Построить четырехугольник симметричный данному относительно прямой и точки

О чем эта статья:

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Пример 2Скачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пример 2Скачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Геометрические методы решения задач на построение

Видео:Осевая симметрия. Как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой. Геометрия 8 классСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Симметрия относительно прямойСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Геометрические методы решения задач на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Построения более сложных задач сводят к некоторым типичным комбинациям простейших построений, которые называются основными построениями.

Основные построения Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу. Построить треугольник по трем сторонам. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. Построить биссектрису данного неразвернутого угла. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка Построить середину данного отрезка. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку

Схема решения задач на построение Анализ Построение Доказательство Исследование

1. Метод пересечения множеств Сущность метода пересечения состоит в следующем. Задачу сводят к построению одной точки, удовлетворяющей двум условиям α1 и α2 которые вытекают из условий задачи. Пусть F1 – множество точек, удовлетворяющих первому условию, F2 – множество точек, удовлетворяющее второму условию. Тогда искомая фигура находится как пересечение этих множеств точек F1 и F2. Методы решения задач на построение

ТЕОРЕМА. Три отрезка могут быть сторонами треугольника тогда и только тогда, когда один из них меньше суммы и больше разности двух других

Задача. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым a и b и проходящую через точку Р. Анализ. Если расстояние между прямыми a и b обозначим d, то радиус окружности равен d/2. Задача сводится к нахождению центра окружности, удовлетворяющего двум условиям: 1) центр равноудален от прямых a и b; 2) центр отстоит от точки Р на расстояние d/2. ● Р d a b

Построение Из произвольной точки А прямой a опускаем перпендикуляр АВ на прямую b Строим серединный перпендикуляр к отрезку АВ Строим множество точек, отстоящих от Р на расстояние d/2, то есть окружность L (P; d/2) с центром в точке Р и радиуса d/2 Строим пересечение L (P; d/2) и с Строим окружность L1 (O; OP), где О принадлежит пересечению L (P; d/2) и с a b ●А ● B ● P c ● ● О

Доказательство Окружность касается прямых, а и b, так как по построению центрокружности находится на одинаковом расстоянии d/2 от прямых, а и b. Кроме того окружность проходит через точку Р. Исследование Возможны три случая расположения точки Р относительно прямых, а и b. 1. Если точка Р лежит между прямыми, а и b, то существуют две окружности, то есть множество L (P; d/2) состоит из двух точек. 2. Если Р принадлежит одной из прямых, а и b, то задача имеет единственное решение. 3. Если точка Р лежит вне полосы, ограниченной прямыми, а и b, то задача не имеет решения. а b • P a b a b • P • P

2. Метод параллельного переноса Сущность метода параллельного переноса заключается в том, что применяя преобразования параллельного переноса, мы приводим данные и искомые элементы фигуры в удобное для построения положение, то есть задача сводится к более простой задаче. В основном метод параллельного переноса применяется при построении многоугольников.

Задача. Построить трапецию по основанию , диагоналям и углу между диагоналями Дано: ●А ●Д ●А ●С ●В ●Д ● О Д А Анализ Допустим что трапеция АВСD построена. Если СК параллельна диагонали ВD, то в треугольнике АСК известны стороны АС, СК и угол между ними. А В С К D

Построение Строим треугольник АСК по сторонам АС,СК и углу АСК На луче АК от точки А откладываем отрезок АD, равный стороне трапеции Строим отрезок DВ параллельно СК Соединяем точку В с точками А и С. Четырехугольник АВСD является искомой трапецией Доказательство По построению, отрезки ВD, АС совпадают с диагоналями трапеции, угол АОD совпадает с данным. Исследование Четырехугольник АВСD строится однозначно, если сторона АD меньше АК Задача решена ● A B● С ● ●D K О

Построить четырехугольник, зная его стороны и угол ϕ, образуемый противоположными сторонами. Дано • A •B • B • C •D • C •A • D Анализ Допустим, что построили искомый четырехугольник АВСD. Если отрезок АО параллелен и равен ВС, то в треугольнике АОD известны две стороны и угол между ними. A B C D O φ φ

Построение Строим треугольник АОD по двум сторонам АО, АD и углу DАО. На стороне ОD строим треугольник ОСD по сторонам ОС и СD. Через точку С проведем прямую параллельно АО Через точку А строим прямую параллельно ОС. Точку пересечения двух построенных прямых обозначим В. Четырехугольник является искомым ● A B● ●D O● ●С Доказательство По построению стороны четырехугольника АВСD равны искомым, угол между прямыми АD и ВС равен углу DAO Исследование Как следует из построения, задача имеет единственное решение. Задача решена

3. Метод симметрии Две точки на плоскости называются симметричными относительно прямой S, они расположены на одном перпендикуляре к прямой S и прямая S делит отрезок АВ пополам. Преобразование, при котором каждой точке данной фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой S, называется осевой симметрией . Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решенной и одной из данных точек отражают в какой-нибудь известной оси. Тогда полученную симметричную точку подчиняют тем же условиям, которым должна быть удовлетворять замененная точка. Причем за ось симметрии выбирается по возможности данная прямая или прямая, которая может быть легко построена. Полученную задачу решают методами и способами ранее известными.

Задача. На данной прямой АВ найти точку Х, соединив которую с данными точками М и N, получим углы NXB и MXA, из которых один вдвое больше другого. А B N M X L C Анализ Пусть точка Х построена так, что 18 слайд

Построение Построим точку С, симметричную М относительно АВ Построим окружность с центром в точке С радиуса СL Из точки N проводим касательную NK к окружности Точка Х пересечение прямой NK с прямой АВ является искомой. B ●N M● ●X L ●C K A Доказательство По построению угол МХL равен углу СХL, а угол КХL в два раза больше угла СХL Исследование Задача всегда имеет решение, если точки М и N не лежат на прямой АВ. Из точки N можно провести две касательные к окружности, поэтому существуют две точки на прямой АВ, удовлетворяющие условию задачи. Аналогичные построения и для точки М. Задача имеет четыре решения.

: Метод вращения вокруг точки Пусть в плоскости даны точки ориентированный угол α. Каждой точке М данной плоскости будем ставить в соответствии такую точку М1, что ОМ=ОМ1 и 20 слайд

Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на трех данных параллельных прямых a, b и c. Анализ Допустим, что АВСD является искомым квадратом. При вращении плоскости вокруг точки В на 90 градусов, точка С переходит в точку А. Следовательно, точка А должна лежать на прямой с, полученной из С при вращении на 90 градусов. А В С D a b c

Построение Построим образ С прямой с при вращении плоскости вокруг В на 90 градусов. Точку пересечения прямых а и с обозначим А. Радиусом АС с центром в точке В построим окружность γ. Точку пересечения окружности и с обозначим через С С центрами в точках А и С построим окружности γ2 и γ3 радиуса ВС. Тогда, D= γ2 ∩γ3 Доказательство По построению все стороны четырехугольника АВСD равны между собой. Кроме того, угол АВС является прямым. Тогда, очевидно, АВСD является квадратом Исследование Задача всегда имеет решение. Выбирая точку В на различных прямых а, b, c получим три различных решения. Если одна точка из прямых равноудалена от двух других, то полученные квадраты равны. А В D b c a

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 341 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Рагимов Заур КюроглиевичНаписать 1341 02.03.2020

Номер материала: ДБ-1031815

01.03.2020 17

01.03.2020 25

01.03.2020 47

28.02.2020 22

28.02.2020 17

27.02.2020 92

27.02.2020 33

27.02.2020 24

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Центральная симметрия. Как построить фигуру, симметричную данной относительно точкиСкачать

Осевая и центральная симметрии

Если прямая проходит через середину отрезка А₁А₂ и перпендикулярна к нему, то точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая — ось симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены оси симметрии):

Точки А₁ и А₂ называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка А₁А₂. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Пример (синим цветом обозначены центры симметрии):

Поделись с друзьями в социальных сетях:

🌟 Видео

Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

№416. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М.Скачать

Построение треугольника, симметричного данному относительно точки, принадлежащей его сторонеСкачать

Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

ВПР 6 класс. Фигура симметричная данной относительно точки О.Скачать

Симметрия относительно прямойСкачать

Симметрия относительно точки, линии. Математика 6 класс. Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменуСкачать

Симметрия относительно точки. 6 классСкачать

Ось симметрииСкачать

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ: ось симметрии, алгоритм построения фигуры, симметричной относительно прямойСкачать