Прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется

Проекцией прямой, которая не перпендикулярна плоскости проекций, является прямая. Её положение определяется двумя точками, следовательно, для того чтобы построить проекцию прямой, достаточно построить проекции двух её точек.

Рисунок 8

а) Прямой общего положения называется прямая, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскости проекций. Пример такой прямой изображён на рисунке 8. Комплексный чертёж этой прямой будет выглядеть следующим образом.

Рисунок 9

б) Прямые частного положения – это прямые, занимающие по отношению к плоскостям проекций особое положение, т.е. либо параллельные, либо перпендикулярные плоскостям проекций.

Первый подкласс прямых частного положения – прямые уровня. Это прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций.

Горизонталь – прямая параллельная горизонтальной плоскости П1. Комплексный чертёж такой прямой изображён на рисунке 10.

Рисунок 10

Фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна прямой Х, а угол между осью Х и горизонтальной проекцией горизонтали составляет угол между прямой и фронтальной плоскостью проекций. Символическая запись: h // П1; α = Ð h П2.

Фронталь – прямая параллельная фронтальной плоскости П2. Комплексный чертёж фронтали изображён на рисунке 11.

Рисунок 11

Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Х, а угол β — угол наклона фронтали к горизонтальной плоскости проекций; f₂ // П2, β= Ð f1 П1.

Профильная прямая – это прямая, параллельная профильной плоскости П 3 . Комплексный чертёж профильной прямой изображён на рисунке 12. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси Х, а углы α и β — соответственно, углы наклона прямой к плоскостям П 1 и П2.

Рисунок 12.

Истинная величина прямых уровня или, так называемая натуральная величина, отображена на тех плоскостях, которым параллельны эти прямые.

Второй подкласс прямых частного положения – проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. К таким прямым относятся: горизонтально–проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая прямые.

Их комплексные чертежи изображены соответственно на рисунке 13 (а, б, в).

Рисунок 13

Натуральная величина горизонтально-проецирующей прямой – её фронтальная проекция, фронтально-проецирующей прямой – её горизонтальная проекция, а профильно-проецирующей прямой – её горизонтальная и фронтальная проекции.

а) три точки, не лежащие на одной прямой;

Рисунок 14

б) прямая и точка, не лежащая на ней;

Рисунок 15

в) две параллельные прямые;

Рисунок 16

г) две пересекающиеся прямые;

Рисунок 17

д) плоская фигура (многоугольник, круг и т.д.).

Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Рисунок 18

Плоскости частного положения аналогично прямой подразделяются на плоскости уровня и проецирующие плоскости. На рисунке 19 (а,б,в) изображены, соответственно, горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости. Причём горизонтальная плоскость задана двумя параллельными прямыми, фронтальная и профильная плоскости – двумя пересекающимися прямыми.

Рисунок 19

На рисунке 20 (а, б, в) показаны проецирующие плоскости. Горизонтально-проецирующая (рис. 20а) задана треугольником, фронтально-проецирующая (рис. 20б) — параллельными прямыми и профильно-проецирующая (рис. 20в) – пересекающимися прямыми.

Рисунок 20

1. Как образуется комплексный чертеж прямой линии?

2. Прямые какого положения вы знаете?

3. Назовите прямые уровня.

4. Как называется прямая, проекцией которой на горизонтальной плоскости будет точка?

5. Перечислите способы задания плоскости.

6. Дайте определение плоскости общего положения.

7. Какие бывают плоскости частного положения? Как они называются и как выглядят на комплексном чертеже?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

Видео:Лекция 3. Прямая линияСкачать

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
2. Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
2. Отложим на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
5. Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

• горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
• фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
• профильный след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

• горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
• фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
• профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
2. Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
2. Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

• параллельными;
• пересекающимися;
• скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

Видео:Лекция 1. Классификация прямых линий.Скачать

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Видео:3. Прямая. Проекции прямой линииСкачать

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π₁, равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

Видео:10 класс, 21 урок, Угол между прямой и плоскостьюСкачать

Прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется

136. Проекция, при которой направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций, называется:
• прямоугольной аксонометрической проекцией

137. Прямая, не параллельная ни одной плоскости проекции, называется:
• прямой общего положения

138. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется:
• горизонталью

139. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции, — есть:
• фронталь

140. Прямоугольник называют «золотым», если соотношение его сторон равно
• ≈1,62

141. Прямую, проходящую через точку поверхности и перпендикулярную касательной плоскости, проведенной через эту точку, называют:
• нормалью к поверхности

142. Прямые плоскости, перпендикулярные к линиям уровня плоскости, — это:
• линии наклона плоскости

143. Прямые частного положения, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций, называют:
• проецирующими прямыми

144. Прямые, имеющие одну общую точку, — это:
• пересекающиеся прямые

145. Прямые, не лежащие в одной плоскости, — это:
• скрещивающиеся прямые

146. Прямые, параллельные плоскостям проекций, — это:
• прямые уровня

147. Прямые, пересекающиеся в несобственной точке (то есть прямые лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке), — это:
• параллельные прямые

148. Развертки всех развертываемых поверхностей, которые выполнены графически, являются:
• приближенными

149. Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется в виде длины отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости
• на другую

150. Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на:
• эту плоскость

🔥 Видео

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

Лекция №4 Чертеж прямой. Следы прямой. Прямые общего и частного положения. Взаимное положение прямыхСкачать

Проецирование плоскости общего положенияСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать