Числа от 1 до 10 на окружности (8 видео) | Курс школьной геометрии

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Содержание

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
Магия чисел.
Теоретическая часть
Числовая окружность
🌟 Видео

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Магия чисел.

Теоретическая часть

Числа и фигуры могут объединиться, например, в такую композицию.Девять чисел натурального ряда расставлены в клетках квадрата. Можно ли сразу сказать, что это красиво? Вряд ли. Красота здесь не внешняя, а содержательная, внутренняя. Чтобы ее понять требуется напряжение мысли, нужно посчитать суммы трех чисел в каждой строчке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей. Оказывается, сумма во всех восьми случаях одна и та же, равная 15.

Выходит в огромном количестве различных расположений девяти чисел в клетках квадрата можно найти такое удивительное по своему содержанию. От хаоса различных, ничем не примеча- тельных вариантов расположения — к своеобразному и редкому упорядочению.

История происхождения подобных квадратов уходит в глубь тысячелетней истории человечества. Естественно, в те древние времена, когда даже отдельным числам приписывались магические свойства, подобные числовые построения не могли назвать иначе как волшебные или магические квадраты. К магическим квадратам вернемся отдельно, а пока рассмотрим более простые, но и более разнообразные расположения чисел с постоянными суммами.

Именно в этой области существует большое количество занимательных задач простых по условию и полезных для ума. Для пересекающихся рядов чисел с одинаковыми суммами отечественный математик и популяризатор науки Борис Анастасьевич Кордемский ввел определение кросс-суммы, по аналогии с кроссвордами (от английского cross — пересекаться,скрещиваться). Таким образом, кросс-суммы — это пересекающиеся ряды чисел с одинаковыми суммами. Словосочетание немного неблагозвучное из-за трех букв «с», идущих подряд. Можно было бы назвать их по-русски: числовые пересечения с одинаковыми суммами, но получается более громоздко. Кроме того, нужно отдать долг вежливости по отношению к мэтру отечественной занимательной математики, автору «Математической смекалки», на книгах которого воспитывалось наше поколение. Начнем с простейшего расположения чисел в одну строчку и один столбец с пересечением:

Можно ли расставить числа от 1 до 5 так, чтобы сумма трех чисел в строчке и трех чисел в столбце была одна и та же? Ответ дается в приведенной схеме:

Число 3 в центр, а по краям равноудаленные от центра пары чисел. Это не единственное решение. Сумма 1+2+3+4+5=15, нечетная. Число, стоящее на пересечении, входит как в сумму чисел строки, так и в сумму чисел столбца, и мы должны приба- вить его к 15 и, поделив на два, вычислим кросс-сумму. Значит, число на пересечении обязательно нечетное, но это может быть 1, 3, 5. Отсюда получим другие решения, с суммой равной 8 или 10. Ещё возможны перестановки крайних чисел, не влияющие на сумму, но дающие дополнительные решения. Убеждаемся, что вариант с одним пересечением достаточно легкий и допускает несколько решений с различными кросс- суммами.

Задачи: Числовые окружности

Расставьте числа от 1 до 9 в кружочки фигуры так, чтобы сумма трех цифр по каждой прямой составляла 15.

Расставьте десять последовательных натуральных чисел в кружочки фигуры так, чтобы сумма любых трех чисел по каждой прямой, составляла 42.

Расставьте числа от 1 до 19 в кружочки фигуры так, чтобы сумма любых трех чисел на одной прямой равнялась 30.

Расставьте числа от 1 до 8 так, чтобы суммы чисел по прямым и окружностям были одинаковыми.

Расставьте числа от 1 до 10 в маленькие кружочки так, чтобы суммы чисел в четырех больших кругах были равными.

Расставьте 9 натуральных последовательных чисел так, чтобы равнялись 60 суммы по 4 малым и одной большой окружности, а также в вершинах центрального квадрата.

Расставьте числа от 1 до 16 так, чтобы суммы по 4-м радиусам и 4-м окружностям равнялись 34.

Расставьте числа от 1 до 8 так, чтобы сумма чисел на каждой окружности была одной и той же.

Расставьте числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел по пяти радиусам и по пяти окружностям равнялась 65.

Расставьте числа от 1 до 6 в маленькие кружочки так, чтобы сумма четырёх чисел на любой окружности равнялась 14.

Видео:Математика 1 класс (Урок№17 - Итоговый урок по разделу «Числа от 1 до 10. Число 10. Нумерация».)Скачать

Числовая окружность

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы вспомним определение числовой прямой и дадим новое определение числовой окружности. Также подробно рассмотрим важное свойство числовой окружности и важные точки на окружности. Дадим определение прямой и обратной задачи для числовой окружности и решим несколько примеров подобных задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»