Постройте векторы равные сумме и разности векторов tq и ts

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> «> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> » data-order=» a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> «> a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> «> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> » data-order=» a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> «> a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n>

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Сложение и вычитание векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

План конспекта-урока по геометрии

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала с применением ЭВМ.

Цели урока:

• ознакомить учащихся с понятиями суммы и разности векторов,
• научить строить вектор, равный сумме или разности двух данных векторов, используя одно из правил: «правило треугольника» или «правило параллелограмма».

Методы: индивидуальное обучение, беседа.

1. Листы для практической работы.
2. Презентация «Сложение векторов» (текст слайдов презентации смотрите в Приложении 1).

1) Организационный момент:
а) настрой на рабочий лад;
б) сообщение темы урока;
в) сообщение плана урока.
2) Изучение новой темы с элементами первичного закрепления:
а) введение в новый материал;
б) самостоятельное изучение темы по готовой презентации с работой в тетради.
3) Закрепление.
4) Практическая работа.
5) Итоги урока, выставление оценок, постановка домашнего задания.

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Сообщение темы и плана урока.

2. Изучение новой темы с элементами первичного закрепления.

На каждом компьютере приготовлена обучающая программа, благодаря которой каждый из учащихся сможет самостоятельно ознакомиться с новой темой. Все рекомендации по работе с программой будут появляться на экране компьютера.

В процессе изучения новой темы каждый учащийся выполняет небольшое тренировочное задание, после проверки которого, получает оценку.

Учащиеся, которые заканчивают изучение новой темы раньше всех, продолжают работать на компьютерах, выполняя практическую работу в приложении Microsoft Word. Цель этой работы не только научить строить вектор, равный сумме или разности двух данных векторов, но и продолжить развивать навыки работы с графическим редактором, встроенным в текстовый процессор Microsoft Word.

1. Какие правила сложения и вычитания векторов вам известны?
2. Как сложить два вектора, используя «правило треугольника»?
3. Как вычесть два вектора, используя «правило треугольника»?
4. Как сложить два вектора, используя «правило параллелограмма»?
5. Чем отличается «правило треугольника» для сложения и вычитания векторов?

После обобщающей беседы учитель у доски с помощью класса строит сумму векторов АВ и СD по «правилу треугольника», разность векторов KL и EF по «правилу треугольника», сумму векторов MN и PR по «правилу параллелограмма».

4. Практическая работа.

Выполняется по индивидуальным листам.

5. Итоги урока, выставление оценок, постановка домашнего задания.

Домашнее задание: п. 94, № 9, 12, приготовить рисунок на одно из изученных правил сложения или вычитания векторов (на листе формата А4).

Практическая работа по теме «Сложение векторов»

1. Постройте вектор, равный сумме векторов MK и KL. Запишите результат в виде равенства.

2. Пользуясь «правилом треугольника», постройте вектор, равный сумме векторов AB и CD. Запишите результат в виде равенства.

3. Постройте вектор, равный разности векторов TQ и TS. Запишите результат в виде равенства.

4. Пользуясь «правилом треугольника», постройте вектор, равный разности векторов MN и FE. Запишите результат в виде равенства.

5. Постройте вектор, равный сумме векторов AD и AB . Запишите результат в виде равенства.

6. Пользуясь «правилом параллелограмма», постройте вектор, равный сумме векторов PR и KL . Запишите результат в виде равенства.