Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

Вписанные и описанные многоугольники

Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.

Описанной около многоугольника окружностью называется окружность, проходящая через его вершины. Вписанной в многоугольник окружностью называется окружность, касающаяся его сторон.

Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя
Вписанный многоугольник
Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя
Описанный многоугольник

Если многоугольник взят произвольно, то в него нельзя вписать и около него нельзя описать окружность. Только многоугольники соответствующие некоторым правилам можно описать окружностью или вписать в них окружность.

Содержание
  1. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них
  2. Что можно всегда вписать в окружность
  3. Вписанная окружность
  4. Свойства вписанной окружности
  5. В треугольник
  6. В четырехугольник
  7. Примеры вписанной окружности
  8. Верные и неверные утверждения
  9. Окружность вписанная в угол
  10. Всё про окружность и круг
  11. Описанная и вписанная окружность
  12. теория по математике 📈 планиметрия
  13. Описанная окружность
  14. Вписанная окружность
  15. Вписанный и описанный треугольники
  16. Вписанный и описанный четырехугольники
  17. Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением
  18. Понятие о вписанных и описанных многоугольниках
  19. Касательная к окружности
  20. Пример №1
  21. Пример №2
  22. Пример №3
  23. Взаимное расположение двух окружностей
  24. Пример №4
  25. Пример №5
  26. Пример №6
  27. Пример №7
  28. Центральные и вписанные углы
  29. Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла
  30. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей
  31. 💥 Видео

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Что можно всегда вписать в окружность

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанная окружность

Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя
    • Четырехугольник
      Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя
    • Многоугольник
      Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    Всё про окружность и круг

    Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
    Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

    Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

    Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

    Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
    Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Периметр сектора: P = s + 2R.

    Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

    Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Описанная и вписанная окружность

    теория по математике 📈 планиметрия

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Описанная окружность

    Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

    Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Вписанная окружность

    Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

    В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Вписанный и описанный треугольники

    Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

    В любой треугольник можно вписать окружность: Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяЦентр вписанной окружности

    Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

    Вписанный и описанный четырехугольники

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

    Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

    Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

    Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением

    Содержание:

    Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

    1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
    2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
    3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

    Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

    Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

    7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

    Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

    Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

    1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е. Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Обозначим OF Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя— перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

    так, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

    Действительно, так как по теореме Пифагора

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяне имеют.

    Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяк отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляровКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Но так какКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

    Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

    Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

    Следовательно, точка X не лежит на окружности.

    3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

    Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Для любой точки X прямой выполняется условие Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяпрямая и окружность не имеют общих точек.

    Касательная к окружности

    Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

    Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

    Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

    Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

    Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

    1) Пусть прямая I касается окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяДокажем, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

    меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

    Рассмотрим следствия из данной теоремы.

    Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

    1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

    2) По свойству касательной Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

    3)Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

    Следствие 1 доказано.

    Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Таким образом, получим еще одно следствие.

    Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

    Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

    1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

    3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точки Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяотрезок ОХ является наклонной, так как по условию Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяСледовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

    Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

    Пример №1

    Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзячетырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Решение:

    1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

    2) По свойству касательной Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислимКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Таким образом, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Ответ: Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Пример №2

    Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 8, а, б).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Доказательство.

    1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТаким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Что и требовалось доказать.

    Пример №3

    Точка А лежит вне окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяПостройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

    1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзятак, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя.

    2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяПусть В и С — точки пересечения окружностей Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 9, б). Заметим, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, то Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяЗначит, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, т. е.Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Аналогично доказывается, чтоКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Отсюда по признаку

    касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.
    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

    2) Строим середину Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяотрезка ОА: Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТочки F и Е — точки пересечения окружностей Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    гдеКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 10, б).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    3) Строим окружность Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

    4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

    Доказательство. По построению Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

    Взаимное расположение двух окружностей

    Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

    1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

    3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

    4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Пример №4

    Докажите, что если две окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзякасаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Доказательство.

    1) Пусть окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзякасаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

    2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяДопустим, что точка А не лежит на отрезке Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяЗаметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяПусть точка касания А не лежит на отрезке Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 13, б). Тогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Тогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяимеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    4) Докажем, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТочка А лежит на отрезке Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзязначит, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Справедливо и обратное утверждение.

    Пример №5

    Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

    1) Пусть даны две окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи известно, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяДокажем, что окружности касаются внешним образом.

    2) На отрезкеКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзярассмотрим точку А такую, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

    3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзятаких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяпринадлежащая каждой окружности. Тогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяВ треугольнике Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзядлина стороныКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяравна сумме длин сторон Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, что невозможно.

    4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

    5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностиКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзявыполняется условие Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТаким образом, либо точка F лежит вне окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзякогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяНо в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзярасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Аналогично можно доказать, что окружность Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзярасположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Теперь доказано, что окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзякасаются внешним образом.

    Пример №6

    Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

    Другими словами, если окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзякасаются внутренним образом, то Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяИ наоборот, если выполняется равенство Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, то окружности касаются внутренним образом.

    Пример №7

    Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

    Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Решение:

    Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

    1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

    2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

    3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, тоКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — КВ =16-9 = 7 (см).

    Тогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяСледовательно,Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Ответ: ТС = 12 см.

    Центральные и вписанные углы

    В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

    Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

    Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

    Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

    Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).
    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Дуга АВ окружности Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

    Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

    Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

    Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

    Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

    Дадим определение градусной меры дуги окружности.

    Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

    Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя— соответствующий ей центральный угол, то Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(см. рис. 20, а).

    Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

    Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

    Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

    Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

    Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя= 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

    Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяпересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя(рис. 21, а).

    Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).
    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

    Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности: Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя= 240°.

    Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

    Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

    Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Пусть Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя— вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

    Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

    Теперь докажем теорему о вписанном угле.

    Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

    Пусть вписанный в окружностьКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяугол ABC опирается на дугу АС.

    Докажем, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяРассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

    Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    4) Так как Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, тоКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

    1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Таким образом, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

    1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае
    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Таким образом, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Из данной теоремы получим следующие следствия.

    Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

    Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равнаКакие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

    Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Доказательство.

    Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

    1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТаким образом, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяТак как вписанный угол АСВ опирается на дугу Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Следовательно, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

    Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

    Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

    2) Заметим, что Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзятак как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

    3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзяи Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

    Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Значит, Какие фигуры можно вписать в окружность а какие нельзя

    Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    💥 Видео

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

    Многоугольники и окружности. ЕГЭ по математике. Be Student SchoolСкачать

    Многоугольники и окружности. ЕГЭ по математике. Be Student School

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Вписанная и описанная окружности.Скачать

    Вписанная и описанная окружности.

    Лента Мёбиуса — кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]Скачать

    Лента Мёбиуса — кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

    Построение 8 угольника циркулемСкачать

    Построение 8 угольника циркулем
    Поделиться или сохранить к себе: