Как нанести градусы на окружность

Угловые размеры на чертеже

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Наиболее распространенный способ измерения угловых величин – градусная мера.

Градус – «gradus», в переводе с латинского языка, означает – шаг, ступень.

При обозначении угловых размеров используется единицы измерения – градусы, минуты и секунды. После числового значения угловых размеров ставится специальные знаки:

• Градус – « ° »
• Минута – « ′ »
• Секунда – « ″ »

Размерные числа наносят над размерными линиями в зоне расположенной выше горизонтальной осевой линии со стороны их выпуклости, а в зоне расположенной ниже со стороны вогнутости размерных линий.В тех местах, где нанесена штриховка, размерные числа указывать не рекомендуется. В таких случаях размерные числа указывают на горизонтально нанесенных полках.

Нанесение угловых размеров на чертеже

Нанесение угловых размеров

Градусы минуты секунды – n° n′ n″

Окружность, разделённая на 360° , включает в свой состав помимо градусов, минуты и секунды n° n′ n″ .

1° = 1/360 – один градус равен одной тристашестидесятой полного оборота.

1° = 60′ – один градус равен шестьдесят минут.

60′ = 60″ – шестьдесят минут ровны шестидесяти секундам.

Градусная мера полного оборота равна 360° = 21600′ = 1296000″ .

Деление окружности на градусы

Во всем мире принято странное деление окружности на 360 градусов. Со всех точек зрения было бы логичнее деление окружности на 2, потом на 4, потом на 8, 16, 32, 64 и т. д. части. А то поди ж ты: сначала делим окружность на 4 части, потом каждую четверть на 90 градусов. Почему на 90? Почему не на 100 или 120? Оказывается, деление окружности на 360 градусов ведет свое начало от вавилонских жрецов. Они, наблюдая за движением Солнца, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник Солнца укладывается ровно 180 раз. Поэтому-то они и стали каждую полуокружность делить на 180 частей, а каждую окружность – на 360 градусов! Школьный транспортир напоминает, что каждое его деление есть не что иное, как отпечаток – след Солнца, проходящего по небосклону в день равноденствия.

Существует, правда, египетская гипотеза происхождения деления окружности. Длительность года у египтян составляла 360 дней. Год был разбит на 12 месяцев, а каждый месяц на 30 дней. И Солнце по небу проходило каждый год через 12 зодиакальных созвездий. Так что Солнце находилось в каждом из этих созвездий по 30 дней. Итак, за 1 день солнце проходит по небу расстояние в 1 единицу пути. Таких единиц всего 360. И только потом эту единицу пути назвали градусом.

Герой романа Жюля Верна «Таинственный остров» инженер Сайрес Смит, чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, непонятно, и как удалось добиться их равенства? Поэтому, деление окружности непростой вопрос, которому во многих задачах стоит уделить время.

Гра́дус, мину́та, секу́нда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности, а также для определения азимута.

Содержание

Градус [ править | править код ]

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один полный оборот соответствует углу в 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Причина выбора градуса как единицы измерения углов неизвестна. Одна из теорий предполагает, что это связано с тем, что 360 — приблизительное количество дней в году [1] . Некоторые древние календари, такие как древнеперсидский, использовали год в 360 дней.

Другая теория гласит, что аккадцы (вавилоняне) поделили окружность, используя угол равностороннего треугольника как базу и поделив результат на 60, следуя своей шестидесятеричной системе счисления [2] [3] .

Если построить окружность радиусом 57 см, то 1 градус будет примерно соответствовать 1 см длины дуги данной окружности.

Градус в альтернативных единицах измерения:

1 ∘ = 2 π 360 = >>> радиан = π 180 = 1 p ≈ 1 57,295 779513 ∘ >>= >approx 295779513^ >>>> [4] ≈ 0,017 4532925 0174532925> (радиан в 1°) 1 ∘ = 1 360 = >> оборота=0,002(7) оборота=0,002777777777… 1 ∘ = 400 360 = >> градов=1,(1) градов=1,11111111111… градов

Минуты и секунды [ править | править код ]

По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается штрихом x′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается двумя штрихами y″. Ранее употреблялась величина в 1/60 секунды — терция (третье деление), с обозначением тремя штрихами — z″′. Деление градуса на минуты и секунды ввёл Клавдий Птолемей [5] ; корни же такого деления восходят к учёным Древнего Вавилона (где использовалась шестидесятеричная система счисления).

Минуты и секунды в других системах измерения:

1 ′ = 2 π 360 ∘ ⋅ 60 ′ = 1 ′ p ′ ≈ 1 ′ 3437,747 ′ >cdot 60′>>= 747′>>> [4] ≈ 2,908 88208 ⋅ 10 − 4 rad 90888208cdot 10^

>> (1 минута в радианах) 1 ″ = 2 π 360 ∘ ⋅ 60 ′ ⋅ 60 ″ = 1 ″ p ″ ≈ 1 ″ 206264 , 8 ″ >cdot 60’cdot 60”>>= >approx 8”>>> [4] ≈ 4,848 136811 ⋅ 10 − 6 rad 848136811cdot 10^

>> (1 секунда в радианах).

Минуты и секунды в радианной мере из-за своих чрезмерно малых величин представляют ограниченный интерес и практически очень мало используются.
Гораздо больший интерес представляет перевод десятичных (сотых, десятитысячных) долей градуса в минуты и секунды и обратно — см. Радиан#Связь радиана с другими единицами и Географические координаты.

Угловая секунда [ править | править код ]

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond , arc second , as , second of arc ; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги [6] ) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла [7] .

Использование [ править | править код ]

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается s ). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1 s =15″. [8]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой [6] [9] , что является простой транслитерацией с англ. arcsecond .

Дольные единицы [ править | править код ]

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds , mas ), микросекунды (англ. microarcseconds , µas ) и пикосекунды (англ. picoarcseconds , pas ). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению [7] . Однако согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками [10] , в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами ( mas , µas и pas соответственно).

Связь различных угловых единиц измерения

Единица	Величина	Обозначение	Аббревиатура	Радиан (прибл.)
градус	1/360 окружности	°	deg	17,4532925 mrad
минута	1/60 градуса	′	arcmin, amin, ′ ^ >> , MOA	290,8882087 µrad
секунда	1/60 минуты	″	arcsec	4,8481368 µrad
миллисекунда	1/1000 секунды	mas	4,8481368 nrad
микросекунда	1 × 10 −6 секунды	μas	4,8481368 prad

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника. [ источник не указан 2692 дня ]

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP) [11] [12] .

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ По следам вавилонян, или почему в окружности 360 градусов? // Наталья Карпушина

Знаете ли вы, почему в окружности 360 градусов, а не 180 или, скажем, не 300? Откуда пошла традиция делить окружность на равные части и почему было выбрано именно такое их число? Оказывается, этому делению мы обязаны вавилонянам. Согласно их календарю, продолжительность года составляла 360 дней — именно столько раз, по наблюдениям древних астрономов, солнечный диск укладывался на годичном пути светила. Иными словами, за каждые сутки солнце делало один «шаг». Поэтому вавилоняне и разделили окружность на 360 равных частей, каждую из которых называют градусом (от лат. gradus — шаг, ступень). Считается, что они же изобрели простейший инструмент для измерения углов − транспортир. Но вот вопрос: как же древние сумели разделить окружность на равные части, не владея техникой геометрических построений и располагая лишь примитивными инструментами? Загадка…

С подобной проблемой однажды столкнулся инженер Сайрес Смит, герой романа Жюля Верна «Таинственный остров». Чтобы определить величину острого угла, образованного ножками самодельного циркуля, он «измерил этот угол по окружности, разделённой на триста шестьдесят равных частей; угол равнялся десяти градусам». Вот, собственно, и всё, что сообщает о решении данной задачи Жюль Верн. Непонятно, зачем для измерения острого угла потребовалось делить на части всю окружность, когда достаточно рассмотреть её четверть, и уж совсем неясно, как удалось добиться их равенства. Можно лишь предположить, что инженер выполнял построения на земле с помощью подручных средств, как он не раз поступал при решении других практических задач, если те требовали знания геометрии.

Сначала прикинем решение на бумаге. Для того чтобы разделить окружность на равные части, пригодится диск, край которого представляет собой окружность фиксированной длины l . Если катить диск по нарисованной на земле окружности длиной L = nl , где n = 2, 3, 4 …, то через n оборотов он обежит линию и вернётся в исходную точку. Пришло время проявить смекалку: сделаем на краю диска «острый выступ», оставляющий на земле отметку после каждого оборота. С его помощью мы разметим окружность, то есть разобьём на равные части. Допустим, нужно разделить окружность на дуги по 10°. В таком случае n = 360° : 10° = 36. Так как L превосходит l в 36 раз, то из соображений подобия и радиус R нарисованной на земле окружности должен быть во столько же раз больше радиуса r диска.

Теперь можно переходить к конкретным действиям. Измерим радиус диска. Пусть для определённости r = 5 см, тогда R = 180 см. Сделаем в диске отверстие по линии радиуса и вставим в него, например, кусочек спицы так, чтобы острый конец чуть торчал наружу. Отмерим кусок верёвки длиной 180 см и привяжем к его концам по колышку. Один колышек вобьём в землю, затем натянем верёвку и, удерживая её в таком состоянии, очертим другим колышком окружность. Наконец, прокатим по нарисованной линии диск; 36 меток (следов спицы) разделят окружность на дуги по 10° в каждой. Задача решена. Ясно, что в общем случае, подбирая подходящую длину радиуса R и количество «зарубок» на диске, легко разделить окружность на нужное число равных частей.

Задачу можно решить и по-другому, как делали древние египтяне, строя прямой угол при помощи верёвки, разделённой узелками на равные части. За единицу измерения примем длину диска. Обмотаем верёвку вокруг диска и завяжем на конце отмеренного отрезка узелок. Проделаем ту же операцию необходимое число раз. Затем положим размеченную таким образом верёвку поверх нарисованной на земле окружности (узелки соответствуют меткам, которые оставил бы на земле катящийся диск в первом способе построения). В данном случае при вычерчивании окружности можно обойтись без рулетки: радиус R окружности получим, отложив на верёвке диаметр диска n /2 раз (при нечётном n придётся добавить длину радиуса).

Проигрывая в точности построений, мы вместе с тем выигрываем в их простоте и доступности, что на практике зачастую ценится больше. Добавим, что верёвка с узелками — это примитивный циркуль, который используется до сих пор, когда надо провести на земле дугу большого радиуса, например при разметке спортивной арены, или очертить круг при разбивке клумбы.

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

🎬 Видео

Комментарии: 0