Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаВписанные четырехугольники и их свойства
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаТеорема Птолемея

Видео:Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромбаСкачать

Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромба

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаПроизведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаПроизведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииПроизведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаПроизведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникПроизведение отрезков диагоналей четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Окружность, описанная около параллелограмма
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Произведение отрезков диагоналей четырехугольника
Окружность, описанная около параллелограмма
Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаПроизведение отрезков диагоналей четырехугольника

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииПроизведение отрезков диагоналей четырехугольника

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаПроизведение отрезков диагоналей четырехугольника

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникПроизведение отрезков диагоналей четырехугольника

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Докажем, что справедливо равенство:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

откуда вытекает равенство:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаДано:

4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)

Из треугольников ABC и ADC по теореме косинусов

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Введём обозначения AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=d1, BC=d2.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Так как четырёхугольник ABCD — вписанный, то ∠ABC+∠ADC=180°.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Что и требовалось доказать.

В ходе доказательства получили полезные соотношения:

1) Диагонали вписанного четырёхугольника связаны с его сторонами равенствами:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

2)Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

то есть диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаПостроим угол CBK, равный углу DBA.

У треугольников CBK и DBA

∠CBK=∠DBA (по построению)

Значит треугольники CBK и DBA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

откуда по основному свойству пропорции

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Произведение отрезков диагоналей четырехугольникаРассмотрим треугольники ABK и DBC.

∠BAK=∠BDC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).

а так как ∠ABD=∠CBK, то и ∠ABK=∠DBC.

Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны (по двум углам), и

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.

Обозначим стороны вписанного четырехугольника ABCD через a, b, с, d и его диагонали через x и y .Проведем AK ^ BС и СL ^ AD.

Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d, то, если угол B острый, угол D должен быть тупым.

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника

Поэтому из треугольников ABС и ADС можем написать:

x 2 = a 2 + b 2 – 2b . BK [1];

x 2 = с 2 + d 2 + 2d . DL [2].

Прямоугольные треугольники ABK и СDL подобны, т.к. они содержат по равному острому углу (углы B и СDL равны, потому что каждый из них служит дополнением до 2d к углу ADС).

Из их подобия выводим:

откуда BK . с = DL . a [3].

Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными x, BK и DL.

Чтобы исключить BK и DL , уравняем в первых двух уравнениях последние члены, для чего умножим уравнение [1] на сd , а уравнение [2] на ab .

Сложив затем результаты и, приняв во внимание уравнение [3], найдем:

(ab + сd)x 2 = a 2 сd + b 2 сd + с 2 ab + d 2 ab =aс(ad + bс) + bd(bс+ad)=(aс + bd)(ad+bс),

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника.

Заметим, что в числителе подкоренной величины первый множитель — сумма произведений противоположных сторон, а второй — сумма произведений сторон, сходящихся в концах определяемой диагонали, знаменатель же представляет сумму произведений сторон, сходящихся в концах другой диагонали.

После этого мы можем, по аналогии, написать следующую формулу для диагонали y:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника.

Следствие 1.

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Действительно, перемножив выражения, выведенные для x и для y, получим:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника.

Это предложение известно под именем теоремы Птоломея.

Следствие 2.

Отношение диагоналей вписанного четырехугольника равно отношению суммы произведений сторон, сходящихся в концах первой диагонали, к сумме произведений сторон, сходящихся в концах второй диагонали.

Действительно, разделив те же два равенства, найдем:

Произведение отрезков диагоналей четырехугольника.

Эти два следствия удобны для запоминания. Из них можно обратно вывести формулы для x и y (перемножением или делением равенств, определяющих xy и x/y).

🔍 Видео

№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать

№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.

Площадь ромба - половина произведения его диагоналейСкачать

Площадь ромба - половина произведения его диагоналей

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

#2str. Счет отрезковСкачать

#2str. Счет отрезков

Геометрия Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника, вершиныСкачать

Геометрия Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника, вершины

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равнаСкачать

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равна

Свойства диагоналей параллелограмма | Геометрия 8-9 классыСкачать

Свойства диагоналей параллелограмма | Геометрия 8-9 классы

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 26  Вписанный четырёхугольник

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника

Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"
Поделиться или сохранить к себе: