Горизонтальная плоскость проекции треугольник

Натуральная величина треугольника на эпюре Монжа может быть определена: – способом прямоугольного треугольника;

Здесь поочередно применяется способ прямоугольного треугольника для определения действительных величин отрезков, составляющих треугольник, а затем, к одному из них методом засечек строятся два других.

Используем Метод преобразования проекций для определения истиной величины треугольника на эпюре Монжа:

– Способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций;

– Вращение вокруг горизонтали представляющих собой линии уровня;

представляющих собой линии уровня;

– Вращение вокруг следа или способ совмещения с плоскостью проекций;

Задача на определение натуральной величины плоской фигуры относится к разделу метрические задачи.

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

9.6.1. Задание:определить натуральную величину треугольника ABC(рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости П_1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене – получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A₁B₁C₁ проводят ось x_1,4новой системы плоскостей проекций П₁/П₄перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁.В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координатыzточек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.

При соединении новых проекций А₄,B₄, С₄получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ – угол α. На чертеже это угол между осью x_1,4и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅,параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x_4,5проводят параллельно С₄А₄В₄на произвольном расстоянии. Получают новую систе­му П₄/П₅.Полученный треугольник А₅В₅С₅и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси(рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABCпреобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h (h₁,h₂) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h₂,она проходит через проекцию точки A₂и проекцию точки 1₂ при этомh₂ параллельна оси х).Далее находят горизонтальную проекцию h₁ горизонтали h (через проекции A₁ и 1₁). Через точку А проводят ось i – ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П₁. На фронтальной проекции через вершины А₂ и В₂ проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σв которых при вращении будут перемещаться точки АиВ. Вершина С принадле­жит плоскости П₁поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П₁.На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i₁ поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П₂ она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h’₁ займет новое положение – перпендикулярно к оси х.

При этом на фронтальной проекции А₂ остается неизменной, находясь на следе плоскости Σ₂ и ее обозначим a₂‘.

На гори­зонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С во­круг оси i так, чтобы . На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости ₂, а вершина С – по оси х. Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию А’₂В’₂С’₂,сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П₁ – угол α .

На втором этапе проводят ось jчерез вершинуС так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С’₂ ≡ j’₂, а горизонтальная проекция j’₁ пройдет через проекцию С’₁. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А’₂ и В’₁, вокруг j₂ до совмещения с осью х,при этом проекции B’₁ и A’₁ будут перемещаться параллельно оси хи займут новое положение В»₁, и А»₁ вершина С оста­нется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC).

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендику­лярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А₂1₂║х,). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П₁. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проек­ций П₁, А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h₁ треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П₂.

Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A₁ ′ B₁ ′ C₁ ′ с условием, чтобы А₁1₁П₂, а значит А₁ ′ 1₁ ′ х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция А₂В₂С₂ заменится А’₂В’₂С’₂).Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П₂.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А₂‘В₂‘С₂‘располагают на произвольном расстоянии от оси хпараллельно плоскости П₁. При этом вершины А, Ви С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А₁‘В₁‘С₁‘. От нового положения фронтальной проекции А₂«В₂«С₂« проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (θ₁,T₁,P₁), и получая проекции точек А₁» В₁» C₁«. Соединив эти проекции, получают тре­угольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня(рис.9.12)

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁. Прямая A₁1₁ является горизонтальной проекцией h₁горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С .

Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором O₁C₁ – один из катетов. Вто­рой катет – разность координат Δzотрезка О₂С₂, взятого с фронталь­ной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O₁C – нату­ральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O₁C₁ откладывают |R_Bp.| и полу­чают новое положение вершины С после вращения — С . Проекция вер­шины В получается пересечением луча C 1₁ и перпендикуляра к горизонтальной проекции h₁ проведенного через проекцию точки В₁.

Треугольник A B C есть искомая натуральная величина тре­угольника ABC.

5) Решение методом совмещения(рис. 9.13).

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и находят горизонтальный след этой фронтали – N₁. По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проек­ций П₁. Тогда горизонтальный след Σ₁ плоскости Σпроводят через проекции N₁ и C₁. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов Σ_х. Учитывая, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, фронтальный след Σ₂ плоскости Σпроводят через точку Σ_хпараллельно проекции фронтали f₂.

Для нахождения натуральной величины треугольника ABCнеобходимо построить совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций П₁. Для этого через вершину Апроводят горизонталь h₁. На фронтальном следе Σ₂ фиксируют точку 2₂. Ее горизонтальная проекция – точка 2₁. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ. Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении 2 , проводят из 2₁перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σ_х дугу окружности радиусом Σ_х2₂ до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σ_х с 2 , получают совмещенное положение фронтального следа Σ – Далее через точку 2 проводят горизонталь h всовмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А , проведя перпендикуляр из точки A₁ к горизонтальному следу Σ₁.

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В . Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С₁ т.е. С₁≡С . Соединив построенные точки, получают треугольник А В С – это и есть натуральная величина треугольника ABC.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Метки

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Натуральная величина треугольника с описанием.

Натуральная величина треугольника определяется 2 методами:

1. замена плоскостей проекции;
2. плоскопараллельное перемещение.

Это задание является обязательным для студентов в учебных заведениях и для его решения необходимо изучить тему: » Способы преобразования чертежа».

Для наглядности я использовал определенное задание и на его примере покажу как находится натуральная величина треугольника.

Алгоритм определения натуральной величины плоскости:

Замена плоскостей проекции

1.) Для построения чертежа использовал задание, расположенное снизу. Первоначально строятся точки по координат в плоскостях П1 и П2.

2.) Строится дополнительная горизонтальная линия 1 1 в верхнем изображении (проводится линия от средне расположенной точки по высоте), затем опускают дополнительные отрезки на нижнее изображение (как указано на рисунке снизу) и соединяют прямой. Эта прямая необходима для того, чтобы на ней расположить вспомогательную плоскость.

3.) Построив прямую на нижнем рисунке, чертится под углом 90 0 ось Х 1 (от точки С1 располагаем на произвольном расстоянии, но не слишком далеко). Затем отмеряются расстояния:

• от С2 до оси Х;
• от В2 до оси Х;
• от А0 до оси Х.

Полученные размеры откладываются от оси Х1 (размеры указаны разными цветами на рисунке снизу) и соединяют, далее подписываются точки.

4.) Строится еще одна дополнительная ось Х2, расположенная параллельно отрезку В 4 С 4 А 4. От точек В4,С4 и А4 проводят прямые перпендикулярные оси Х2.

5.) Отмеряются расстояния:

• от В1 до Х1;
• от С1 до Х1;
• от А1 до Х1.

Полученные результаты измерений откладываются от иси Х2 (на изображении снизу отмечены зелеными и голубым цветами).

6.) Соединяются точки и подписывают полученную плоскость заглавными «Н.В.»

Плоскопараллельное перемещение

7.) Откладывается отрезок на оси Х (обозначен синим цветом).

8.) Переносятся точки на текущее построение.

9.) Соединяют точки, получившиеся при переносе из плоскостей проекций. 10.) Методом вращения точки А2′, С2′ переносятся на горизонтальную прямую, а точка В2′ не меняет свое положение (относительно ее и происходило вращение).11.) Откладывается точка (располагают от оси Х на небольшом расстоянии, т.е. произвольном), относительно которой и будет откладываться плоско параллельное перемещение плоскости. 12.) От точек А2′, С2′ и В2′ опускаются прямые. Далее циркулем необходимо отмерить расстояния:

Затем эти размеры откладываются от С1′ (обозначены красным и синим цветами).

