Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

SO – высота пирамиды, значит SO⊥OD и ΔSOD – прямоугольный.

Запишем для ΔSOD теорему Пифагора:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, т.е. квадрат. Рассмотрим квадрат ABCD:

Видео:Геометрия Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SBСкачать

Геометрия Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек, входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды. И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины — настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же — тетраэдр). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

— это такая пирамида, у которой:

  1. В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
  2. Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием является квадрат. Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются — просто числа будут другими.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамида

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S — вершина, основание ABCD — квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Вводим систему координат с началом в точке A :

  1. Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
  2. Ось OY — параллельно AD . Поскольку ABCD — квадрат, AB ⊥ AD ;
  3. Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH — высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:

  1. A = (0; 0; 0) — совпадает с началом координат;
  2. B = (1; 0; 0) — шаг на 1 по оси OX от начала координат;
  3. C = (1; 1; 0) — шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
  4. D = (0; 1; 0) — шаг только по оси OY .
  5. H = (0,5; 0,5; 0) — центр квадрата, середина отрезка AC .

Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

  1. AS = AB = 1 по условию;
  2. Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
  3. Сторона AH — общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Итого координаты точки S :

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Видео:10 кл.Егэ. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S верСкачать

10 кл.Егэ. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вер

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Треугольник AHS — прямоугольный, причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата z для точки S .

Видео:Задача про четырёхугольную пирамидуСкачать

Задача про четырёхугольную пирамиду

Правильная четырехугольная пирамида

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан составной многогранник и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.

Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани — треугольники, при чём они имеют общую вершину.

Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.

Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

Правильный четырехугольник пирамида sabcd
ML — апофема
∠MLO — двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.

В статье « Общий обзор. Формулы стереометрии! » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Как извлекать корень из большого числа описано здесь .

Решите самостоятельно:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Решите самостоятельно:

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR.

В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS.

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Основание пирамиды — равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS — высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен:

Правильный четырехугольник пирамида sabcd

Решите самостоятельно:

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.

На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!

💡 Видео

Найдите отрезок АС в правильной четырехугольной пирамидеСкачать

Найдите отрезок АС в правильной четырехугольной пирамиде

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

Построение сечения пирамиды по трем точкам

В правильной четырехугольной пирамиде точка О центр основаниСкачать

В правильной четырехугольной пирамиде точка О   центр основани

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?

№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковойСкачать

№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать

11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.

🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Нахождение высоты в правильной пирамидеСкачать

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Задача по стереометрии С2. ЕГЭ. Профильный уровень.Скачать

Задача по стереометрии С2. ЕГЭ. Профильный уровень.

Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 1 вариант. 2023. 13 задание. GeoGebra.Скачать

Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 1 вариант. 2023. 13 задание. GeoGebra.

Урок 2. Как найти угол между прямыми || Задание №13. Стереометрия на ЕГЭСкачать

Урок 2. Как найти угол между прямыми || Задание №13. Стереометрия на ЕГЭ

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем.  Вебинар | Математика 10 класс

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точкаСкачать

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка

Стереометрия 37 | mathus.ru | угол между прямой и плоскостью в правильной четырёхугольной пирамидеСкачать

Стереометрия 37 | mathus.ru | угол между прямой и плоскостью в правильной четырёхугольной пирамиде
Поделиться или сохранить к себе: