Поток вектора через боковую поверхность цилиндра (6 видео)

Поток вектора через цилиндр

Содержание

Поток вектора через цилиндр
Применение теоремы Остроградского—Гаусса к расчету напряжённости и потенциала простейших электростатических полей в вакууме
Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
Замечание:
Пример 4:
Применение теоремы Гаусса
Применение теоремы Остроградского—Гаусса к расчету напряжённости и потенциала простейших электростатических полей в вакууме
🔍 Видео

Видео:Демидович №4442: поток вектора через цилиндрСкачать

Поток вектора через цилиндр

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1):

где – модуль нормальной составляющей поля

Поток вектора через боковую поверхность цилиндра

Рисунок 1.3.1.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ, определить элементарные потоки Δ поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .

Рисунок 1.3.2.

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε₀.

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность , в центре которой находится точечный заряд . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где – радиус сферы. Поток через сферическую поверхность будет равен произведению на площадь сферы 4π. Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).

Рисунок 1.3.3.

Рассмотрим конус с малым телесным углом при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку , а на поверхности – площадку . Элементарные потоки и Δ через эти площадки одинаковы. Действительно,

Здесь Δ – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса .

Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку ₀ через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность не охватывает точечного заряда , то поток = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность насквозь. Внутри поверхности зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность в виде соосного цилиндра некоторого радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

Рисунок 1.3.4.

При весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда

Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

Рисунок 1.3.5.

В этом случае гауссову поверхность целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Применение теоремы Остроградского—Гаусса к расчету напряжённости и потенциала простейших электростатических полей в вакууме

Теорема Остроградского-Гаусса упрощает расчёт электростатических полей, созданных распределенными электрическими зарядами в тех случаях, когда поле обладает пространственной симметрией, позволяющей провести через рассматриваемую точку замкнутую гауссову (иначе её называют контрольную) поверхность и вычислить поток вектора напряжённости. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычисление напряжённости Е и потенциала ср электростатического поля, созданного в вакууме бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Рассмотрим электростатическое поле, созданное бесконечной равномерно заряженной плоскостью (рис.87). Проведем ось о х, начало оси находится на плоскости (х = 0). Найдём напряженность Е электростатического поля в точке А. Через точку А проведём гауссову поверхность, за которую удобно принять поверхность цилиндра. Одно из оснований цилиндра проходит через точку А. Основания цилиндра параллельны заряженной плоскости и находятся на одинаковых расстояниях от плоскости по обе стороны.

Образующие цилиндра перпендикулярны плоскости и параллельны линиям напряженности Е электростатического поля. Поток вектора напряжённости Ф _Е через боковую поверхность цилиндра равен нулю, в любой точке этой поверхности нормальная составляющая напряжённости Е „ равна нулю. Вектор Е направлен перпендикулярно к основаниям цилиндра. Площадь оснований цилиндра обозначим через S. Поток вектора Е через каждое из оснований равен Е ? S, т.к. Е „ = Е.

Тогда полный поток вектора напряжённости Е через поверхность цилиндра (гауссову поверхность) равен сумме потоков через его основания

Суммарный электрический заряд q, заключенный внутри цилиндра, равен

Поток вектора напряжённости Ф _Е определяется по теореме Остроградского-Г аусса

Приравнивая правые части уравнений (11.7) и (11.8) и сократив на S, получим

Из (11.9) следует, что напряженность Е электростатического поля не зависит от длины цилиндра (координаты точки А) и на любых расстояниях от заряженной плоскости имеет одну и ту же величину. Результат будет таким же для отрицательно заряженной плоскости с поверхностной плотностью (- a , тогда

Выберем две точки 1 и 2, лежащие на расстояниях X/ и х₂ от плоскости и проинтегрируем формулу (11.10) в пределах от х/ до х₂, где потенциалы cpi и ср₂, тогда

На рис.89 представлены результаты расчетов по формулам (11.11).

Пусть потенциал ср равен нулю в точках, распределенных на заряженной поверхности, т.е. при х_; = 0; (р_> = 0, обозначим х^ = х, R.

Во всех точках поверхности сферы вектор Е будет одинаков по модулю и направлен по радиусу г, т.е. по нормали к гауссовой поверхности (Е„ = Е). Весь электрический заряд q, создающий поле, находится внутри поверхности сферы радиуса г. Поток Ф _Е вектора напряжённости Е электростатического поля равен

Для однородной и изотропной среды вводим ттппниттяемпгтт* гпеттт>т

Сравнивая полученную формулу с формулой (11.3) для напряжённости электростатического поля, возникающего вокруг точечного электрического заряда, видим, что за пределами равномерно заряженной сферы возникает такое же электростатическое поле, как и вокруг точечного электрического заряда, находящегося в центре сферы и равного по величине общему электрическому заряду q сферы.

Если провести концентрическую сферу радиусом г 2 — площадь поверхности сферы радиуса г.

По теореме ОстроградскогоТаусса поток Ф _Е вектора напряжённости Е электростатического поля определяется формулой

Приравняв правые части (11.13) и (11.14), выразим напряжённость Е

Максимальное значение напряжённости Е электростатического поля наблюдается непосредственно у наружной поверхности сферы. Из формулы

Напряжённость Е электрического поля вне заряженной поверхности сферы убывает с увеличением расстояния г по такому же закону, как и поле точечного электрического заряда (рис.94)

Выведем формулу для потенциала ср электростатического поля вне заряженной сферы (г > R)

При г R с центром в точке О (рис.96).

По теореме Остроградского-Гаусса имеем отсюда

Чтобы найти напряженность Е электростатического поля внутри шара, нужно провести контрольную поверхность, радиусом г’

Пример 5. Электростатическое поле равномерно заряженного бесконечного круглого цилиндра (нити). Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр (иногда говорят круглый стержень) радиуса R, заряженный равномерно с линейной плотностью электрического заряда г (г = d q/dl — это электрический заряд, приходящийся на единицу длину). Радиус цилиндра R во много раз меньше длины I образующей.

Найдем распределение напряжённости Е (г) и потенциала ср (г) в электростатическом поле, которое образуется вокруг заряженного цилиндра. Электростатическое поле, вдали от концов цилиндра и на малых, по сравнению с длиной I, расстояниях г от оси цилиндра ОО’, можно считать осесимметричным из-за симметричного распределения электрических зарядов. Линии напряжённости Е, за счёт осевой симметрии, направлены по радиусам круговых сечений цилиндра во все стороны с одинаковой густотой относительно оси цилиндра ОО’ (рис.99).

Для нахождения напряженности Е электростатического поля проведём через рассматриваемую точку, находящуюся от оси стержня на расстоянии г, превышающим радиус цилиндра R, гауссову (контрольную) поверхность в виде цилиндра, коаксиального с заряженным, радиуса г > R.

Цилиндр ограничен с двух сторон основаниями, перпендикулярными оси ОО’ и находящимися на расстоянии /’ друг от друга (/’ « /). Ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью ОО’ заряженного цилиндра. Этот цилиндр ограничен с двух сторон основаниями, перпендикулярными оси ОО’ и находящимися на расстоянии Т друг от друга (/’ « /). Ось вспомогательного цилиндра совпадает с осью ОО’ заряженного цилиндра.

Так как вектор Е в каждой точке боковой поверхности цилиндра направлен по радиусу R, перпендикулярно оси стержня, то поток Ф _Е вектора напряженности Е через боковую поверхность равен произведению напряженности Е электростатического поля в точках, лежащих на расстоянии г от оси цилиндра на площадь боковой поверхности, равной 7п ? г- Г

Внутри построенного вспомогательного цилиндра заключён электрический заряд q, равный

По теореме ОстроградскогоТаусса, поток Ф _Е вектора напряженности Е равен

Поток Ф _Е вектора напряженности Е через основания цилиндра равен нулю (Ф _Е = 0), так как вектор напряженности Е лежит в плоскости оснований и параллелен им. Нормальная составляющая Е „ напряжённости равна нулю (Е „ = 0).