13.) Соединяются и подписываются точки (А1′, В1′ и С1′). Опускают прямые от С2″ и А2″14.) От точек С1 и А1 отводят прямые до пересечения с прямыми опущенными от точек С2″ и А2″. В месте пересечения ставится точка.15.) Завершающим шагом является соединение точек и обводка линиями всего чертежа.Пример чертежа на тему «Натуральная величина треугольника» смотрите здесь.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Горизонтальная плоскость проекции треугольник

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_v.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_x, Р_y и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P_v и P_w, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р_н и P_w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P_v и P_н параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P_v и Р_н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три

следа P_v, Р_н и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р_v плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P_H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р_v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р_н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р_х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки P_x с v’, находим фронтальный след P_v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом Р_Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Х_v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_w и K_w.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P_v, Р_н и Q_v,Q_h, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q_x . Из точки Q_x к оси х восставляют перпендикуляр Q_xQ_y , который будет фронтальным следом Q_v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_v и Q_v — точку v’ и следов Q_н и P_H — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Р_у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р_у с осью х опускают перпендикуляр Р_н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Р_у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р_н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Содержание:

Проецирование плоских многоугольников. Плоской называют геометрическую фигуру, все точки которой принадлежат одной плоскости. Плоская фигура проецируется на плоскость проекций без искажения, если расположена параллельно этой плоскости.

Видео:Построение треугольника в трёх проекцияхСкачать

Изображение плоскости на комплексном чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуе­мая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направ­ляющей прямой (см. рис. 89, б и в).

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежа­щими на одной прямой; б) прямой линией и точ­кой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересе­кающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) плоскости задаются аналогично, например, на рис. 99, а — проекциями трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99. б — проекциями прямой ВС и точки А, не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г — проекциями двух парал­лельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линия­ми, по которым эта плоскость пересекает плоскос­ти проекций. Такие линии называются следами плоскости.

Линия пересечения данной плоскости Р с гори­зонтальней плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначает­ся Р_H.

Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_V.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проек­ций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_х, Р_у и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплек­сном чертеже относительно осей проекций опреде­ляет положение самой плоскости относительно плоскостей проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы Р_V и P_w, параллельные осям Ох и Оу, то такая плос­кость параллельна плоскости Н и называется го­ризонтальной (рис. 101. а). Плоскость Р со стела­ми Р_H и Р_W, параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, б), называется фронтальной, а плос­кость Р со следами Р_V и Р_H, параллельными осям проекций Оу и Оz, — профильной (рис. 101. в).

Горизонтальная. фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные двум плоскостям чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например треугольником или параллелограммом (рис 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проек­ций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

Видео:Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

Проецирующие плоскости и плоскость общего положения

Плоскость, перпендикулярная плоскости Н (рис. 102, а), называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_V этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизон­тальный след Р_H расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а).

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, напри­мер треугольником АВС (рис. 102, б), то горизон­тальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профиль­ная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью назы­вается плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 102. в).

Горизонтальный след этой плоскости перпенди­кулярен оси Ох. а фронтальный след расположен под некоторым утлом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плос­кости нс следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искаже­нием.

Профильно-проецирующей плоскостью назы­вается плоскость, перпендикулярная плоскости W (рис. 102, д). Следы Р_V и Р_H этой плоскости па­раллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плос­кости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскос­тями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общею поло­жения. Все три следа Р_V, Р_H и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости Н, V и W в искаженном виде.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Проекции точки и прямой, расположенных на плоскости

Если прямая расположена на плоскости, то она должка проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плос­костях проекций Н и V, то следы прямой, при­надлежащей плоскости, должны быть располо­жены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103. а); например, горизонтальный стел Н прямой — на горизонтальном следе Р_H плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе P_V плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плос­кости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ и h и считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронталь­ной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v‘ и h на ось про­екций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронталь­ного следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одно­именные проекции следов, т.е. v‘ с h’ и v с h пря­мыми, получим две проекции прямой линии, рас­положенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются линиями уровня плоскости. Главные линии помо­гают решать многие задачи проекционного черче­ния.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (напри­мер. горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след линии уровня, проекцию этой линии проводят по заранее извес­тному направлению. Это направление для гори­зонтали видно из рис. 104. а, где показана плос­кость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонталь­ному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе P_V плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать се фронтальной проекцией фронтального следа гори­зонтали. Затем через точку V параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось х, получают точку v, которая будет горизон­тальной проекцией фронтального следа горизон­тали. Прямая, проведенная из точки v парал­лельно следу Р_H плоскости, представляет со­бой горизонтальную проекцию искомой горизонта­ли. Построение проекции фронтали показано на рис. 104. в и г.

Нередко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмот­рим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе P_V плоскости Р намечаем фронтальную проекцию v’ фронтального следа горизонтали и на оси х находим его горизонтальную проекцию v (рис 105, а). Затем через точку v проводим па­раллельно Р_H горизонтальную проекцию горизон­тали; фронтальная проекция горизонтали совпада­ет с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересека­ющимися или параллельными прямыми, то по­строение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми АВ и CD (рис. 105, б). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию гори­зонтали и отмечаем точки е‘ и f ‘ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронталь­ными проекциями параллельных прямых, которы­ми задана плоскость. Через точки е‘ и f ‘ прово­дим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, задан­ной пресекающимися или параллельными прямы­ми, надо найти следы этих прямых и через полу­ченные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелог­рамма ABCD (рис. 106, а), который задаст неко­торую плоскость ABCD. Отрезок DC расположен в плоскости Н, следовательно, его горизонтальная проекция dс является горизонтальным следом плоскости или горизонтальной проекцией горизон­тального следа плоскости.

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проек­цию dс прямой DC до пересечения с осью X в точке Р_X, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v‘ , через которую пройдет ис­комый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная про­екция фронтального следа). Фронтальную проек­цию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальней проекцией искомого фрон­тального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восстановленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжени­ем фронтальной проекции а’Ь’ прямой АВ. Сое­динив точки Р_x с v’, находим фронтальный след Р_V плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис. 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плос­кости, определить две другие проекции точки

Через заданную проекцию точки, например, фронтальную проекцию п’ точки N, расположен­ной на плоскости треугольника AВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогатель­ной прямой любого направления, например, т’к‘. Строим другую проекцию тк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки т’ и к’ до пересечения с лини­ями ас и be. Из точки п’ проводим линию связи до пересечения с проекцией тк в искомой точ­ке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой, для упро­щения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б), надо найти се проекции а’ и а, которые располагаются на одно­именных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена гори­зонталь Av’.

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v‘ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_H плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, про­водя вертикальную линию связи, определяем го­ризонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположе­на на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проек­ции горизонтального следа плоскости (рис. 108. в и г).

При заданной фронтальной проекции а’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости Р. найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом Р_H.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108. д и е), то се фронтальная проекция а’ находится на фронталь­ном следе Р_V плоскости Р.

Видео:Горизонталь в плоскостиСкачать

Проекции плоских фигур

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, пря­моугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограни­чена отрезками прямых или кривых линий, кото­рые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные про­екции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят с помощью нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Од­ноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций Н и V. Наибо­лее просто построить проекции фигуры, располо­женной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскос­ти, параллельной плоскости Н (рис. 109. а), то горизонтальная проекция этого треугольника бу­дет его действительной величиной, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси x. Комплексный чертеж треугольника АВС пока­зан на рис 109. б. Такой треугольник можно ви­деть на изображении резьбового резца (рис. 109, в), передняя грань которого треуголь­ная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально проецирующей плоскости (рис. 110. а). Фронталь­ная проекция трапеции представляет собой отре­зок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б).

Задняя грань отрезного резца (рис. 110. в) име­ет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную гори­зонтальной, фронтальной или профильной плос­кости проекций (плоскость уровня), можно заме­тить. что любая фигура, лежащая в этой плоскос­ти, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заме­тим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на прое­цирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Напри­мер, если круг лежит па фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111, а), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Р_V плоскости Р. Две другие проекции круга иска­жены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру круга 37. Остальные точки проекций эллипса определяются следующим образом. Вспомогательная полуокруж­ность делится на четыре равные части, методом проецирования определяются остальные проекции точек 2, 8. 4, 6.

На рис. 111,б показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизон­тальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

Видео:Угол наклона плоскости общего положения относительно плоскостям проекцииСкачать

Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости могут быть взаимно параллель­ными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две парал­лельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого поло­жения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если равны две профильно-проецирующие пло­скости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на ком­плексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо постро­ить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, 6). Плоскости Р и К будут параллельны только в том случае, если параллельны их про­фильные следы P_W и К_W.

Одноименные следы пересекающихся плоскос­тей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и Н, которые принадлежат обеим плоскостям. т.е. линии их пересечения. Так как эти точки распо­ложены на плоскостях проекций, то, следователь­но, они являются также следами линии пересече­ния плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами Р_W, Р_Н и Q_V необходимо отметить точки пересечения одно­именных следов плоскостей, т.е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v‘— фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей P и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось x, нахо­дим точки V и h’ Соединив прямыми одноименные проекции следов, т.е. точки v‘ и h‘, v и h , полу­чим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

Видео:Построение следов плоскостиСкачать

Прямая, принадлежащая плоскости

Дана плоскость, заданная треугольником АВС и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизон­тальными и фронтальными проекциями. Требует­ся определить, лежит ли прямая в плоскости дан­ного треугольника.

Для этого фронтальную проекцию отрезка т‘п‘ продолжаем до пересечения с отрезками а‘Ь’ и d‘с’ (проекциями сторон треугольника AВС), получаем точки е’к’ (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на гори­зонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и са, получаем точки ek. Продолжим горизон­тальную проекцию тп отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон Ьа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками е и к, то прямая MN принадлежит плос­кости треугольника.

Видео:2 3 проекция точки на конусеСкачать

Пересечение прямой с плоскостью

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую АВ проводят любую вспомога­тельную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, а). В данном случае проведена вспомо­гательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию ab прямой АВ проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью х в точке Q_x.Из точки Q_x. к оси х восставляют перпенди­куляр Q_XQ_V, который будет фронтальным следом Q_V вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает дан­ную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_V и Q_V — точку v‘ и следов P_H и Q_H — точку h, опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основа­ния которых — точки v‘ и h‘— будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v‘ и h‘, получают фронтальную и горизонталь­ную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения M заданной прямой АВ и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фрон­тальная проекция т’ этой точки расположена на пересечении проекций а‘b‘ и v‘h‘. Горизонталь­ную проекцию т точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки т’ до пересече­ния с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом

Через прямую MN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р. Для этого через точки т‘ и n‘ проводят фронтальный след плоскости P_V, продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости P_V с осью x опускают перпендикуляр Р_H, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскос­ти Р с плоскостью данного треугольника АВС. Фронтальная проекция e‘d‘ линии ED совпадает с т’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек e‘ и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треу­гольника АВС. Точки с и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией тn прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную ли­нию связи, находят фронтальную проекцию k‘. Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая АВ может быть пер­пендикулярна плоскости Р. Из условия перпенди­кулярности прямой к плоскости следует, что пря­мая перпендикулярна плоскости, если она перпен­дикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими пря­мыми могут быть следы плоскости). Тогда проек­ции прямой АВ будут перпендикулярны однои­менным следам этой плоскости (рис. 115, а). Фронтальная проекция а’Ь’ перпендикулярна фронтальному следу Р_V, а горизонтальная проек­ция ab перпендикулярна горизонтальному следу P_H плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми. то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпен­дикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС, необходимо опус­тить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d‘ точки D опускают перпендикуляры соответственно на се и f‘d‘. Прямая, проведенная из точки D, будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

Видео:СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙСкачать

Пересечение плоскостей

Задачи на построение линии пересечения плос­костей. заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 пока­зано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку М, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плос­кость Р, которая пересекается с плоскостью треу­гольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1‘ и 2‘ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ab и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию т искомой точки М, которая будет точкой пересечения пря­мой DF с плоскостью АВС. Затем находят фрон­тальную проекцию т’ точки М. Точку N пересе­чения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки т’ и n‘, т и n, полу­чают проекции линий пересечения МN плоскостей АВС и DEF.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔍 Видео

Линия пересечения плоскостейСкачать

Проецирование точки на 3 плоскости проекцийСкачать

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Проецирование прямой общего положенияСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЛЬНИКА НА П1/П2 и углы наклона его плоскости к плоскостям проекцийСкачать

Достроить проекцию треугольника общего положения. Задачи по начертательной геометрииСкачать

Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрияСкачать