 30 .

Из DBC находим АСВ = 90 — = 90 — 30 = 60 .

1. Пусть в АВС угол В – тупой.

В этом случае HBC может быть только тупым, так как он смежный к СВЕ, а СВЕ – острый угол в прямоугольном ВСЕ. Значит = 150 СВЕ = 30 .

Из находим АСВ = 90 — = 90 — 30 = 60 .

1. Пусть в АВС угол С – тупой.

В этом случае HBC – острый, так как HBЕ – острый угол в прямоугольном треугольнике HBЕ.

Из находим DСВ = 90 — = 60 .

АСВ и DСВ – смежные АСВ = 180 — 60 = 120 .

Ответ: 60 или 120 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20.
2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите больший катет.
3. В прямоугольном треугольнике длины двух медиан, проведенных к катетам, равны 12 и 4 . Найдите длину третьей медианы.
4. Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. Найдите длину его биссектрисы BL, если известно, что она делит медиану СМ в отношении 6 : 5, считая от вершины С, а площадь треугольника АВС равна 120.
5. Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН = 4, ОН =12, А = 30 . Найдите площадь треугольника АНМ.
6. В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, а длина стороны ВС равна 200. Найдите биссектрису BD этого треугольника, если DC = 125.
7. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N, так что АМ:МВ = 3:4 и BN:NC = 3:5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МNA равна 9.
8. В равнобедренном треугольнике АВС В = 120 . Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника, до основания треугольника равно 2 , а до боковых сторон равно 1. Найдите АС.
9. Высота СН треугольника АВС равна 8, где основание высоты Н лежит на отрезке АВ, НN – высота треугольника ВСН, а НМ – высота треугольника АСН. Найдите длину отрезка MN, если АМ = , а BN = 12.
10. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота треугольника ВН = 12 и известно, что , .
11. Найдите наибольшую сторону треугольника, если отношение его сторон равно 13:20:21, а высота, проведенная к меньшей стороне равна 50,4.
12. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и Е. найдите радиус окружности, если DE = 8, АС = 18.
13. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом . Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины Р. Найдите периметр треугольника РМК.
14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30 , если высота, проведенная к боковой стороне, равна .
15. В окружность радиуса вписан треугольник АВС, в котором А = 60 , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка МС.
16. Дан ромб АВСD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите меньшую диагональ ромба, если АВ = 8 , CЕ = 12.
17. Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается катета ВС в точке М. Луч ВО пересекает катет АС в точке К. Найдите АК, если СМ = 4, ВМ = 8.
18. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС выбрали точку М. Построили описанную окружность с центром О для треугольника АМС. Известно, что АС = 6, а МАО = МОС. Найдите радиус этой окружности.
19. В остроугольном треугольнике АВС провели медиану АМ и описанную окружность с центром О. Известно, что МАС = ОСА, ВАС = 60 , АВ = 6 . Найдите расстояние от центра окружности до АС.
20. В окружность радиуса 5 вписан равнобедренный треугольник, сумма основания и высоты которого равна 16. Найдите высоту треугольника.
21. Площадь равнобедренного треугольника АВС (AB = BC) равна 36. Найдите длину стороны АС, если BC = .
22. В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О — центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24 , MN = 12 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.
23. К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18, проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковыми сторонами равен 2. Найдите основание треугольника.
24. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что СН = AB. Найдите угол АСВ.
25. Отрезок H 1 H 2 , соединяющий основания H 1 и H 2 высот AH 1 и BH 2 треугольника АВС, виден из середины М стороны АВ под прямым углом. Найдите угол С треугольника АВС.
26. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т, соответственно, и образующая с прямой АВ угол , такой что tg = 3 . Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.
27. В треугольнике ABC AB = 12, BC = 5 , CA = 10 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 4:9 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
28. Точка М делит среднюю линию треугольника АВС, параллельную стороне ВС, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка N также делит сторону ВС на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника АВС?
29. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
30. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB, если угол ОСВ равен 10 °, а угол АОС равен 40 °.
31. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что CН = AB . Найдите угол АСВ.
32. Точки A 1 , B 1 , C 1 — основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A 1 B 1 C 1 равны 90°, 60° и 30° . Найдите углы треугольника ABC.
33. Медиана ВМ треугольника АВС равна его высоте АН. Найдите угол МВС.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.

1. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
2. В треугольнике ОВН точка М делит сторону ОВ на отрезки ОМ = 4 и МВ = 28, . Найдите площадь треугольника ОНМ, если О = 45 .
3. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 3 и АС = 5 взята точка К на стороне ВС так, что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ:МК = 5:2. Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь треугольника АВС равна 56.
4. Найдите площадь треугольника АВС, если его стороны АВ и АС равны соответственно 12 и 18, а биссектриса АМ отсекает от него треугольник АВМ, площадь которого равна 20.
5. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках К и А. Точка К делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка КА.
6. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 75 описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.
7. Медиана, проведенная из вершины А треугольника АВС, продлена до пересечения в точке К с описанной окружностью. Найдите сторону АС, если АК = 26, ВК = 10, медиана равна 18.
8. В треугольнике АВС сторона AB = 6 , BAC = 30°, радиус описанной окружности равен 5. Найдите сторону АС .
9. Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.
10. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает прямую АС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает прямую АВ в точке N . Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой ВС. Определите углы треугольника АВС.

1. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.
2. В треугольнике АВС точка D делит сторону АC на отрезки AD = 3 и DC = 13,

ВАС = 60 ; . Найдите площадь треугольника АВС.

1. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 4 и АС = 7 взята точка К на стороне ВС так, что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ:МК = 2:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КВМ равна 12.
2. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3 , ВС = 10, МАС = 45 .
3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6, ВК = 12. Найдите периметр треугольника.
4. Равнобедренный треугольник вписан в окружность с радиусом 4 . Найдите высоту, проведенную к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120 .
5. Около треугольника АВС описана окружность радиуса , и в него же вписана окружность. Хорда описанной окружности, проходящая через центр вписанной окружности и вершину А, пересекает сторону ВС в точке М. Найдите МС, если А = 60 и АВ = 2АС.
6. В треугольнике АВС сторона AB = 24 , BAC = 60° , радиус описанной окружности равен 13. Найдите сторону АС .
7. В треугольнике АВС с углом ABC = 60°, биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М . На стороне АС взята точка К так, что AMK = 30°. Найдите OKC , где О — центр окружности, описанной около треугольника АМС .
8. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает сторону ВС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через сторону ВС, пересекает сторону АС в точке N. Известно, что MN = АВ и прямая MN перпендикулярна АВ . Найдите углы треугольника АВС .

ТРЕНИРОВОЧНАЯ РАБОТА №2.

Задача 1. Радиус окружности, вписанной в ромб, в четыре раза меньше одной из его диагоналей и равен . Найдите периметр этого ромба.

1. = 4 АВ. По условию = , где r = ОК.
2. Из АОК: = , то есть = = 30 , тогда = 60 ,

так как диагональ ромба является биссектрисой его угла.

1. ВН = 2ОК = 8 .
2. Из имеем: АВ = , АВ = = 16.
3. = 4 16 = 64.

Задача 2. В параллелограмме ABCD угол BAD равен 120 . Биссектриса угла ADC пересекает прямую АВ в точке Е. В треугольник ADE вписана окружность с центром в точке О. Найдите периметр треугольника ADE, если АО = 7 — 4 .

Несмотря на то, что по данным задачи можно построить два чертежа, решение одинаково для обоих случаев.

1. АЕD = EDC, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD, и секущей DE.

АDЕ = EDC, так как DE биссектриса угла ADC.

Значит, АDЕ = АЕD АDЕ – равнобедренный, AD = АЕ.

1. О –центр вписанной в АDЕ окружности лежит на биссектрисе АМ, а так как АDЕ – равнобедренный, то АМ – биссектриса, высота и медиана.
2. В АОР: = 90 , = BAD = 60 , значит = 30 ,

1. РО = ОМ = , тогда АМ = АО + ОМ = 7 — 4 + – 6 = 1 — = .
2. Из AMD имеем:

AD = 2АМ, так как = 30 , AD = 2 — .

DM = АМ tg МAD = АМ tg60 = = .

= 2AD + DE = 4 — 2 + = 1.

Задача 3. Боковые стороны равнобедренной трапеции при их продолжении пересекаются под углом 120 . Найдите длину меньшего основания трапеции, если её площадь равна 65 + 25 , а высота равна 5.

1. ABCD – равнобедренная трапеция, значит ВЕС – равнобедренный. Проведем ЕК – биссектрису, высоту, медиану. Тогда .

Обозначим ВК = КС = х .

1. ЕВК – прямоугольный. ЕК= ВК ctg 60 = ,

тогда EF = ЕК + KF, KF = ВМ, где ВМ – высота трапеции, EF = + 5.

1. Из AEF – прямоугольного: AF = EF tg 60 = ( + 5) = х + 5 .
2. = (BC + AD) ВМ, ВС = 2 х , AD = 2AF, значит

= ( х +х + 5 ) 5, имеем уравнение ( х +х + 5 ) 5 = 5(13 + 5 ), 2 х = 13, х = 6,5 ВС = 2 ВК = 13.

Задача 4. В равнобедренной трапеции с острым углом 60 боковая сторона равна , а меньшее основание равно 2 . Найдите радиус окружности, описанной около той трапеции.

1. Окружность, описанная около данной трапеции, также является описанной окружностью для треугольника АВС R = .
2. BAD = 60 ABC = 120 (внутренние односторонние углы при параллельных AD и ВС и секущей АВ).
3. Из АВС по теореме косинусов: = + – 2 АВ ВС , = + + 2 , = 147, АС = .
4. R = = = = 7 .

Задача 5. Через середину диагонали АС трапеции ABCD проведена прямая, перпендикулярная АС. Эта прямая пересекает основания AD и ВС в точках К и М соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник АМСК, если АМ = 10, АС = 16.

1. Пусть О – середина диагонали АС.

МОС = КОА по катету и острому углу

(АО = ОС, ОАК = ОСМ, как накрест лежащие при параллельных ВС и AD, и секущей АС).

1. МС АК, МС=АК АМСК – параллелограмм, значит АМ = СК.
2. Окружность вписана в четырехугольник, поэтому МС + АК =АМ + CК, отсюда АМ = МС, АМСК – ромб.
3. Из АОМ – прямоугольного, по теореме Пифагора МО = = = = 6, тогда МК = 12.
4. = АС МК = 96.

С другой стороны, так как в четырехугольник АМСК вписана окружность, то = рr, где р – полупериметр, р = 2АМ = 20.

Задача 6. В трапеции ABCD боковая сторона АD перпендикулярна основаниям. Окружность, вписанная в эту трапецию, касается сторон CD и ВС в точках М и N соответственно, причем MN = МС. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности равен 8 -12.

1. Пусть m – средняя линия трапеции, m = (АВ+CD).
2. Так как трапеция описана, то AD+ВС = АВ+DC.

1. По свойству касательных, проведённых из одной точки, CN = СМ, но по условию СМ = MN, значит ∆MNC -равносторонний, С = 60 .
2. Построим высоту трапеции ВН.

Из ∆ВСН – прямоугольного, имеем ВС = , где ВН = AD = 2r = 16 -24.

m = (16 -24 + 32 — 16 ) = 4.

Задача 7. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 4, а площадь треугольника AOD равна 9.

(так как ВОС = AOD, как вертикальные,

ОСВ = ОАD, как накрест лежащие при параллельных AD и ВС и секущей АС).

Значит, = = , то есть k = .

1. Проведем высоту трапеции КЕ, тогда КО – высота ВОС, ОЕ – высота AOD.

Обозначим одну пятую часть высоты через x , тогда ОК = 2 x , ОЕ = 3 x , КЕ = 5 x .

= ВС ОК, ВС 2 x = 4, ВС = ;

= AD ОЕ, AD 3 x = 9, AD = .

Задача 8 . На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E, делящая эту сторону прямой в отношении 2:3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?

Поскольку в условии задачи не указано относительно какого из концов отрезка BC он делится точкой E в отношении 2:3 , то возможны два случая.

1. Если BE : EC = 2:3, то BE = EC и ВС = ЕС + EC = EC.

EFC DFA по двум углам (так как EFC = AFD как вертикальные, ECF = AD как накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС).

Значит, = = = . Тогда FC = AF и АС = AF.

Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, тогда = .

Треугольники AFD и AСD имеют общую вершину D и их основания лежат на одной прямой их площади относятся как основания, то есть = = .

1. В случае если EC : BE = 2:3, решая аналогичным образом, получим

Задача 9 . Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВC и AD. Известно, что BC = 44, AD = 100 и АВ = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Возможны два случая расположения окружности, заданной в условии.

Пусть точки М и Т – точки касания с окружностью прямых АС и AD, тогда СК = СМ, АМ = АТ, DТ = DК, как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Опустим из вершин В и С трапеции на сторону AD перпендикуляры ВЕ и CF соответственно.

Тогда АЕ = FD = = = 28, AF = AD – FD = 100 – 28 =72.

Из АВЕ по теореме Пифагора: ВЕ = = =21, CF = ВЕ.

Из АCF по теореме Пифагора: AC = = = 75.

1. Окружность вписана в треугольник ACD.

Пусть СМ = CК = х , тогда DK = DТ = CD – CK = 35 — х ,

АМ = АТ =АС – МС = 75 – х .

По условию AD = 100, но AD = АТ + ТD, 35 – х + 75 – х = 100, х = 5, CК = 5.

1. Окружность является вневписанной для треугольника ACD.

Пусть СМ = CК = х , тогда DK = DТ = CD – CK = 35 — х ,

АМ = АС + СМ = 75 + х , АТ = AD + DT = 100 + 35 – х .

Но АМ = АТ, 75 + х = 100 + 35 – х , 2 х = 60, х = 30, СК = 30.

Задача 10 . Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами AB = 36 , CD = 34 и верхним основанием BC = 10 . Известно, что cos ABC = — . Найдите BD.

Проведем CЕ параллельно АВ.

Тогда АВСЕ – параллелограмм, АЕС = АВС, DЕС = 180 — АЕС.

DЕС = DАВ, как соответственные углы при параллельных прямых АВ и CЕ и секущей АЕ, = = .

Обозначим ED через х .

Из DЕС по теореме косинусов: CD 2 = ЕС 2 + ED 2 – 2ЕC ED cos ,

34 2 = 36 2 + x 2 – 2 36 x , x 2 — 24 x + 140 = 0. Отсюда x = 14 или x = 10.

Получившиеся два значения x , означают, что условию задачи соответствуют два чертежа. В одном случае острый, а в другом – тупой.

Из ABD по теореме косинусов: BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB AD cos .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть х = 14, тогда AD = 24, так как AD = AE + ED и АЕ = ВС.

Имеем, BD 2 = 36 2 + 24 2 – 2 36 24 , BD 2 = 1296, BD = 36.

В этом случае угол D – острый (см. рисунок выше). Так как для ЕСD справедливо неравенство ЕС 2 ED 2 + CD 2 , 36 2 14 2 + 34 2. , 1296 196 +1156.

1. Пусть х = 10, тогда AD = 20.

BD 2 = 36 2 + 20 2 – 2 36 20 , BD 2 = 1216, BD = 8 .

В этом случае угол D – тупой потому что для ЕСD справедливо неравенство ЕС 2 ED 2 + CD 2 , 36 2 10 2 + 34 2. , 1296 100 + 1156.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ .

1. В ромбе против острого угла, равного 30 , лежит диагональ равная . Найдите площадь ромба.
2. Радиус окружности, вписанной в ромб, в четыре раза меньше одной из его диагоналей и равен 4 . Найдите периметр этого ромба.
3. В параллелограмме TMKP сторона КР равна 10, а сторона МК, равная 6 , составляет с диагональю МР угол, равный 45 . Найдите высоту, проведенную к большей стороне параллелограмма.
4. Дан параллелограмм ABCD с тупым углом при вершине В. Синус угла BAD равен , а длина стороны АВ равна 6. Найдите периметр треугольника АВС, если площадь параллелограмма равна 20 .
5. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника BCD, равен . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС, если BDС = 60 , а ВAС = 75 .
6. Сторона АВ параллелограмма ABCD равна 2 , а его диагонали равны 20 и 24. Найдите сторону ВС.
7. Дан параллелограмм ABCD . Точка К лежит на диагонали АС и делит ее в отношении 2 : 1, а точка М – середина стороны АВ. Найдите отношение площади треугольника AMК к площади параллелограмма ABCD .
8. В квадрат со стороной вписана окружность, а в неё другой квадрат. Найдите площадь второго квадрата.
9. Средняя линия трапеции равна 15, сумма углов при одном из оснований равна 90 . Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна , а разность оснований равна 10.
10. В прямоугольной трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна большему основанию AD. Площадь трапеции равна 150 , D = ВСА = 60 Найти диагональ АС.
11. Найдите площадь трапеции, если она вписана в окружность с радиусом 17, причем длины отрезков, соединяющих центр окружности с серединами оснований, равны 15 и 8.
12. В равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 36, вписана окружность радиуса 12. Найдите наименьшее основание трапеции..
13. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.
14. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна 12, длина боковой стороны ВС равна 5. Найдите площадь трапеции.
15. В трапеции большее основание равно 25, одна из боковых сторон равна 15. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и нижним основанием пополам. Найдите площадь трапеции.
16. В трапеции АВСЕ основание равно 16, CЕ = 8 . Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н. Найдите АС, если АНВ = 60 .
17. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции пересекаются в точке Е. Найдите периметр треугольника AED, если АВ = 3, ВС = 10, CD = 4, AD = 12.
18. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная около треугольника АВС, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М и делит его на отрезки АМ = 8 и MD = 2. Найдите площадь трапеции ABCD.
19. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Известно, что АС = 4, BD = 5, CAD = 2 BDA. Найдите длину средней линии трапеции.
20. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, составляющие с пересекаемыми сторонами квадрата угол в 60 . Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения проведенных прямых со сторонами квадрата, если сторона квадрата равна 3.
21. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Н. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AНD равна 9, а точка Н лежит на диагонали АС так, что АН : НС = 3 : 1.
22. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.
23. На окружности радиуса 5 расположены две смежные вершины квадрата. Расстояние между центрами квадрата и окружности равно 7. Вычислите сторону квадрата.
24. Диагональ равнобедренной трапеции равна 5, а площадь равна 12. Найдите высоту трапеции.
25. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD. Окружность, описанная около треугольника АВС, касается прямой CD, пересекает основание AD в точке М и делит его на отрезки АМ = 8 и MD = 2. Найдите площадь трапеции ABCD.
26. В прямоугольнике ABCD АВ = 2, ВС = . Точка Е на прямой АВ выбрана так, что AED = DEC . Найдите АЕ.
27. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.
28. Основания трапеции равны a и b . Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3 . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.
29. Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС вписана в окружность с центром О. Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3 и sin АОВ = 0,6.
30. Площадь равнобедренной трапеции равна . Угол между диагональю и основанием на 20° больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.
31. Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60° . На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.
32. Дан квадрат ABCD. В плоскости квадрата взята точка M, такая, что BM = CM и AMB = 75° . Найдите величину угла ВМС.
33. Из вершины тупого угла ромба проведены две высоты. Расстояние между их концами равно половине диагонали ромба. Найдите углы ромба.
34. В параллелограмме ABCD угол ACD равен 30° . Известно, что центры окружностей, описанных около треугольников ABD и BCD, расположены на диагонали АС . Найдите угол ABD .
35. Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке М, а продолжения сторон АВ и CD — в точке О . Отрезок МО перпендикулярен биссектрисе угла AOD . Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12 , OD = 8 , CD = 2.
36. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке A , а большую — в точке C. Известно, что AC = 3 . Найдите BC.
37. Окружности радиусов 20 и 3 касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите длины отрезков AM и MB, если AB = 32 .
38. В окружности, радиус которой равен 15, проведена хорда AB = 24. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC : BC = 1:2 . Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.
39. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из двух данных и той же прямой.
40. Точка О — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса ОМ взята точка А. Через точку А проведена прямая, касающаяся окружности в точке К. Известно, что OAK = 60° . Найдите радиус окружности, вписанной в угол ОАК и касающейся данной окружности внешним образом.
41. Найдите радиус окружности, вписанной в угол MKN равный 2 arcsin 0,6 и касающейся окружности, радиуса 4 также вписанной в угол MKN.
42. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1 . Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2.

1. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите CЕ, если АВ = 8 , BD = 16.
2. Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке К, причем АМ = 10, ВК = 6. Найдите площадь четырехугольника АВМК.
3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 3 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника AOD, если ABD = 45 , а AСD = 75 .
4. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника АВСМ равна 60.
5. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.
6. Найдите боковую сторону трапеции, если она вписана в окружность, диаметр которой равен 8 и является основанием трапеции. А средняя линия трапеции равна 7 .
7. В равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 36, вписана окружность радиуса 12. Найдите меньшее основание трапеции.
8. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е лежит на диагонали АС так, что АЕ : ЕС = 1 : 3.
9. Дан параллелограмм ABCD , AB = 2 , BC = 3 , A = 60° . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.
10. Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна 12 и образует с ее основанием угол 60° . Основания трапеции равны 16 и 40. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.

1. В ромбе ABCD диагональ АС равна 2 , на стороне ВС, равной 15, отложен отрезок ВК, равный 5. Найдите больший из отрезков, на которые делится отрезок АК в точке пересечения с диагональю BD.
2. Две стороны параллелограмма равны 13 и 14, а одна из диагоналей равна 15. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.
3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен 7 . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника СOD, если ВАС = 30 , а ВСА = 15 .
4. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 2 : 3 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.
5. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найдите меньшее основание трапеции.
6. Найдите радиус окружности, в которую вписана трапеция, основание которой является диаметром окружности, если площадь трапеции равна 40 , а средняя линия равна 10.
7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
8. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника AОD равна 27, а точка О лежит на диагонали BD так, что ВО : OD = 2 : 3.
9. Окружность радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и данной окружности.
10. Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами AB = 27, CD = 28 и основанием ВС = 5. Известно, что BCD = — . Найдите диагональ АС.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. 4. 2. 6. 3. 8. 4. 15. 5. 4 . 6. 195. 7. 56. 8. 16. 9. 8. 10. 4. 11. 54,6. 12. 6. 13. 36. 14. 4. 15. 4. 16. 16. 17. 10. 18. 3. 19. 3. 20. 6,4 или 8. 21. 8 или 18. 22. 8 или 24. 23. 3 или 6. 24. 45 или 135 . 25. 45 или 135 . 26. 2 или 10. 27. или . 28. или . 29. 1 или 6. 30. 60 или 80 . 31. 45 или 135 . 32. 45 , 75 , 60 или 135 , 15 , 30 или 120 , 15 , 45 или 105 , 30 , 45 . 33. 30 или 150 . 34. 2. 35. 64. 36. 8,4. 37. 20. 38. 15. 39. 20. 40. или . 41. 1. 42. 45. 43. 20. 44. 529 или 161. 45. 16. 46. 20. 47. 45. 48. 240. 49. 8. 50. 54. 51. 36. 52. 1,125. 53. 6. 54. 48 или 16. 55. 39 или 9. 56. 6 или 8. 57. 3 или 4. 58. 36. 59. 1 или 3. 60. 5; 15 или 8; 12. 61. или . 62. 9 или 1. 63. 40 или 80 . 64. или . 65. 60 или 150 . 66. 60 ; 120 или 30 ; 150 . 67. 30 или 60 . 68. 2 или . 69. 2 . 70. 24 и 8 или 16 + 4 и 16 — 4 . 71. или . 72. 1,44 или 36. 73. 2 + или 2 — . 74. 1 или 16. 75. 1 или 7.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.

1. 25. 2. 16. 3. 25. 4. 50. 5. 12. 6. 8. 7. 15. 8. 3 9. 165 или 105 . 10. А = 60 , В = 15 , С = 105 или А = 60 , В = 105 , С = 15 .

1. 25. 2. 48. 3. 55. 4. 21. 5. 45. 6. 6. 7. 4. 8. 12 9. 30 или 150 . 10. А = 120 , В = 30 , С = 30 или А = 30 , В = 120 , С = 30 .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2.

1. 12. 2. 30. 3. 6. 4. 180 или 90. 5. 5. 6. 4. 7. 16. 8. 48 или 144. 9. или 10. 12 или 12 .

📺 Видео

ОГЭ Р-2 номер 16Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Площадь треугольника ABC равна 24, DE - средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треуСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Средняя линия треугольника | Задачи 21-30 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать

Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭСкачать

ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

№473. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите,Скачать

Все Задания 1 ЕГЭ 2024 ПРОФИЛЬ из Банка ФИПИ (Математика Школа Пифагора)Скачать

Геометрия 8. Средняя линия трапеции. Средняя линия треугольника. Задачи.Скачать

Геометрия Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадьСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА 8 класс Атанасян геометрияСкачать