На поверхности цилиндра при г = R

Из формулы (11.23) следует, что напряженность Е электростатического поля, созданного бесконечно длинным

прямолинейным равномерно заряженным цилиндром, обратно пропорциональна расстоянию г рассматриваемой точки от его оси (рис. 100).

Если выбрать точку внутри цилиндра (г ^ R, R радиус сферы (шара).

Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать

Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 — тупой.

Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса—Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x> у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса .

Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение , значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «-», что угол /3 — тупой.

Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью.

Имеем Так как угол 7 — острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам , получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ».

Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz —треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны . Имеем Аналогично получим . Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А.

Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В.

Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями.

Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим.

Замечание:

Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Теорема 4.

Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь — орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.

Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz.

Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da — элемент площади на поверхности S. Тогда

элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением — уравнением z = z(x>y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь.

Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю.

Поэтому формула (4) остается

справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза.

Пусть S и S2 — те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V и Vj — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями . Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются).

Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1)

Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3.

Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание . При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Ос гроградского.

Пример 4:

Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у — I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать

Применение теоремы Гаусса

Поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость бесконечно большая. Поле равномерно, следовательно, вектор имеет такое же направление, что и вектор нормали заряженной плоскости. Построим вокруг плоскости цилиндрическую поверхность, состоящую из боковой и двух торцевых поверхностей. Поток вектора электрического смещения перпендикулярен нормали боковой поверхности цилиндра. Поэтому скалярное произведение и поток вектора электрического смещения через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поток будет пронизывать только две торцевые поверхности. Причем вектор нормали торцевой поверхности направлен также как и вектор электрического смещения . Тогда по теореме Гаусса:

где – поверхностная плотность заряда.

Электрическое смещение постоянно, вынесем его за знак интеграла:

Так как торцевых поверхностей две, то:

то напряженность равна:

Электрическое смещение, как и напряженность, во всех точках пространства одинаково, так как поле равномерно.

Поле двух параллельно расположенных плоскостей имеющих разные заряды +Q и -Q

Поле будет существовать только между пластинами, вне их поля нет.

Напряженность поля между пластинами:

Рассмотрим плоский конденсатор. Если обкладки плоского конденсатора не бесконечно большие, то на краях обкладок имеются места выпучивания силовых линий. Это явление называют краевым эффектом. Электростатическое поле на краях обкладок не равномерно и вычислить его сложно. Поэтому, если поверхность электродов гораздо больше, чем расстояние между ними, то краевым эффектом пренебрегают и считают поле равномерным.

Поле равномерно заряженного шара

Заряд q равномерно распределен в шаровой области радиуса А. Проведем сферическую поверхность S радиусом R, начало системы координат которой находится в центре шаровой области. Диэлектрическая проницаемость шаровой области равна , а внешней среды .

1. Рассмотрим случай, когда R>A – исследуемая точка находиться вне шаровой области. Задача обладает шаровой симметрией, то есть для всех точек, равноудаленных от начала координат, модуль вектора напряженности электростатического поля будет иметь одно и тоже значение.

По теореме Гаусса:

Вектор напряженности электростатического поля и вектор нормали направлены в одну сторону. Поэтому . Так как напряженность постоянна, ее можно вынести из за знака интеграла.

Площадь сферы равна , тогда:

где .

Полученная формула совпадает с формулой напряженности точечного заряда помещенного в центр шара, тогда формула потенциала будет иметь следующий вид (вывод смотри в теме потенциал электростатического поля):

2. Рассмотрим случай, когда R

;

Построим графики зависимости напряженности, электрического смещения и потенциала от радиуса.

Электрическое смещение не зависит от свойств среды, поэтому, на границе раздела двух сред, скачков модуля электрического смещения не бывает. Напряженность электростатического поля, наоборот, зависит от свойств среды, поэтому на границе раздела двух сред меняется скачком. График зависимости потенциала от расстояния зависит от того, где потенциал был принят равным нулю. Пусть в нашем случае точка с нулевым потенциалом лежит в бесконечности. График потенциала – это плавно изменяющаяся функция, так как потенциал – это работа по перемещению заряда.

Поле равномерно заряженной сферы