Через каждую из двух прямых проходит плоскость параллельная другой прямой и притом только одна

Скрещивающиеся прямые

Нам известны два случая расположения прямых в пространстве a ∩ b; а || b. Общее для них: они лежат в одной плоскости (рис. 1, 2).

(по следствию из аксиомы)

(по определению параллельных прямых)

ЗАДАНИЕ №1 в рабочей тетради

Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ (рис. 4).

Доказать, что АВ скрещивается с CD.

Допустим, что CD и АВ лежит в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.

Плоскости совпадают, чего быть не может, так как прямая CD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и CD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с CD.

ЗАДАНИЕ №2 в рабочей тетради

Теорема :

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.

Доказательство: учащиеся разбирают по учебнику самостоятельно с последующей записью на доске и в тетрадях.

Дано: АВ скрещивается CD (рис. 6).

Построить α: АВ ⊂ α, CD || α.

Доказать, что α — единственная.

1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || CD.

2. Прямые АЕ и АВ пересекаются и образуют плоскость α. АВ ⊂ α (по построению), CD || α (по признаку параллельности прямой и плоскости), α — искомая плоскость.

3. Докажем, что α — единственная плоскость. α — единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую CD.

В доказательстве этой теоремы дается способ построения плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум скрещивающимся прямым. Рассмотреть задачу на построение.

Задание №3-№4 в рабочей тетради

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Лекция по математике на тему «Скрещивающиеся прямые»

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Лекция по теме «Скрещивающиеся прямые»

Вам уже известны два случая взаимного расположения прямых в пространстве:

Вспомним их определения.

Определение. Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку

Определение. Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Общим для этих определений является то, что прямые лежат в одной плоскости.

Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Прямые а и b – пересекаются.

Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Прямые a и b параллельны

В пространстве так бывает не всегда. Мы можем иметь дело с несколькими плоскостями, и не всякие две прямые будут лежать в одной плоскости.

AB и A ₁ D ₁ лежат в разных плоскостях.

AB и A ₁ D ₁ лежат в разных плоскостях.

Определение . Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые. Из определения понятно, что данные прямые не пересекаются и не параллельны.

Определение . Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые.

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся .

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая AB лежит в плоскости α. Прямая CD пересекает плоскость α в точке С, не принадлежащей прямой АВ.

Доказать, что прямые AB и DC – скрещиваются.

Доказательство будем вести методом от противного.

Допустим, АВ и CD лежат в одной плоскости, обозначим ее β.

Тогда плоскость β проходит через прямую AB и точку C.

По следствию из аксиом, через прямую AB и не лежащую на ней точку C можно провести плоскость, и притом только одну.

Но у нас уже есть такая плоскость — плоскость α.

Следовательно, плоскости β и α совпадают.

Но это невозможно, т.к. прямая CD пересекает α, а не лежит в ней.

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно. AB и CD лежат в

разных плоскостях и являются скрещивающимися.

Доказать: AB скрещивается с DC

Допустим, АВ и CD лежат в некоторой плоскости β.

Тогда плоскость β проходит через прямую AB и точку C.

Через прямую AB и не

лежащую на ней точку C можно провести плоскость, и притом только одну (следствие из аксиом).

Но это невозможно, т.к. прямая CD пересекает α.

Пришли к противоречию, ⇒ AB и CD лежат в разных плоскостях (скрещиваются).

Итак, возможны три способа взаимного расположения прямых в пространстве:

А) Прямые пересекаются, т.е имеют только одну общую точку.

Б) Прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

В) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Рассмотрим еще одну теорему о скрещивающихся прямых

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

АВ и CD – скрещивающиеся прямые

Доказать, что с уществует плоскость α такая, что прямая AB лежит в плоскости α, а прямая CD параллельна плоскости α.

Докажем существование такой плоскости.

Через точку A проведем прямую AE параллельно CD.

Так как прямые AE и АВ пересекаются, то через них можно провести плоскость. Обозначим ее через α.

Так как прямая CD параллельна AE, а AE лежит в плоскости α, то прямая CD ∥ плоскости α (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости).

Плоскость α — искомая плоскость.

Докажем, что плоскость α – единственная, удовлетворяющая условию.

Любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, будет пересекать A E , а значит и параллельную ей прямую CD. Т.е., любая другая плоскость, проходящая через AB пересекается с прямой CD , поэтому не является ей параллельной.

Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

АВ и CD – скрещивающиеся прямые

Проведем AE ∥ CD.

Проведем плоскость α через пересекающиеся прямые AE и CD.

CD ∥ AE, AE ⊂ α ⇒ CD ∥ α.

Плоскость α — искомая плоскость.

Любая другая плоскость будет пересекать AB, а значит и параллельную ей прямую CD.

Поэтому α – единственная.

Перейдем к задачам.

Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC , точки M , N , и P – середины отрезков DA , DB , и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN . Выясните взаимное расположение прямых:

а) ND пересекается с AB в точке B, поскольку N лежит между B и D ;

б) PK пересекается с BC, поскольку PK не является средней линией BCD и поэтому не параллельна BC .

в) MN параллельна AB, т.к. MN – средняя линия ABD . Средняя линия треугольника параллельна основанию.

г) MP параллельна AC, т.к. MP – средняя линия ACD ;

д) NK и AC скрещивающиеся, т.к. они не принадлежат одной плоскости;

е) MD и BC – скрещивающиеся, т.к. не принадлежат одной плоскости.

Выяснить взаимное расположение прямых:

д) NK и AC скрещивающиеся;

е) MD и BC — скрещивающиеся.

Задача. Прямая с пересекает прямую а , параллельную прямой b . Докажите, что b и c – скрещивающиеся прямые.

Мы с вами знаем признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Так как, по условию задачи, прямая а параллельна прямой b , то через них можно провести плоскость, т.е. существует некоторая плоскость α, содержащая прямые a и b .

Прямые a и c пересекаются. Обозначим точку пересечения буквой M . Так как прямые a и b параллельны, то M не принадлежит b .

Выполняется условие: прямая b лежит в плоскости α, а прямая c пересекает эту плоскость в точке M , не лежащей на прямой b . По признаку скрещивающихся прямых прямые a и b – скрещиваются.

Что и требовалось доказать.

Доказать: с и b – скрещиваются

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 338 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 693 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Стринкевич Лилия ИльфатовнаНаписать 2468 15.12.2016

Номер материала: ДБ-025587

15.12.2016 1234

15.12.2016 612

15.12.2016 222

15.12.2016 1293

15.12.2016 1703

15.12.2016 4890

15.12.2016 223

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения готовит рекомендации по построению «идеальной школы»

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎬 Видео

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

№41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямойСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

Вся алгебра 8 класса в одном задании | МатематикаСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

№91. Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямыхСкачать