SO – высота пирамиды, значит SO⊥OD и ΔSOD – прямоугольный.
Запишем для ΔSOD теорему Пифагора:
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит правильный четырехугольник, т.е. квадрат. Рассмотрим квадрат ABCD:
Видео:Геометрия Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SBСкачать
Правильный четырехугольник пирамида sabcd
Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек, входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды. И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины — настоящий ад.
Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же — тетраэдр). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.
Для начала вспомним определение:
— это такая пирамида, у которой:
- В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;
- Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.
В частности, основанием является квадрат. Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.
Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются — просто числа будут другими.
Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать
Вершины четырехугольной пирамиды
Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S — вершина, основание ABCD — квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:
Вводим систему координат с началом в точке A :
- Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
- Ось OY — параллельно AD . Поскольку ABCD — квадрат, AB ⊥ AD ;
- Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .
Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH — высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:
- A = (0; 0; 0) — совпадает с началом координат;
- B = (1; 0; 0) — шаг на 1 по оси OX от начала координат;
- C = (1; 1; 0) — шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
- D = (0; 1; 0) — шаг только по оси OY .
- H = (0,5; 0,5; 0) — центр квадрата, середина отрезка AC .
Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .
Рассмотрим треугольники ASH и ABH :
- AS = AB = 1 по условию;
- Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
- Сторона AH — общая.
Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD — диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:
Итого координаты точки S :
В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:
Видео:10 кл.Егэ. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S верСкачать
Что делать, когда ребра разные
А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :
Треугольник AHS — прямоугольный, причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора. Это и будет координата z для точки S .
Видео:Задача про четырёхугольную пирамидуСкачать
Правильная четырехугольная пирамида
Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан составной многогранник и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.
Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани — треугольники, при чём они имеют общую вершину.
Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.
Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).
ML — апофема
∠MLO — двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды
В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.
В статье « Общий обзор. Формулы стереометрии! » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .
В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:
Как извлекать корень из большого числа описано здесь .
Решите самостоятельно:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR.
В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS — высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен:
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.
На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!
💡 Видео
Найдите отрезок АС в правильной четырехугольной пирамидеСкачать
Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать
В правильной четырехугольной пирамиде точка О центр основаниСкачать
СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать
Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать
КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать
№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковойСкачать
11 класс. Геометрия. Объём пирамиды. 28.04.2020.Скачать
🔴 Найдите объём правильной четырёхугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Нахождение высоты в правильной пирамидеСкачать
Задача по стереометрии С2. ЕГЭ. Профильный уровень.Скачать
Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 1 вариант. 2023. 13 задание. GeoGebra.Скачать
Урок 2. Как найти угол между прямыми || Задание №13. Стереометрия на ЕГЭСкачать
Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точкаСкачать
Стереометрия 37 | mathus.ru | угол между прямой и плоскостью в правильной четырёхугольной пирамидеСкачать