Прямая м параллельна стороне ав равнобедренной трапеции авсд и не лежит в плоскости трапеции

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:9 вариант ЕГЭ Ященко 2024 математика профильный уровеньСкачать

Трапеции ABCD и ABMN не лежат в одной плоскости(АВ — основани трапеций)?

Геометрия | 10 — 11 классы

Трапеции ABCD и ABMN не лежат в одной плоскости(АВ — основани трапеций).

Докажите, что прямые АВ и CN скрещивающиеся :

АВ и CN не лежат в одной плоскости по условию

АВ и CNне пересекаются, так как прямые могут пересекаться только находясь в одной плоскости

Из этого следует, чтоАВ и CNне пересекаются и не лежат в одной плоскости, значитАВ и CN скрещивающиеся прямые по определению чтд.

Видео:№30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежитСкачать

Середина М основания AD трапеции ABCD равноудалена от концов другого основания ?

Середина М основания AD трапеции ABCD равноудалена от концов другого основания .

Докажите что трапеция ABCD равнобедренная срочно завтра здавать заранее благодаркен.

Видео:№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.Скачать

1. плоскость альфа проходит через основание AD трапеции ABCD?

1. плоскость альфа проходит через основание AD трапеции ABCD.

M и P — середины боковых сторон трапеции.

А. )докажите сто MP параллельна альфу.

Б. ) найдите AD, ЕСЛИ BC = 4см MP = 6СМ 2.

Плоскость альфа проходит через основание AD трапеции ABCD.

M и P — середины боковых сторон трапеции.

А. )докажите сто MP параллельна альфу.

Б. ) найдите AD, ЕСЛИ BC = 4см MP = 6СМ 3.

ПРЯМАЯ MA проходит через вершину квардрата abcd и не лежит в плоскости квардрата.

А. )докажите что MA и BC скрещивающиеся прямые б.

) НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ ma И bc ЕСЛИ УГОЛ MAD = 45 градус.

Видео:№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскостиСкачать

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD?

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.

Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом?

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом.

BH –высота к большему основанию CD, EF – средняя линия трапеции.

А) Докажите, что BH = DH ; б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

Видео:№90. Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости α, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. КакСкачать

Диагонали трапеции abcd являются биссектрисами ее углов при большем основании ad 1) докажите что трапеция abcd равнобедренная 2) докажите что треугольник aod равнобедренный o — точка пересечения диаго?

Диагонали трапеции abcd являются биссектрисами ее углов при большем основании ad 1) докажите что трапеция abcd равнобедренная 2) докажите что треугольник aod равнобедренный o — точка пересечения диагоналей.

Видео:№31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит черезСкачать

Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD является биссектрисой прямого угла A и перпендикулярна боковой стороне CDа) Докажите, что высота трапеции равна ее меньшему основанию?

Диагональ AC прямоугольной трапеции ABCD является биссектрисой прямого угла A и перпендикулярна боковой стороне CD

а) Докажите, что высота трапеции равна ее меньшему основанию.

Б) Найдите длины высоты и большего основания трапеции, если меньшее основание равно 18 см.

Видео:№45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма.Скачать

Вершины А и В трапеции АВСД лежат в плоскости , а вершины С и Д не лежат в этой плоскости?

Вершины А и В трапеции АВСД лежат в плоскости , а вершины С и Д не лежат в этой плоскости.

Как расположена прямая СД относительно плоскости , если отрезок АВ является :

а) основанием трапеции

б)боковой стороной трапеции.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Основание ad трапеции abcd лежит в плоскости β через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая α, параллельная основанию ВС?

Основание ad трапеции abcd лежит в плоскости β через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая α, параллельная основанию ВС.

Как расположены прямая α и плоскостьβ?

Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

Основания трапеции BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD = 14?

Основания трапеции BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 7 и 28, BD = 14.

Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты через неё, докажите, что прямая, проходящая через центры квадратов проходит через точку пересечения диагоналей трапеции?

На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты через неё, докажите, что прямая, проходящая через центры квадратов проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Вы находитесь на странице вопроса Трапеции ABCD и ABMN не лежат в одной плоскости(АВ — основани трапеций)? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Прямая м параллельна стороне ав равнобедренной трапеции авсд и не лежит в плоскости трапеции

помогите решить срочно надо

2.плоскость альфа проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции. ABCD точки M и P.

а.)докажите, что AD параллельна альфу.

б.)найдите BC, если AD=10см, MP=8см.

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

📹 Видео

№46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба.Скачать

Строим проекции равнобедренной трапеции и определяем углы наклона ее высоты и плоскости к П1 и П2Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

№20. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые,Скачать

№23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD.Скачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать