Вписанные четырехугольники и их свойства |
Теорема Птолемея |
Видео:Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромбаСкачать
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .
Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .
Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .
Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).
Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | ||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||
Окружность, описанная около ромба | ||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||
Окружность, описанная около трапеции | ||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||
Окружность, описанная около дельтоида | ||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||
Произвольный вписанный четырёхугольник | ||
Окружность, описанная около параллелограмма |
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).
Докажем, что справедливо равенство:
Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
откуда вытекает равенство:
(1) |
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:
Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать
Теорема Птолемея
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.
Дано:
4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)
Из треугольников ABC и ADC по теореме косинусов
Введём обозначения AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, AC=d1, BC=d2.
Так как четырёхугольник ABCD — вписанный, то ∠ABC+∠ADC=180°.
Что и требовалось доказать.
В ходе доказательства получили полезные соотношения:
1) Диагонали вписанного четырёхугольника связаны с его сторонами равенствами:
2)Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника.
то есть диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей.
Построим угол CBK, равный углу DBA.
У треугольников CBK и DBA
∠CBK=∠DBA (по построению)
Значит треугольники CBK и DBA подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
откуда по основному свойству пропорции
Рассмотрим треугольники ABK и DBC.
∠BAK=∠BDC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).
а так как ∠ABD=∠CBK, то и ∠ABK=∠DBC.
Следовательно, треугольники ABK и DBC подобны (по двум углам), и
Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать
Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.
Обозначим стороны вписанного четырехугольника ABCD через a, b, с, d и его диагонали через x и y .Проведем AK ^ BС и СL ^ AD.
Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d, то, если угол B острый, угол D должен быть тупым.
Поэтому из треугольников ABС и ADС можем написать:
x 2 = a 2 + b 2 – 2b . BK [1];
x 2 = с 2 + d 2 + 2d . DL [2].
Прямоугольные треугольники ABK и СDL подобны, т.к. они содержат по равному острому углу (углы B и СDL равны, потому что каждый из них служит дополнением до 2d к углу ADС).
Из их подобия выводим:
откуда BK . с = DL . a [3].
Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными x, BK и DL.
Чтобы исключить BK и DL , уравняем в первых двух уравнениях последние члены, для чего умножим уравнение [1] на сd , а уравнение [2] на ab .
Сложив затем результаты и, приняв во внимание уравнение [3], найдем:
(ab + сd)x 2 = a 2 сd + b 2 сd + с 2 ab + d 2 ab =aс(ad + bс) + bd(bс+ad)=(aс + bd)(ad+bс),
.
Заметим, что в числителе подкоренной величины первый множитель — сумма произведений противоположных сторон, а второй — сумма произведений сторон, сходящихся в концах определяемой диагонали, знаменатель же представляет сумму произведений сторон, сходящихся в концах другой диагонали.
После этого мы можем, по аналогии, написать следующую формулу для диагонали y:
.
Следствие 1.
Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Действительно, перемножив выражения, выведенные для x и для y, получим:
.
Это предложение известно под именем теоремы Птоломея.
Следствие 2.
Отношение диагоналей вписанного четырехугольника равно отношению суммы произведений сторон, сходящихся в концах первой диагонали, к сумме произведений сторон, сходящихся в концах второй диагонали.
Действительно, разделив те же два равенства, найдем:
.
Эти два следствия удобны для запоминания. Из них можно обратно вывести формулы для x и y (перемножением или делением равенств, определяющих xy и x/y).
🔍 Видео
№785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD.Скачать
Площадь ромба - половина произведения его диагоналейСкачать
8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
#2str. Счет отрезковСкачать
Геометрия Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырехугольника, вершиныСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равнаСкачать
Свойства диагоналей параллелограмма | Геометрия 8-9 классыСкачать
Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать
ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать
Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать
Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"Скачать