Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.
- Треугольник
- Прямоугольник
- Многоугольник
- Что мы узнали?
- Свойства равностороннего треугольника
- Диагонали треугольника точкой пересечения
- Диагональ треугольника – формула
- Треугольник
- Прямоугольник
- Многоугольник
- Что мы узнали?
- Свойства равностороннего треугольника
- Диагональ треугольника
- Треугольник
- Прямоугольник
- Многоугольник
- Что мы узнали?
- 💡 Видео
Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать
Треугольник
Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:
Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.
Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует
Рис. 1. Три медианы в треугольнике.
Видео:Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, теорема 8 клСкачать
Прямоугольник
Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.
Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:
- Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
- В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
- Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора
Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.
При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.
Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Видео:Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать
Многоугольник
На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.
Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.
Рис. 2. Диагонали многоугольника.
В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.
Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.
Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.
Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:
$P=<n(n-3)over>$ – где n это число сторон многоугольника.
Проверим для квадрата:
Рис. 3. Диагонали квадрата.
Видео:№565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямойСкачать
Что мы узнали?
Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.
Видео:Геометрия Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересеченияСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.
Свойства равностороннего треугольника
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
Видео:№97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA.Скачать
Диагонали треугольника точкой пересечения
Видео:№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать
Диагональ треугольника – формула
Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.
Видео:№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольникиСкачать
Треугольник
Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:
Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.
Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует
Рис. 1. Три медианы в треугольнике.
Видео:Геометрия Диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, одна из его сторон равнаСкачать
Прямоугольник
Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.
Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:
- Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
- В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
- Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора
Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.
При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.
Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Видео:№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать
Многоугольник
На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.
Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.
Рис. 2. Диагонали многоугольника.
В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.
Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.
Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.
Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:
$P= >$ – где n это число сторон многоугольника.
Проверим для квадрата:
Рис. 3. Диагонали квадрата.
Видео:Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Что мы узнали?
Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.
Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Свойства равностороннего треугольника
Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.
Свойства равностороннего треугольника
2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:
AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;
BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;
CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.
Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:
Если a — сторона треугольника, то
3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:
5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан
до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:
6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:
7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.
8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
Видео:Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать
Диагональ треугольника
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 285.
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 285.
Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.
Видео:✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать
Треугольник
Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:
Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.
Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует
Видео:№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОКСкачать
Прямоугольник
Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.
Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:
- Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
- В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
- Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора
Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.
При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.
Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Видео:Признак параллелограмма (диагонали точкой пересечения делятся пополам). ЗадачаСкачать
Многоугольник
На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.
Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.
Рис. 2. Диагонали многоугольника.
В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.
Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.
Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.
Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:
$P= >$ – где n это число сторон многоугольника.
Проверим для квадрата:
Рис. 3. Диагонали квадрата.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Что мы узнали?
Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.
💡 Видео
Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать
