Векторы в цилиндрической системе координат

Видео:§55 Цилиндрическая система координатСкачать

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси , происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).

В цилиндрической системе координат положение точки , не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и аппликатой — координатой точки — ортогональной проекции точки на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел — полярный радиус , полярный угол и аппликата . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.

Видео:Полярная система координатСкачать

Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)

С цилиндрической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Поскольку аппликата точки в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и ее цилиндрические координаты , имеют вид, следующий из

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам

Главное значение полярного угла находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.12. В цилиндрической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти цилиндрические координаты точки , если известны ее прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны ее цилиндрические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного радиуса , является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного угла , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости и ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении аппликаты , является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости и ).

б) Найдем цилиндрические координаты точки . Аппликата , полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):

так как и ортогональная проекция точки на координатную плоскость (основную плоскость) лежит в IV четверти.

в) Найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Цилиндрические координаты: система, изменение и упражнения

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Содержание:

В цилиндрические координаты Они используются для определения местоположения точек в трехмерном пространстве и состоят из радиальной координаты ρ, азимутальной координаты φ и координаты высоты. z.

Точка п расположенная в пространстве проецируется ортогонально на плоскость XY приводя к сути П ‘ в этом самолете. Расстояние от начала координат до точки П ‘ определяет координату ρ, а угол, образованный осью Икс с лучом OP ‘ определяет координату φ. Наконец, координата z ортогональная проекция точки п на оси Z. (см. рисунок 1).

Радиальная координата ρ всегда положительна, азимутальная координата φ изменяется от нуля радиан до двух пи радиан, а координата z может принимать любое действительное значение:

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

База вектора в цилиндрических координатах

База цилиндрических единичных векторов определяется Uρ, Uφ, Уз.

Вектор Uρ касается прямой φ = ctte и z = ctte (направленной радиально наружу), вектор Uφ касается прямой ρ = ctte, z = ctte и, наконец, Уз имеет то же направление оси Z.

В основании цилиндрического блока вектор положения р точки P записывается векторно так:

р = ρ Uρ + 0 Uφ + z Уз

С другой стороны, бесконечно малое смещение dр из точки P это выражается следующим образом:

dр = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + дз Уз

Точно так же бесконечно малый элемент объема dV в цилиндрических координатах равен:

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Примеры

Существует бесчисленное множество примеров использования и применения цилиндрических координат. В картографии, например, цилиндрическая проекция, исходя именно из этих координат. Еще примеры:

Видео:Цилиндрические координатыСкачать

Пример 1

Цилиндрические координаты находят применение в технике. В качестве примера у нас есть система размещения данных на жестком диске CHS (Cylinder-Head-Sector), которая фактически состоит из нескольких дисков:

— Цилиндр или дорожка соответствует координате ρ.

— Сектор соответствует положению φ диска, вращающегося на высокой угловая скорость.

— Головка соответствует положению z считывающей головки на соответствующем диске.

Каждый байт информации имеет точный адрес в цилиндрических координатах (C, S, H).

Видео:Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Пример 2

Строительные краны фиксируют положение груза в цилиндрических координатах. Горизонтальное положение определяется расстоянием до оси или стрелкой крана ρ и его угловым положением φ относительно некоторой исходной оси. Вертикальное положение груза определяется координатой z высоты.

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Решенные упражнения

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Упражнение 1

Есть точки P1 с цилиндрическими координатами (3, 120º, -4) и точка P2 с цилиндрическими координатами (2, 90º, 5). Найди Евклидово расстояние между этими двумя точками.

Решение: Прежде всего, мы переходим к нахождению декартовых координат каждой точки по формуле, приведенной выше.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Евклидово расстояние между точками P1 и P2 равно:

d (P1, P2) = √ ((0 — (-1,5)) 2 +(2 – 2.60) 2 +(5 -(-4)) 2 ) =…

Видео:Декартова, полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат. Свободный вектор. Лекция №3Скачать

Упражнение 2.

Точка P имеет декартовы координаты (-3, 4, 2). Найдите соответствующие цилиндрические координаты.

Решение: Переходим к нахождению цилиндрических координат, используя приведенные выше соотношения:

ρ = √ (x 2 + и 2 ) = √((-3) 2 + 4 2 ) = √(9 + 16) = √(25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

Следует помнить, что функция арктангенса является многозначной с периодичностью 180º. Кроме того, угол φ должен принадлежать второму квадранту, поскольку координаты x и y точки P находятся в этом квадранте. Это причина, по которой к результату φ было добавлено 180 °.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Упражнение 3.

Выразите в цилиндрических координатах и ​​декартовых координатах поверхность цилиндра радиуса 2, ось которого совпадает с осью Z.

Решение: Подразумевается, что цилиндр имеет бесконечную протяженность в направлении z, поэтому уравнение указанной поверхности в цилиндрических координатах имеет вид:

Чтобы получить декартово уравнение цилиндрической поверхности, берется квадрат обоих членов предыдущего уравнения:

Умножаем на 1 оба члена предыдущего равенства и применяем фундаментальное тригонометрическое тождество (сен 2 (φ) + cos 2 (φ) =1 ):

(сен 2 (φ) + cos 2 (φ) ) * ρ 2 = 1 * 4

Скобка предназначена для получения:

(ρ sin (φ)) 2 + (ρ cos (φ)) 2 = 4

Мы помним, что первые круглые скобки (ρ sin (φ)) — это координата y точки в полярных координатах, а круглые скобки (ρ cos (φ)) представляют координату x, поэтому мы имеем уравнение цилиндра в декартовых координатах:

Вышеупомянутое уравнение не следует путать с уравнением окружности в плоскости XY, так как в этом случае оно будет выглядеть так: .

Видео:Двойные интегралы в полярных координатахСкачать

Упражнение 4.

Цилиндр с радиусом R = 1 м и высотой H = 1 м имеет свою массу, распределенную радиально в соответствии со следующим уравнением: D (ρ) = C (1 — ρ / R), где C — постоянная величина C = 1 кг / м. 3 . Найдите общую массу цилиндра в килограммах.

Решение: Во-первых, необходимо понять, что функция D (ρ) представляет объемную массовую плотность и что массовая плотность распределена в цилиндрических оболочках с уменьшающейся плотностью от центра к периферии. Бесконечно малый элемент объема в соответствии с симметрией задачи:

Следовательно, бесконечно малая масса цилиндрической оболочки будет:

Следовательно, общая масса цилиндра будет выражаться следующим образом: определенный интеграл:

M = ∫_или р D (ρ) dV = ∫_или р C (1 — ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫_или р (1 — ρ / R) ρ dρ

Решение указанного интеграла получить нетрудно, его результат:

∫_или р (1 — ρ / R) ρ dρ = (⅙) R 2

Включая этот результат в выражение массы цилиндра, получаем:

M = 2π H C (⅙) R 2 = ⅓ π H C R 2 =

⅓ π 1м * 1кг / м 3 * 1 м 2 = π / 3 кг ≈ 1,05 кг

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Цилиндрическая система координат

Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом О и полярной осью Ох. Через точку О перпендикулярно основной плоскости проведем ось Oz (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси Oz, происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).

В цилиндрической системе координат положение точки М, не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами г, (р точки — ортогональной проекции точки М на основную плоскость, и аппликатой z — координатой точки M_z — ортогональной проекции точки М на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты ки М — это упорядоченная тройка чисел г, (р, z — полярный радиус (г > 0), полярный угол (- п г а = >1 х а + Уа = 7 42 +(“ 3 ) 2 = 5 ’ Ф_л = arct g— = arctg—= -arctg j; z_A = 2, x a 4 4

Видео:Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Цилиндрическая система координат (цилиндрические координаты)

Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стороны положительного направления оси , происходило против часовой стрелки (рис.2.34,а).

В цилиндрической системе координат положение точки , не принадлежащей оси аппликат, характеризуется полярными координатами точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и аппликатой — координатой точки — ортогональной проекции точки на ось аппликат. Таким образом, цилиндрические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел — полярный радиус , полярный угол и аппликата . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен полярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Переход от цилиндрических координат к декартовым (прямоугольным)

С цилиндрической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Поскольку аппликата точки в прямоугольной системе координат и аппликата в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и ее цилиндрические координаты , имеют вид, следующий из

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам

Главное значение полярного угла находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.12. В цилиндрической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти цилиндрические координаты точки , если известны ее прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны ее цилиндрические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного радиуса , является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим объясняется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении полярного угла , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости и ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении аппликаты , является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости и ).

б) Найдем цилиндрические координаты точки . Аппликата , полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11):

так как и ортогональная проекция точки на координатную плоскость (основную плоскость) лежит в IV четверти.

в) Найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.19) вычисляем (см. пример 2.10):

Видео:Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

Видео:Цилиндрическая система координат(ЦСК).Тройной интегралСкачать

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

• Цилиндрические оси иногда используются, когда точки перемещаются в пространстве. Они получены путем сложения координат r с полярными координатами на плоскости. Он проходит вдоль неподвижной оси Oz, перпендикулярной плоскости с полярной осью координат (рис. 26). Положение точки М определяется путем установки трех ее цилиндрических координат как функции времени. r = /, (z); f(‘): = A 4.

Вводя понятие времени, мы получаем более сложную науку под названием кинематика, которая связана не с физическими причинами движения, а с геометрической природой движения во взаимосвязи времени. Людмила Фирмаль

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат Or, Op, Oz, выражается в виде v = vrr ° + vJ, p0 + vI £; (30) a = arr ° + app ° + ajc, (31) Где r °, p ° и k единичные векторы в направлении вдоль оси цилиндрической системы координат. Оси Ор и Ор находятся в одной плоскости с осями Ох и Оу. Выразите радиус-вектор p точки M как сумму двух векторов. p = OM ‘+ M’ M = rr ° + zk. Скорость точки получается путем дифференцирования вектора радиуса p по времени. Первый член этой формулы был рассчитан при выводе формулы для скорости полярной точки (24). прибывший (D / dz) (rr °) = rr ° +/ r = r; 1> p = rf; t>. = z. (33).

• Компоненты скорости t> r, vp и v. Параллельно оси цилиндрической системы координат и перпендикулярно друг другу, Ускорение точки получается путем дифференцирования вектора скорости по времени. Первый член в этом уравнении был рассчитан, когда ускорение было получено в полярных координатах. ^ (R0 + rfr0) = (r-rf2) r ° + (rf + 2rf) p0 Второе слагаемое в дифференцировании проходит вектор k по знаку производной.

Доказано, что две пары сил в плоскости, пересекающиеся с силой, действующей на один и тот же объект, могут быть заменены одной эквивалентной парой сил векторного момента, равной сумме векторных моментов пары заданных сил. Людмила Фирмаль

Объедините производные результаты, чтобы получить следующее разложение ускорения на компоненты, параллельные осям цилиндрической системы координат. a = (r-rf2) r0 + (rf + 2rf) p ° 4-2. (34) По сравнению с (31) получена проекционная формула ускорения по цилиндрической координатной оси. ar = r gp2; ar = gf + 2gf; az = z. (35) Компоненты ускорения a, ar и ar перпендикулярны друг другу, поэтому a = y / ai + aj + al = h / (r-rf2) 24(rf + 2rf) 2 + r2.

Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📽️ Видео

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

Векторы #2: скалярное произведение векторов, системы координатСкачать