Курс школьной геометрии » Окружность

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Обновлено
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
При пересечении двух хорд в окружности теоремаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
При пересечении двух хорд в окружности теоремаСвойства хорд и дуг окружности
При пересечении двух хорд в окружности теоремаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении двух хорд в окружности теоремаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
При пересечении двух хорд в окружности теоремаТеорема о бабочке

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Хорды пересекаются
  7. Теорема о пересекающихся хордах
  8. Это полезно
  9. 📺 Видео

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПри пересечении двух хорд в окружности теорема
КругПри пересечении двух хорд в окружности теорема
РадиусПри пересечении двух хорд в окружности теорема
ХордаПри пересечении двух хорд в окружности теорема
ДиаметрПри пересечении двух хорд в окружности теорема
КасательнаяПри пересечении двух хорд в окружности теорема
СекущаяПри пересечении двух хорд в окружности теорема
Окружность
При пересечении двух хорд в окружности теорема

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПри пересечении двух хорд в окружности теоремаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПри пересечении двух хорд в окружности теоремаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПри пересечении двух хорд в окружности теоремаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПри пересечении двух хорд в окружности теоремаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПри пересечении двух хорд в окружности теоремаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
При пересечении двух хорд в окружности теорема

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПри пересечении двух хорд в окружности теорема

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПри пересечении двух хорд в окружности теорема
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении двух хорд в окружности теорема
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПри пересечении двух хорд в окружности теорема
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПри пересечении двух хорд в окружности теорема

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Пересекающиеся хорды
При пересечении двух хорд в окружности теорема
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении двух хорд в окружности теорема
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
При пересечении двух хорд в окружности теорема
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
При пересечении двух хорд в окружности теорема
Пересекающиеся хорды
При пересечении двух хорд в окружности теорема

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Тогда справедливо равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

При пересечении двух хорд в окружности теорема

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Воспользовавшись теоремой 1, получим

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

При пересечении двух хорд в окружности теорема

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ 2021| Произведение отрезков двух хорд |Скачать

ОГЭ 2021| Произведение отрезков двух хорд |

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

При пересечении двух хорд в окружности теоремаДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

При пересечении двух хорд в окружности теорема∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

При пересечении двух хорд в окружности теоремаДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

При пересечении двух хорд в окружности теоремаПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

При пересечении двух хорд в окружности теоремаДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

При пересечении двух хорд в окружности теорема

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о пересекающихся хордах. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

При пересечении двух хорд в окружности теорема

Рассмотрим треугольники AOC и DOB.

(как опирающиеся на дугу BC).

Отсюда – что и требовалось доказать.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

При пересечении двух хорд в окружности теорема

  • При пересечении двух хорд в окружности теорема
  • При пересечении двух хорд в окружности теорема
  • При пересечении двух хорд в окружности теорема
  • При пересечении двух хорд в окружности теорема

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

📺 Видео

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

39. Теорема об отрезках пересекающихся хордСкачать

39. Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Общая хорда двух окружностейСкачать

Общая хорда двух окружностей

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Теорема о свойстве хорд пересекающихся внутри круга ДоказательствоСкачать

Теорема о свойстве хорд пересекающихся внутри круга Доказательство

Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хорд

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

теоренма об отрезках пересекающихся хордСкачать

теоренма об отрезках пересекающихся хорд
Поделиться или сохранить к себе: