Постройте сечение правильной треугольной призмы проходящее через точки и параллельно прямой

город Прокопьевск Кемеровская область»

Сборник задач на построение сечений призмы

Составила учитель математики и информатики

Игнашева Оксана Павловна

№1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, бо­ко­вые рёбра равны 4. Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A, B и се­ре­ди­ну ребра A₁C₁ Най­ди­те его пло­щадь.

П остроение:
1) Обо­зна­чим через M и N сре­ди­ны ребер A₁C₁ и B₁C₁ со­от­вет­ствен­но.
2) По Тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка MN ׀׀ A₁B₁ ׀׀ AB, так что пря­мые MN и AB лежат в одной плос­ко­сти.
3) Ис­ко­мое се­че­ние — это рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция AMNB.

Решение: Ос­но­ва­ния тра­пе­ции по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем бо­ко­вую сто­ро­ну:
Про­ве­дем в тра­пе­ции вы­со­ту

От­ре­зок равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции:

Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та тра­пе­ции

Зная её, на­хо­дим пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ:
№ 2. Построить сечение правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через середины ребер AB , A 1 C 1 , BB 1 . Найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4 , а высота пирамиды равна 42 −√ / 7 .
П остроение:

5)Пятиугольник MNEKF искомое сечение.

Угол наклона сечения будет ∠KTH.

5)Если проводить B1D||QK, то по обобщенной теореме Фалеса легко доказать, что C1F=34a.

6)Проекция сечения на основание будет BLHEN.

1)Так как A₁DM = B₁FM, то B₁F = ; затем из подобия BCF и B₁NF определяем B₁N =  C₁N = .

2)Отрезок MN находим из _MNB₁ по теореме косинусов; диагональ CM можно найти из прямоугольного треугольника CC₁M (на рисунке не показан).
3)Площадь четырехугольника CDMN определяем по сумме площадей треугольников CDM и CMN, введя вспомогательные углы  и .

4)S_CDM = S_CMN = ;

Sсеч. = .

n = = 1  Sсеч. = ; n =  Sсеч. = ;

n =  Sсеч. = . Ответ:

№ 4. Построить сечение правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через прямую CM и параллельной диагонали AC1 боковой грани ACC1A1, если точка M – середина ребра B1C1.
Построение:
1) В плоскости ACC1 проводим прямую CK || AC1 (точка K — пересечение прямой CK с плоскостью A1B1C1)- тогда плоскость проходящая через прямые CM и CK будет параллельна прямой AC1;
2) в плоскости A1B1C1 проводим прямую KM — до ее пересечения с ребром A1B1 в точке D;
3) и «если 2 параллельные плоскости пересекает 3-я плоскость, то линии пересечения параллельны», т.е. в плоскости ABC проводим CE || MD.
Трапеция CMDE — искомое сечение.

Построить сечение треугольной призмы проходящее через точки A , B и H , лежащую на стороне AC ₁ .
Построение:
1) проведём C ₁ A и отметим на ней произвольную точку H
2) соединим точку B и точку A (т.к. они лежат в одной плоскости ABB ₁ A ₁ )

3) соединим точку B ₁ и точку C ₁
4) соединим точку A и точку C ₁ ( т.к.они лежат в одной плоскости AA ₁ C ₁ C )
5) соединим точки A , B ₁ и C ₁ и получим плоскость AB ₁ C ₁
6) соединим точку B и точку H ( т.к. они лежат в одной плоскости AB ₁ C ₁ )
7) B ₁ HA — искомое сечение.

Задачи для самостоятельного решения:

№ 1. Постройте сечение призмы АВСА’В’С’ плоскостью, проходящей через точку D, лежащую на ребре AC, точку E на ребре ВВ’ и точку F на ребре В′C′.
№2. В правильной треугольной призме АВСDEF AB = AD, N – середина EF. Постройте перпендикулярное сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М на ребре АВ перпендикулярно AN.
№3. Постройте сечение призмы АВСА’В’С’ плоскостью, проходящей через точку D, лежащую в грани AA′C′C, точку E в грани AА’В’B и точку F в грани ВВ′C′C.

№4. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через прямую CM и параллельной диагонали AC1 боковой грани ACC1A1, если точка M – середина ребра B1C1, сторона основания равна sqrt(14), а боковое ребро равно sqrt(3).
№5. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 8 , бо­ко­вые рёбра равны √13 . Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A,C и се­ре­ди­ну ребра A₁B₁ . Най­ди­те его пло­щадь.

№ 1. Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

1) Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
2) Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.
3)Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.
4) Прямая S₁S₂ — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
5) Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.
6) PQRTU – искомое сечение.

№2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки:

П остроение:

1. Точки MиN принадлежат плоскости А₁В₁С₁. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба (нажимаем клавишу мыши).

Продолжим прямые MN и D₁C₁до пересечения. Получим точку Х, принадлежащую как плоскости А₁В₁С₁ , так и плоскостиDD₁C₁ (клик мыши).

2) Точки Nи К принадлежат плоскостиВВ₁С₁. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и грани ВВ₁С₁С. (Клик мыши).

3) Соединяем точки Х и К,и продолжаем прямую ХКдо пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок КР –линию пересечения секущей плоскости и грани DD₁C₁C. Продолжая прямые КРи DD₁ до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА₁D₁.

В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получаем в результате пересечения прямых MNи А₁D₁. Это точка . Соединяем точки Yи Z, получим и . Соединив Q и Р, R и M, получим искомое сечение.

Построение (краткая запись):

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) — искомое сечение.

№ 3.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной при­зме сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а бо­ко­вое ребро Точка при­над­ле­жит ребру и делит его в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

Построение:

1. От­ре­зок па­рал­ле­лен диа­го­на­ли (точка при­над­ле­жит ребру ), сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние — тра­пе­ция . Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние по пря­мой па­рал­лель­ной зна­чит, па­рал­ле­лен
2. Тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит,

3)В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках и

зна­чит, тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная.

4)Пусть — вы­со­та тра­пе­ции про­ведённая к ос­но­ва­нию , тогда:

Ответ: 144√2
№4. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а бо­ко­вое ребро Точка при­над­ле­жит ребру и делит его в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

1 )Пусть — точка, в ко­то­рой плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро

2)Так как плос­ко­сти и па­рал­лель­ны, то плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет их по па­рал­лель­ным пря­мым, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок па­рал­ле­лен диа­го­на­ли
3)Ис­ко­мое се­че­ние — тра­пе­ция
4) Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние по пря­мой па­рал­лель­ной зна­чит, па­рал­лель­но

Зна­чит,

6)В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках и имеем зна­чит, тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная.

Пусть — вы­со­та тра­пе­ции про­ведённая к ос­но­ва­нию , тогда:

Ответ :

№5. Построить сечение прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P .

1 ) Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2) Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3) Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

4) Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

5) Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

6) Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P. Искомое сечение – MYZPNX.

Задачи для самостоятельного решения:

№1. Построить сечение прямоугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки:

№2. Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, проходящей через P, N, E,F, M, K соответственно лежащие на рёбрах A₁B₁, B₁C₁, C₁C, DC, AD и AA₁ призмы.

№3. Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D_1, проходящее через точки M,N,O,K соответственно принадлежащие сторонам CC₁, DD₁, AA₁, BB₁.

№4. Постройте сечение четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания.

№5. Точки M, N и P — точки на разных рёбрах четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D_1. Постройте сечение проходящее через эти точки.

№ 1. Построить сечение призмы ABCDEA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E1 плоскостью α, которая задана следом a в плоскости (ABC) основания призмы и точки M, принадлежащей ребру DD ₁ .

1) соединим точки L и M т.к. они лежат в одной плоскости EDE ₁ D ₁ .

2) продлим прямые: LF , NK , MN , FK , AB , CB

3) получим MNPFL – искомое сечение.
№ 2. Построить сечение прямой пятиугольной призмы плоскостью заданной тремя точками выбранными произвольно на ее боковых ребер.
Построение:
1)задана призма
2) заданы точки (синие) M , N , K .
3)проведём вспомогательные линии (используя метод следа)
4) определена прямая в плоскости основания, которая является пересечением сечения и плоскости основания
5)получены остальные точки (зеленые) P , Q
6) искомое сечение — MNPKQ .

Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, лежащими на боковых ребрах призмы.
Построение:

1)Выберем плоскость А’В’С нижнего основания за основную плоскость а, а направление боковых ребер — за направление проектирования на основную плоскость. При таком выборе основной плоскости и направления проектирования изображение призмы является полным, т. е. все элементы призмы (грани, ребра и вершины) заданы на чертеже, что легко проверить. Так как изображение является полным, то требуемое в задаче построение осуществимо на чертеже.

2) (L С MN, α) и (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α = KL);

(R С C D’) и (CD’ С С CD) => (R С С CD);

(R С KL) и (KL MNP)=>(R С MNP);

4) (P С MNP, С CD) и (R С MNP, C’CD)=>(MNP ∩C’CD= PR);

(X С C’C, PR) Þ (X = MNP ∩ C C);

(S С B’C) и (B’C B’BC) => (S С B’BC);

(S С KL) и (KL С MNP)=>(S С MNP);

7) (Y С XS, B’B)=>(Y С MNP, B’B).

8) MNPXY — искомое сечение.

Построить сечение ( M, d ) призмы. Точка М принадлежит верхнему основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:

1. N’ — проекция N, M’ — проекция M;
2. 2) NM ∩ N’M’ = X;
3. KX ∩ BC = T, KX ∩ DA = Y;
4. TM ∩ CC’ = H, TM ∩ B’C’ = Z;
5. ZN ∩ C’D’ = P;
6. NY ∩ AA’ = F;
7. THPNFK — искомое сечение.

№ 5. Построить ( M, d ) сечение призмы. Точка М принадлежит боковому ребру, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:
1) CB ∩ d = X, EA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z, BA ∩ d = H;

2) MZ ∩ EE’ = N, MZ ∩ DD’ = T;

6) PSTNG — искомое сечение.

Задачи для самостоятельного решения:
№1. Дано: Пятиугольная призма ABCDEA1B1C1D1E1; Точки K, M, P. Построить: Сечение плоскостью, проходящей через точки K, M, P.
№2. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно двум скрещивающимся ребрам.
№3. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно скрещивающимся диагоналям двух смежных граней.
№4. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, одна из которых лежит в плоскости верхнего основания, а две другие – на несмежных боковом ребре и ребре нижнего основания.
№5. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону AE основания и точку K взятую на боковом ребре DD1. (точку K взять так чтобы в сечении получился пятиугольник).

№ 1. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.

1) Данное сечение проходит через основание АВ и E1D1. Обозначим точку пересечения прямых АВ и DC точка F. Тогда F принадлежит плоскости сечения, а также плоскости CC1D1C.
2) Так что проведем прямую D1F, которая пересечет ребро СС1 в некоторой точке X. Далее, продолжим прямые ЕК и АВ до их пересечения в точке О. Эта точка принадлежит плоскости сечения, а также грани KK1E1E.
3)Тогда проведем прямую ОЕ1, которая пересечет ребро КК1 в некоторой точке Y. Шестиугольник

4)ABXD1E1Y — искомое сечение.

1 ) Основанием правильной шестиугольной призмы является правильный шестиугольник ABCDEF. В правильном шестиугольнике диагональ FC параллельна стороне AB. В свою очередь, у правильной призмы ребра AB и A₁B₁ также параллельны.

2) Из теоремы о двух прямых, параллельных третьей, следует параллельность прямых FC и A₁B₁, обеспечивающая рассматриваемому четырехугольнику свойства плоской фигуры-трапеции.

3) Вследствие равенства боковых граней правильной призмы оказываются равными и боковые ребра трапеции. В результате расстояние от исходной точки, принадлежащей нижнему основанию трапеции, до верхнего основания трапеции совпадает с расстоянием между ее основаниями или, короче – с высотой B₁G.

№ 4. В правильной шестиугольной призме A…F₁ все ребра равны 10. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки E, B₁ и C₁.

1) Секущая плоскость α определяется точками E, B₁ и C₁ не лежащими на одной прямой ( теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки ).

Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки F₁, A и C.

П остроение:

1) Секущая плоскость α определяется точками A, C, F₁, не лежащими на одной прямой ( теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки ).

2)Найдем прямые, по которым α пересекает плоскости граней шестигранника. A и C общие точки плоскости α и плоскости грани ABCDEF, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AC. A и F₁ общие точки плоскости α и плоскости грани AFF₁A₁, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AF₁.
2)Прямая F1D1 параллельна AC и точки A, C и F1 принадлежат плоскости α, следовательно точка D1 так же принадлежит α. F₁ и D₁ общие точки плоскости α и плоскости грани A₁B₁C₁D₁E₁F₁, следовательно эти плоскости пересекаются по прямойF₁D₁.
3)D₁ и C общие точки плоскости α и плоскости грани CDD₁C₁, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой D₁C.
4)F₁D₁CA — искомое сечение призмы.

Задачи для самостоятельного решения:

№1. Построить сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

Как вы думаете — может ли восьмиугольник быть сечением куба?

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

А вообще сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении объемного тела плоскостью и граница которой лежит на поверхности этого объемного тела.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Продлим отрезки MN и АС;

Проведем РК в плоскости нижней грани; четырехугольник — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба проходящее через вершину и середины ребер и

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем

Проведем — в плоскости задней грани и — в плоскости левой грани куба;

Пятиугольник — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба проходящее через вершину В и середины ребер и

Пусть М — середина ребра , N — середина ребра

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб

5. Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро АS в отношении , и точку N — середину апофемы грани SBC.

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что Значит

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

7. Постройте сечение куба , проходящее через точку М, лежащую на ребре и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и .

Точки М и К лежат в плоскости задней грани . Соединив М и К, получим, что

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

. Трапеция FMEN — искомое сечение.

8. И самый сложный случай. Построим сечение куба плоскостью МNK, где , причем расстояния от точек М и N до плоскости АВС различны.

Пусть точки и — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Плоскость проходит через параллельные прямые и .

Проведем в этой плоскости MN и

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.

🔍 Видео

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

Задача 2.1 Сечение треугольной призмыСкачать

Как строить сеченияСкачать

Построение сечения параллельно прямойСкачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

ЕГЭ стереометрия Сечение призмы Площадь сеченияСкачать

Наклонное сечениеСкачать

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как собрать каркасные стены 91м² на плитном фундаменте. Корректировка фундамента стойками каркаса.Скачать

ЕГЭ Задание 14 Построение сечения призмыСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Построение сечений Занятие 1Скачать

Опорная задача о подобных треугольниках при пересечении высот | Планиметрия 84 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Как строить сечение куба? Стереометрия. 10-11 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

№2. Строим сечения призм — простое свойство!Скачать

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечениеСкачать