Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Планиметрия. Страница 2

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Содержание
  1. 1.Параллельность прямых
  2. 2.Признаки параллельности прямых
  3. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
  4. 4.Сумма углов треугольника
  5. 5.Единственность перпендикуляра к прямой
  6. 6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
  7. 7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
  8. 8. Пример 1
  9. Пример 2
  10. Пример 3
  11. Пример 4
  12. Пример 5
  13. Признаки параллельности прямых
  14. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  15. Определения параллельных прямых
  16. Признаки параллельности двух прямых
  17. Аксиома параллельных прямых
  18. Обратные теоремы
  19. Пример №1
  20. Параллельность прямых на плоскости
  21. Две прямые, перпендикулярные третьей
  22. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  23. Признаки параллельности прямых
  24. Пример №2
  25. Пример №3
  26. Пример №4
  27. Аксиома параллельных прямых
  28. Пример №5
  29. Пример №6
  30. Свойства параллельных прямых
  31. Пример №7
  32. Пример №8
  33. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  34. Расстояние между параллельными прямыми
  35. Пример №9
  36. Пример №10
  37. Справочный материал по параллельным прямым
  38. Перпендикулярные и параллельные прямые
  39. 💥 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

1.Параллельность прямых

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

2.Признаки параллельности прямых

Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

8. Пример 1

Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

Доказательство:

Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .

Пример 2

Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

Доказательство:

Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.

Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.

Пример 3

Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

Решение:

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

Отсюда следует, что можно составить соотношение:

Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

Решение:

Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а

α1 + β1 = 240° по условию задачи, то

А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

α + β + γ = 180°, т.е.

И следовательно, γ = 60°

Ответ: угол при вершине С = 60°.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

Доказательство:

Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

λ = 180° — (α / 2 + α)

Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

Признаки параллельности прямых:

1) Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

2) Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

3) Если сумма внутренних односторонних углов равна 180, то то прямые параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

4) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

5) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, но не принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Говорят, что прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапересекаются в точке М.
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Это можно записать так: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— знак принадлежности точки прямой, «Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.
  2. Если Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 90°, то а Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАВ и b Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.
  3. Если Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаОFА = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2). Из равенства этих треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаЗ = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника5 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6.
  6. Так как Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника5 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6 следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6 = 90°. Получаем, что а Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаFF1 и b Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаFF1, а аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника
2) Заметим, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаAOF = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаl + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180° и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180° следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаF и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3. Кроме того, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAF. Действительно, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаFAC равны как соответственные углы, a Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаFAC = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180° (рис. 97, а).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3= 180°.

4) Из равенств Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника= Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 = 180° следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAF + Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Так как Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = 90°, то и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = 90°, а, значит, сКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаb.

Что и требовалось доказать.

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапараллельны, то есть Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, лучи АВ и КМ.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 161).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, перпендикулярную прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи строят другую перпендикулярную прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, затем — третью прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи т. д. Поскольку прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаперпендикулярны одной прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то из указанной теоремы следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, параллельной прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникатретьей прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника5,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника8,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника7,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника5,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника8 — соответственные углы;
  • Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника6,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника5 — внутренние односторонние углы;
  • Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника7,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— данные прямые, АВ — секущая, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 (рис. 166).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи продлим его до пересечения с прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникав точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 по условию, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBMK =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаANM =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBKM = 90°. Тогда прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 (рис. 167).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи секущей Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаl +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180° (рис. 168).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи секущей Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаAOB = Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAO=Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAK = 26°, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAC = 2 •Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаADK +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1=Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2. Так как Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника||Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Реальная геометрия

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапроходит через точку М и параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникав некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника||Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 187).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника||Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникане параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, параллельные третьей прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника||Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника4. Доказать, что Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Так как Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, которая параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникане пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, которые параллельны прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, АВ — секущая,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, параллельные прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— секущая,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 — соответственные (рис. 196).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать:Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— секущая,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 иКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказать:Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаl +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаl =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3 как накрест лежащие. Следовательно,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаl +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, т. е.Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 = 90°. Согласно следствию Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, т. е.Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 = 90°.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАОВ =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаABD =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаADB =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникапараллельны, то пишут: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(рис. 211).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника3. Значит,Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника1 =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника2.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи АВКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то расстояние между прямыми Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, А Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, С Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, АВКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, CDКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаCAD =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаравны (см. рис. 285). Прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, проходящая через точку А параллельно прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, которая параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникабудет перпендикуляром и к прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAD +Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, параллельную прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Тогда Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника|| Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаравноудалены от прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникана расстояние Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, то есть расстояние от точки М до прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаравно Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Но через точку К проходит единственная прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, параллельная Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Значит, точка М принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника.

Таким образом, все точки прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаравноудалены от прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника. Прямая Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаКак доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника— параллельны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаи Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольникаесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 2
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника
Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

Видео:Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать

Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.

4.Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

5.Единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

Видео:Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Как доказать что прямые параллельны если стороны треугольника
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

1 признак параллельности прямых.Скачать

1 признак параллельности прямых.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

№52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторонаСкачать

№52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых
Поделиться или сохранить к себе: