Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Практическая работа №5 по теме «Параллельность прямых и плоскостей» для студентов 1 курса

Видео:№82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1ВСкачать

№82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1В

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1 Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1Практическая работа №5

Тема: «Параллельность прямых и плоскостей».

— формирование логического мышления, пространственного воображения через решение задач;

— развить умение составлять наглядные рисунки для задач;

— воспитывать самостоятельные навыки.

1. Ответить на контрольные вопросы:

1). Записать признак параллельности прямой и плоскости (с рисунком).

2). Записать признак скрещивающихся прямых (с рисунком).

3). Записать признак параллельности плоскостей (с рисунком).

2. Выполнить контрольное задание.

Образец выполнения заданий.

1) параллельные прямые к АВ; 2) скрещивающиеся прямые к ВС.

Решение: Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC . Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Решение: Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Т.к. секущая плоскость проходит параллельно основанию => отрезки параллельных плоскостей будут параллельны по свойству параллельности плоскостей ( 1°. Если 2-е параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения будут параллельны). Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

1. Построим через т. М, MN ǁАВ.

2. Построим через т. N , NK ǁВС.

3. Соединим МК по 2*.

4. MNK — искомое сечение.

3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости α.

MN — средняя линия трапеции, MN ⊂ α.

Доказать: ВСǁα, AD ǁα.

Доказательство: Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Т.к. MN — средняя линия трапеции, то по свойству средней линии MN ǁ AD , MN ǁВС =>

ВСǁα, AD ǁα по признаку параллельности прямой и плоскости ( Признак ( Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1— ти прямой и плоскости): Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

4. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС — скрещивающиеся прямые.

Доказательство: Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Т.к. прямая m ǁ BD => m ǁ ABCD по признаку параллельности прямой и плоскости. По определению параллельных прямых m и BD лежат в одной плоскости, а т.к. АС Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1BD в точке не лежащей на прямой m , то по признаку скрещивающихся прямых, m ∸АС ( Признак (∸ прямых): Если одна из 2-х прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся).

S ABC — тетраэдр

Точки M , N и K — середины ребер DA , DB и DC .

Доказать: MNK ǁ ABCD .

Т.к. точки M , N и K — середины ребер DA , DB и DC => MN , NK и MK — средние линии Δ DAB , Δ DBC и Δ ADC соответственно. По свойству средней линии треугольника MN ǁ AB , NK ǁ BC и MK ǁ AC . По признаку параллельности плоскостей, MNK ǁ ABCD ( Признак (ǁ — ти плоскостей) : Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся другой плоскости, то эти плоскости параллельны). Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

1. Построить параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и найти пары:

1) параллельные прямые к А D ;

2) скрещивающиеся прямые к A В.

1. Построить параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и найти пары:

1) параллельные прямые к C 1 D 1 ;

2) скрещивающиеся прямые к A 1 D 1 .

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC . Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости В D С.

2. Точка М лежит на середине ребра D С тетраэдра DABC . Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости А D В.

3. Точка М Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1плоскости параллелограмма ABCD . Доказать, что CD Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1ABM .

3. т. A Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1α и т. B Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1α, а точка С Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1α. Докажите, что прямая проходящая через середины AC и BC Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1-на плоскости α.

4. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK , не лежащие в одной плоскости. Докажите, что AD ∸ EK .

4. Дан параллелограмм ABCD м точка S ∉ ABCD . Точки M и N — середины SB и SC . Доказать, что MN ∸ CD .

5. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки K , L , M и N середины сторон AD , BC , B 1 C 1 и A 1 D 1 соответственно. Докажите плоскость KLMNǁABB 1 A 1 .

5. Дана четырехугольная пирамида S ABCD .

Точки K , L , M и N — середины ребер SA , SB , SC и SD соответственно. Доказать, что плоскость KLMN ǁ ABCD . Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Видео:№114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение паралСкачать

№114. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение парал

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

MKNTPL — искомое сечение.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1.

Видео:№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №7. Тетраэдр и параллелепипед

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. понятие тетраэдра;
  2. понятие параллелепипеда;
  3. свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда;
  4. определение сечения в фигуре;
  5. метод следа.

Глоссарий по теме

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Учебник Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Решу ЕГЭ. Открытый образовательный портал. https://ege.sdamgia.ru

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В дельнейшем несколько уроков нашего курса будет посвящены многогранникам- поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но до более подробного изучения многогранников мы познакомимся с двумя из них- тетраэдром и параллелепипедом. Нам данные тела дадут возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей.

Давайте вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Мы будем использовать второе толкование многоугольника при рассмотрении поверхностей и тел в пространстве. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру и ответим на несколько вопросов.

Итак, поверхность данной фигуры состоит из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

  1. из вершин- их у него 4- А, B, C, D;
  2. из ребер- их у него 6- AB, BC, AC, AD, BD, CD;
  3. из граней- их у него 4- треугольники ∆АВС, ∆DАС, ∆DВС, ∆DАВ.

Мы с вами выяснили из элементов состоит наша фигура тетраэдр. Теперь сформулируем определение.

Определение. Тетраэдр – это многогранник, состоящий из плоскости треугольника и точки не лежащий в этой плоскости, трех отрезков соединяющих эту точку с вершинами основания треугольника.

Говорят, что рёбра АD и ВС, АВ и CD, и т.д.- противоположные.

Считается Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1АВС — основание, остальные грани — боковые.

Изображается тетраэдр обычно так (рис. 1).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 1 – изображение тетраэдра.

Математика, в частности геометрия, является мощнейшим инструментом в познании мира. Различные геометрические формы находят свое практическое приспособление в различных областях знания: архитектуре, скульптуре, живописи. И тетраэдр тому доказательство. Так же мы можем наблюдать тетраэдр в повседневной жизни (рис. 2).

Форма пакета молока

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 2 — тетраэдр в повседневной жизни

Прежде чем начать изучать параллелепипед вспомним определение параллелограмма и его свойства.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 3).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 3 – параллелограмм

1. Противоположные стороны параллелограмма равны:

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

  1. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

треугольники ABC и CDA равны.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

  1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180⁰: ∟A+∟D=180°

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

6. Накрест лежащие углы при диагонали равны:

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

А теперь перейдем к параллелепипеду.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.

Давайте рассмотрим изображенную фигуру (рис. 4).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 4 – параллелепипед и его диагонали

АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

Все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда.

Считается: АВСD и A1B1C1D1основания, остальные грани — боковые.

Определение. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.

Параллелепипед – слово греческого происхождения, параллел – идущий рядом, епипед – плоскость.

Определение.Параллелепипед- этошестигранник с параллельными и равными противоположными гранями.

Следует отметить, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед – поверхности, составленные из плоских поверхностей (соответственно треугольников и параллелограммов).

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, в основании которого лежит ромб

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Параллелепипед,в основании которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Можно сделать вывод, что параллелепипеды делятся на (рис. 5)

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 5 – виды параллелепипедов

  1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
  2. Все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1грани ВВ1С1С и AA1D1D параллельны (рис. 6), потому что две пересекающиеся прямые ВВ1 и В1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА1 и A1D1 другой; эти грани и равны, так как В1С1 = A1D1, В1В= А1А (как противоположные стороны параллелограммов) и ∟ ВВ1С1= ∟АA1D1.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 6 – чертеж к доказательству свойства 1

Возьмём какие-нибудь две диагонали, например АС1 и ВD1, и проведём вспомогательные прямые АD1 и ВС1 (рис. 7).

Так как рёбра АВ и D1С1 соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD1С1В есть параллелограмм, в котором прямые С1А и ВD1 —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС1, с третьей диагональю, положим, с В1D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B1D и АС1 и диагонали АС1 и BD1(которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС1. Наконец, взяв эту же диагональ АС1 с четвёртой диагональю А1С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 7 – чертеж к доказательству свойства 2

Задачи на построение сечений.

Определение. Сечением поверхности геометрических тел называется — плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:

  1. Многогранник и плоскость не имеют общих точек.
  2. Многогранник и плоскость имеют одну общую точку-вершину многогранника.
  3. Многогранник и плоскость имеют общую грань.
  4. Многогранник и плоскость имеют общий отрезок-ребро многогранника.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

  • сечение параллельное плоскости основания,
  • диагональное сечение,
  • сечение, параллельное плоскости грани,
  • произвольное сечение.

Фигуры, которые получаются в результате сечения:

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Один из методов построения сечений, который мы рассмотрим- метод следа.

Рассмотрим метод следов, применяемый при построении сечений многогранников, а именно при построении сечения куба плоскостью.

Что такое метод следов? При построении сечений многогранников в качестве вспомогательной прямой часто используется след секущей плоскости (в плоскости грани, удобной для рассмотрения). Такой метод построения сечений называется методом следа.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (рис. 8).

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 8 –чертеж к задаче №1

  1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
  2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
  3. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
  4. Прямая S1S2 — след секущей плоскости на плоскость нижнего основания параллелепипеда.
  5. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
  6. PQRTU – искомое сечение.

Основные правила построения сечений методом следа:

  • Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
  • Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
  • Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВD. N – внутренняя точка отрезка DС. Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 9 – чертеж к задаче №2

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN (рис. 10). Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К. Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС (рис. 11). В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р1 и Р2. Соединяем Р1 и М и на продолжении получаем точку М1. Соединяем точку Р2 и N. В результате получаем искомое сечение Р1Р2NМ1. Задача в первом случае решена.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 10 – чертеж к примеру 1 (первый случай)

Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС (рис. 12). Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р1Р2, тогда прямая Р1Р2 параллельна данной прямой MN.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1

Рисунок 11 – чертеж к примеру 1 (второй случай)

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Плоскость SBC и плоскость, проходящая через прямую MN параллельно ребру SB, пересекаются по прямой, проходящей через точку N (рис. 13).
По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.
В плоскость SBC через т. N проходит NQ||SB.
Плоскость SAB и плоскость MNQ пересекаются по прямой, проходящей через т. M (прямая MP). По теореме (о параллельных прямых) линия пересечения параллельна SB.

Построить параллелепипед abcda1b1c1d1 и найти пары параллельные прямые к c1d1следовательно, PM||NQ.Утверждение доказано.

🌟 Видео

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

№79. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью АВС1;Скачать

№79. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью АВС1;

№84. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

№84. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей

№80. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1Скачать

№80. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

№81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственноСкачать

№81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственно

№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать

№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как строить сечения параллелепипеда

№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящейСкачать

№86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

№85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где КСкачать

№85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

№83. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей черезСкачать

№83. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через

№78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки МСкачать

№78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки М

№87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М,Скачать

№87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М,

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений
Поделиться или сохранить к себе: