Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая в пересекает плоскость альфа Определите могут ли прямые а и в а)пересекаться б)быть параллельными в)быть скрещивающимися (пожалуйста?

Геометрия | 5 — 9 классы

Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая в пересекает плоскость альфа Определите могут ли прямые а и в а)пересекаться б)быть параллельными в)быть скрещивающимися (пожалуйста!

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Решение в скане.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Содержание
  1. Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?
  2. Известно что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа, определите могут ли a и b пересекаться, быть параллельными, скрещивающимися?
  3. Помогите с геометрией?
  4. Прямая а параллельна плоскости альфа?
  5. 1)Две прямые параллельны некоторой плоскости?
  6. Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа?
  7. Прямая а параллельная плоскости альфа, прямая b лежит в плоскости альфа?
  8. Прямая а параллельна плоскости альфа, прямая и лежит в плоскости альфа?
  9. Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?
  10. Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?
  11. Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли
  12. Как написать хороший ответ?
  13. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  14. Определения параллельных прямых
  15. Признаки параллельности двух прямых
  16. Аксиома параллельных прямых
  17. Обратные теоремы
  18. Пример №1
  19. Параллельность прямых на плоскости
  20. Две прямые, перпендикулярные третьей
  21. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  22. Признаки параллельности прямых
  23. Пример №2
  24. Пример №3
  25. Пример №4
  26. Аксиома параллельных прямых
  27. Пример №5
  28. Пример №6
  29. Свойства параллельных прямых
  30. Пример №7
  31. Пример №8
  32. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  33. Расстояние между параллельными прямыми
  34. Пример №9
  35. Пример №10
  36. Справочный материал по параллельным прямым
  37. Перпендикулярные и параллельные прямые
  38. 🎦 Видео

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа.

Определите, могут ли прямые a и b : а) быть параллельными б)пересекаться в)быть скрещивающимися.

Я честно не могу понять( Особенно последние два пункта.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Известно что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа, определите могут ли a и b пересекаться, быть параллельными, скрещивающимися?

Известно что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа, определите могут ли a и b пересекаться, быть параллельными, скрещивающимися?

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Помогите с геометрией?

Помогите с геометрией!

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа.

Определите, могут ли а и b : 1) быть параллельными 2) быть пересекающимися 3) быть скрещивающимися.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:№36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а.Скачать

№36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а.

Прямая а параллельна плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа.

Через прямую а проведена плоскость бэта, пересекающая плоскость альфа по прямой b.

В плоскости альфа существует прямая с , которая параллельна а.

Докажите, что b параллельна c.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

1)Две прямые параллельны некоторой плоскости?

1)Две прямые параллельны некоторой плоскости.

Могут ли эти прямые : а)Пересекаться ; б)быть скрещивающимися?

2)Могут ли скрещиваться прямые a и b быть параллельными прямой с?

3)Боковые строны трапеции параллельны плоскости альфа.

Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции?

4)Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа.

Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма?

5)Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключённые между параллельными плоскостями?

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:№92. Плоскость α и прямая a параллельны прямой b. Докажите, что прямая a либо параллельна плоскостиСкачать

№92. Плоскость α и прямая a параллельны прямой b. Докажите, что прямая a либо параллельна плоскости

Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа?

Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа.

Опеределить могут ли прямые a и b : 1.

Быть параллельными 3.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:№95. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то онаСкачать

№95. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то она

Прямая а параллельная плоскости альфа, прямая b лежит в плоскости альфа?

Прямая а параллельная плоскости альфа, прямая b лежит в плоскости альфа.

Определите, могут ли a и b а) быть параллельными ; б) пересекаться ; в)быть скрещивающимися.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:№49. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая черезСкачать

№49. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через

Прямая а параллельна плоскости альфа, прямая и лежит в плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа, прямая и лежит в плоскости альфа.

Определите, могут ли прямые а и b : а) быть параллельными, б) пересекаться, в) быть скрещивающимися.

Ребят, помогите срочно : *.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа.

Определите, могут ли прямые a и b :

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Видео:№57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямаяСкачать

№57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b лежит в плоскости альфа.

Определите, могут ли прямые a и b : а) быть параллельными б)пересекаться в)быть скрещивающимися.

Заранее огромное спасибо.

На этой странице сайта размещен вопрос Известно, что прямая a параллельна плоскости альфа, а прямая в пересекает плоскость альфа Определите могут ли прямые а и в а)пересекаться б)быть параллельными в)быть скрещивающимися (пожалуйста? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Видео:№55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любуюСкачать

№55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Вопрос по геометрии:

Прямая а параллельна плоскости альфа, а прямая b пересекает плоскость альфа. Определите, могут ли прямые a и b:
а) быть параллельными
б)пересекаться
в)быть скрещивающимися.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

А) нет, т.к. если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересечёт эту плоскость.
б) могут.

Пусть в плоскости ą лежит прямая с||а, b пересекает плоскость ą в точке, принадлежащей прямой с. Тогда, если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересечёт и вторую.
в) могут. Т.к. а||плоскости альфа, то существует плоскость ß, в которой лежит а. если одна из 2 прямых лежит в некоторой плоскости (в данном случае прямая а), а другая прямая (прямая b) пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:№198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. ПересекаетСкачать

№198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, но не принадлежит прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Говорят, что прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липересекаются в точке М.
Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Это можно записать так: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— знак принадлежности точки прямой, «Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липерпендикулярны (рис. 12), то пишут Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.
  2. Если Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 90°, то а Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАВ и b Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.
  3. Если Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиОFА = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2). Из равенства этих треугольников следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиЗ = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли5 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6.
  6. Так как Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли5 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6 следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6 = 90°. Получаем, что а Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиFF1 и b Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиFF1, а аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли
2) Заметим, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиAOF = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиl + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180° и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180° следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиF и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3. Кроме того, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAF. Действительно, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиFAC равны как соответственные углы, a Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиFAC = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180° (рис. 97, а).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3= 180°.

4) Из равенств Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли= Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 = 180° следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAF + Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Так как Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = 90°, то и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = 90°, а, значит, сПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиb.

Что и требовалось доказать.

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липараллельны, то есть Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, лучи АВ и КМ.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 161).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, перпендикулярную прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии строят другую перпендикулярную прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, затем — третью прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии т. д. Поскольку прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липерпендикулярны одной прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то из указанной теоремы следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, параллельной прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может литретьей прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли5,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли8,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли7,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли5,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли8 — соответственные углы;
  • Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли6,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли5 — внутренние односторонние углы;
  • Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли7,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— данные прямые, АВ — секущая, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 (рис. 166).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии продлим его до пересечения с прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лив точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 по условию, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBMK =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиANM =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBKM = 90°. Тогда прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липерпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 (рис. 167).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии секущей Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиl +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180° (рис. 168).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии секущей Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиAOB = Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAO=Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAK = 26°, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAC = 2 •Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиADK +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1=Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2. Так как Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли||Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Реальная геометрия

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липроходит через точку М и параллельна прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лив некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли||Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 187).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли||Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Доказательство:

Предположим, что прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лине параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, параллельные третьей прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли||Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли4. Доказать, что Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Так как Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, которая параллельна прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лине пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, которые параллельны прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, АВ — секущая,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2.

Доказательство:

Предположим, чтоПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, параллельные прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— секущая,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 — соответственные (рис. 196).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать:Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— секущая,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 иПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказать:Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиl +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 = 180°. По свойству параллельных прямыхПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиl =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3 как накрест лежащие. Следовательно,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиl +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, т. е.Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 = 90°. Согласно следствию Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, т. е.Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 = 90°.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАОВ =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиABD =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиADB =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может липараллельны, то пишут: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(рис. 211).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли3. Значит,Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли1 =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли2.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии АВПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то расстояние между прямыми Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, А Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, С Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, АВПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, CDПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиCAD =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиравны (см. рис. 285). Прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, проходящая через точку А параллельно прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, которая параллельна прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может либудет перпендикуляром и к прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAD +Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, параллельную прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Тогда Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли|| Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиравноудалены от прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лина расстояние Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, то есть расстояние от точки М до прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиравно Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Но через точку К проходит единственная прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, параллельная Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Значит, точка М принадлежит прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли.

Таким образом, все точки прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиравноудалены от прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли. Прямая Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиПрямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли— параллельны.

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лии Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может лиесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Прямая а параллельна прямой б пересекает плоскость а прямая с параллельна прямой б может ли

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теорияСкачать

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теория

ГЕОМЕТРИЯ 10 класс : Параллельность прямых, прямой и плоскостиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 10 класс : Параллельность прямых, прямой и плоскости
Поделиться или сохранить к себе: