Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных прямой линии и плоскости и двух плоскостей

Построение взаимно параллельных прямой линии и плоскости. Известно, что если прямая линия (АВ, рис. 4.14) параллельна прямой KL, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Для построения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, достаточно провести прямую, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

При этом возможно бесчисленное множество решений. Дополнительные требования могут обусловить единственное решение.

В качестве примера на рис. 4.15 показано построение проекций прямой линии, проходящей через точку с проекциями К», К’, параллельной плоскости треугольника с проекциями Д «В»С», А ‘В’С’ и параллельной плоскости π2 – дополнительное требование. В плоскости треугольника проведена фронталь с проекциями A»I», А ‘ 1 Проекции искомой прямой проведены через проекции К», К’ точки параллельно проекциям фронтали: Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая заданной плоскости, можно попробовать провести в этой плоскости прямую, параллельную заданной. Если такую прямую в плоскости построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой. Можно также попытаться найти точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то заданные прямая и плоскость взаимно параллельны.

Построение взаимно параллельных плоскостей. Для такого построения используют известное свойство: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Так, например, на рис. 4.16 построена плоскость, проходящая через точку с проекциями К», К’, параллельная плоскости, заданной проекциями А «В», А’В’ и А «С», A ‘C пересекающихся прямых. Для этого через фронтальную проекцию К” проведены фронтальные проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи через горизонтальную

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

проекцию К’ – горизонтальные проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построенная плоскость, определяемая проекциями К «D», К»F» и К’D’, К’F’, параллельна заданной плоскости.

Построение параллельных плоскостей на чертеже удобно выполнять с помощью главных линий плоскости – горизонталей и фронталей. На рис. 4.17 проекции плоскости а заданы проекциями А «В «, CD» и A’B’, CD’ параллельных прямых. Параллельная ей плоскость γ должна проходить через точку с проекциями К», К’. Проекции плоскости у построены с помощью фронтальных проекций K»F» фронтали и К»G» горизонтали и горизонтальных проекций К’G’ горизонтали и K1F’ фронтали. При этом Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Проверку параллельности двух плоскостей на чертеже удобно выполнять путем проверки параллельности фронтальных проекций фрон- талей и горизонтальных проекций горизонталей этих плоскостей.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Содержание
  1. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости, двух плоскостей и двух прямых
  2. Угол между прямой и плоскостью
  3. План-конспект урока по черчению в 9 классе. Урок 7 Тема: Построение параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, деление окружности и отрезка прямой на равные части
  4. Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами
  5. Прямые общего и частного положения
  6. Прямые, параллельные плоскостям проекций
  7. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций
  8. Определение натуральной величины прямой
  9. Следы прямой
  10. Взаимное положение прямых
  11. Образование проекций. Методы проецирования
  12. Ортогональный чертеж. Проецирование точки
  13. Октанты
  14. Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой
  15. Прямые частного положения
  16. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника
  17. Следы прямой
  18. Взаимное положение двух прямых
  19. Проецирование плоских углов
  20. 🔍 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости, двух плоскостей и двух прямых

Важное практическое значение при решении задач имеют построения прямой линии, перпендикулярной плоскости, или плоскости, перпендикулярной прямой линии, и двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости – на рис. 4.18 (АВ) 1а, (АВ) ± (DC), (АВ) 1 (EF). Из множества этих прямых при построении перпендикуляра к плоскости на чертеже выбирают фронталь и горизонталь плоскости. В этом случае на чертеже фронтальную проекцию перпендикуляра проводят под углом 90° к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали (см. § 1.3).

Пример построения проекций А «М «, А ‘М’ прямой, перпендикулярной плоскости треугольника с проекциями А «В «С», А ‘В ‘С, приведен на рис. 4.19. Фронтальная проекция А»М» прямой построена перпендикулярно фронтальной проекции А»2″ фронтали, горизонтальная проекция А ‘М’ – перпендикулярно горизонтальной проекции А’]’ горизонтали треугольника.

Пример построения на чертеже плоскости, перпендикулярной заданной прямой, приведен на рис. 4.20. Из проекций К», К’ точки

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

прямой построены проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхфронтали и проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхгоризонтали. Они и определяют положение плоскости.

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости (рис. 4.21, Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых). Построение проекций плоскости а, проходящей через прямую с проекциями Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи перпендикулярную плоскости, заданной проекциями А «В «С», А’В’С’ треугольника, показано на рис. 4.22. Для построения на чертеже плоскости через проекции Е»,Е’ точки прямой проведены проекции E»F», E’F’ перпендикуляра к плоскости треугольника. Две пересекающиеся прямые определяют положение искомой плоскости, перпендикулярной заданной. Заметим, что построение проек-

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

ций E»F» и E’F’ перпендикуляра к заданной плоскости облегчено тем, что стороны треугольника с проекциями А «В», А’ В’ – фронталь, Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых– горизонталь.

На рис. 4.23 показано построение плоскости а, перпендикулярной плоскости треугольника с проекциями Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Плоскость а, заданная следами Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпостроена перпендикулярно горизонтали с проекциями Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхтреугольника Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. В этом случае плоскость а перпендикулярна и плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, так как горизонталь с проекциями Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпараллельна ей.

Построение двух перпендикулярных прямых общего положения выполняют с помощью плоскости, перпендикулярной одной из них. Через точку пересечения прямой и перпендикулярной ей плоскости проводят в плоскости любую прямую, которая и будет перпендикулярна заданной прямой.

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (см., например, угол φ на рис. 4.24). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется: найти точку пересечения прямой с плоскостью, провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость; определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью; полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией.

Угол между прямой и построенной линией будет искомым.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Для определения величины угла φ между прямой и плоскостью на практике поступают так. Определяют угол между прямой и перпендикуляром из точки прямой к плоскости (рис. 4.24). Искомый угол определяют вычитанием из 90° угла между прямой и перпендикуляром к плоскости:

Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

План-конспект урока по черчению в 9 классе. Урок 7 Тема: Построение параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, деление окружности и отрезка прямой на равные части

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

План-конспект урока по черчению в 9 классе.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Тема: Построение параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, деление окружности и отрезка прямой на равные части.

Тип: Изучение новых знаний.

Образовательная: познакомить учащихся с построением // и взаимно перпендикулярных прямых. Дать информацию о способах деления на равные части окружности.

Развивающая: развивать графические умения и навыки, способность ребят представлять изображение, уметь мысленно разделить окружность на части.

Воспитывающая: воспитывать аккуратность при выполнении графической работы, усидчивость, терпимость.

а) для учителя: таблица Деление окружности на равные части, учебник.

б) для учащихся: тетрадь, учебник, чертёжные принадлежности.

Зарядка. Орг. момент – 5 мин. Сообщение новой темы – 22 мин. Самостоятельная работа учащихся -10 мин. Итог урока, д/з – 8 мин.

Сообщение темы и целей урока.

Сообщение нового материала.

— Давайте вспомним, что мы называем // — ю?

— Параллельные прямые, прямые, которые никогда не пересекаются.

— Взаимно параллельные прямые можно провести с помощью линейки и угольника.

Для этого один катет угольника совмещают с прямой b, а другой катет упирают в линейку. Прижимая линейку левой рукой передвигаем угольник до совмещения его катета с точкой А.

Если проведём прямую по этому катету, то она окажется искомой прямой а, проходящей через точку А и параллельной данной прямой b.

Изображение перпендикулярных прямых.

Через точку А необходимо провести прямую а, перпендикулярной прямой b. Выбрав точку А в качестве центра, проводим окружность, пересекающую прямую b в точке В и С. Радиус произвольный. Чертим дугу с центром в точке В, радиусом большим половины отрезка ВС. Эта дуга должна находиться по другую сторону прямой b, относительно точки А.

Не меняя радиуса, проведём вторую дугу с центром в точки С, которая пересекает первую дугу в точке D.

Если после этого проведём прямую через А и D, то она будет искомой прямой а.

Взаимно параллельные и прямые нельзя проводить приблизительно.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей.

Раствор циркуля возьмём равным радиусу окружности. Проведём диаметр окружности, его концевые точки обозначим через А и В. Если, совместив иглу циркуля с точкой А, не меняя раствор циркуля, провести окружность, то две окружности пересекутся в точки С и Д.

Переместив иглу циркуля в точку В, получим точки Е и F. Точки А, Е и F делят окружность на три равные части.

Самостоятельная работа учащихся.

Построить окружность диаметр 50, и разделить на 6 равных частей.

Итог урока. Как построить // и перпендикулярные прямые? Как разделить окружность на 3и 6 равных частей?

Д/З: построить окружность диаметром 30, 60, разделить на 3,6 равных частей.

Для инклюзива: читать и пересказывать теорию.

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Проецирование прямой линии:

Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рисунок 2.1). Проекции отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Прямые общего и частного положения

Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рисунок 2.1а).

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения (рисунок 2.16, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Прямые, параллельные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой. Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Кроме того, по этой проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной плоскости проекций.

Среди упомянутых прямых особое место занимают горизонталь h и фронталь f (рисунок 2.2), которые обладают замечательными свойствами и поэтому часто применяются при решении различных задач.

Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная

проекция горизонтали Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Видео:Как построить две взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуляСкачать

Как построить две взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуля

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция «вырождается» в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их натуральной величиной. На рисунке 2.3 представлены эпюры горизонтально- (а), фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в). Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Определение натуральной величины прямой

Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом — разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 2.46). Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов. Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции — разность ординат.

При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° и Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхОни определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 2.5 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, — один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

Пространственные чертежи и эпюры параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку — точку пересечения. Признаком пересекающихся прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на одной линии связи.

Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8). Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых). Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Сущность метода заключается в следующем:

  1. Отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
  2. Обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
  3. Провести через конкурирующее место линию связи;
  4. Вдоль линии связи сравнить недостающие координаты конкурирующих точек или конкурирующих прямых;
  5. На рассматриваемой проекции будет видна та точка или прямая, которая имеет наибольшую недостающую координату.

Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

На рисунке 2.10 представлена пространственная схема определения видимости проекций прямой MN и плоскости ABCD, пересекающихся друг с другом в точке К. На горизонтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая ВС, так как её аппликата больше, чем у прямой MN. На фронтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая MN, так как ордината у неё больше, чем у прямой АВ. Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Пример: Определить длину растяжек для крепления антенны к крыше здания (рисунок 2.11).

Решение: Длина растяжек АВ и ВС определена методом прямоугольного треугольника на фронтальной проекции. Длину растяжки KD определять не следует, так как прямая KD является фронталью и её фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпредставляет НВ.

Пример: Построить следы прямой АВ и определить октанты, через которые проходит прямая (рисунок 2.12).

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Решение: Задача решена в пространстве и на эпюре. Так как проекции прямой пересекают оси ОХ и 0Y, то в точках пересечения и будут находится проекции горизонтального, фронтального и профильного следов прямой. Далее по знакам координат точек М, К, N, L определяем, что прямая проходит через октанты ll, I, IV и VIII.

Пример: Определить взаимное положение прямых АВ и CD (рисунок 2.13).

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Решение: Анализ проекций двух заданных прямых приводит к выводу, что они являются профильными прямыми, так как обе их проекции параллельны осям 0Y и 0Z. Анализ взаимной параллельности одноименных проекций позволяет сделать предварительный вывод о том, что прямые АВ и CD параллельны друг другу. Однако такой вывод неправомерен, так как для профильных прямых следует проверить параллельность на профильной проекции. Построив профильные проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, видно, что прямые скрещиваются.

Пример: Разделить отрезок прямой АВ в отношении 2:3 (рисунок 2.14а). Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Решение: Так как отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок прямой на эпюре — значит разделить в том же отношении любую его проекцию.

Задача решается исключительно графическим методом. Представленное решение задачи основано на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через засечки любые параллельные прямые, то другая сторона разделится на равные или пропорциональные отрезки. На рисунке 2.14а дано решение задачи в пространственной форме, а на рисунке 2.146 представлен эпюр решения задачи. На горизонтальной проекции вспомогательная прямая m проводится под произвольно углом, и на ней откладывается пять произвольных отрезков равной длины.

На рисунке 2.14в представлены ещё два способа деления отрезка прямой в заданном отношении.

Изготовление любой детали, строительство сооружений, разработка месторождений полезных ископаемых начинается с составления чертежей, планов и схем. Никакие словесные описания не могут заменить чертеж, который позволяет не только определить форму и размеры всех частей предмета, но и получить наглядное представление о нем.

Начертательная геометрия — один из разделов геометрии, в котором свойства пространственных фигур изучают по их изображениям на той или иной поверхности. Чаще всего за такую поверхность принимают плоскость.

Как и любая научная дисциплина, начертательная геометрия имеет терминологию, которую следует хорошо усвоить, чтобы понимать излагаемый материал.

В геометрии вообще и в начертательной геометрии в частности каждое последующее изложение основывается на предыдущем материале. Такая особенность изучаемого предмета требует систематической, последовательной работы над ним.

Потребность в отображении действительности появилась у человека давно. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием человечества совершенствовалась и техника передачи различных символов (письменность, схемы, чертежи). В Древнем Китае, например, была разработана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению соответствовал особый знак (иероглиф). В Древнем Египте при возведении сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.

Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земельных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны первые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования. В «Оптике» Евклида содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях «видения» предметов.

Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрождения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерландов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. К этому времени относится введение целого ряда основных понятий метода проецирования.

С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленности к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требования, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний по «теории изображений». Работа знаменитого французского геометра и инженера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818) «Geometrie Descriptive» (1798 г.) представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной научной дисциплины.

Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я.И. Севастьянов (1796-1849) в 1821 г. составил курс «Основания начертательной геометрии», ставший классическим учебным пособием по этому предмету.

Среди ученых, внесших наиболее значительный вклад в развитие начертательной геометрии, следует отметить академика Е.С. Федорова (1853-1919), преподававшего в Горном институте. На примере решения задач минералогии и кристаллографии он показал применимость методов начертательной геометрии к исследованиям закономерностей материального мира.

В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехнической дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной геометрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают возможность решать самые сложные проблемы в различных областях: горно-геологических науках, химии, физике и др.

Видео:Построение перпендикулярных прямыхСкачать

Построение перпендикулярных прямых

Образование проекций. Методы проецирования

В начертательной геометрии чертеж — основной инструмент решения различных пространственных задач. К выполняемому чертежу предъявляется ряд особых требований, четыре из которых являются наиболее существенными. Чертеж должен быть: 1) наглядным; 2) обратимым; 3) достаточно простым; 4) точным.

Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством понимается возможность точного воспроизведения формы и размеров предмета по его изображению. Действительно, для всех видов технических и горно-геологических чертежей это требование является особенно важным, так как по чертежу в машиностроении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется проходка горных выработок, в геологии — оценка запасов полезного ископаемого и т.д.

Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся к рис.1.

Выбираем центр проецирования — произвольную точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпространства — и поверхность проецирования, не проходящую через точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, например плоскость проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Чтобы спроецировать некоторую точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпространства на плоскость Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, необходимо через центр проецирования Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпровести проецирующую прямую Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхдо ее пересечения в точке Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс плоскостью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

При этом точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхназывается проекцией точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования (например, на рис.1 проекцией треугольника Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхявляется треугольник Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых). Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования называется центральным.

Если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки пространства (рис.2), то все проецирующие прямые окажутся взаимно параллельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направление Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, по которому оно осуществляется, — направлением проецирования.

Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным. Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отличаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недостатки. Во-первых, сложно построить изображение предмета. Во-вторых, построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причинам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.

Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.

Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.

Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предметов по их изображению. К таким задачам относится определение натуральной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними; в горно-геологической практике — это задачи на определение глубины и угла наклона буровых скважин, угла падения пласта полезного ископаемого, углов между осями горных выработок и т.п.

Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.

Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых приведены в табл.1.

Таблица 1

Основные системы изображения, используемые при проецировании

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде всего, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных в табл.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектировании имеет эпюр (ортогональный чертеж). На его основе выполняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т.д. Поэтому в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно этому методу построения.

Однако и другие методы проецирования находят применение в горно-геологических работах, поэтому в заключительных разделах будут рассмотрены основные правила изображения предметов при помощи векторных проекций, перспективы, аксонометрической проекции и, более подробно, — проекций с числовыми отметками.

Ортогональный чертеж. Проецирование точки

Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную совокупность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— горизонтальную плоскость проекций;
  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— фронтальную плоскость проекций;
  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— профильную плоскость проекций.

Для наглядного изображения плоскостей проекций взята кабинетная проекцияПостроение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхКабинетная проекция относится к числу косоугольных, более подробно она будет рассмотрена в разделе «Аксонометрические проекции».

Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— точка пересечения всех трех осей проекций — называется началом координат.

Представим себе также в пространстве некоторую точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Чтобы получить проекцию точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи найти точку пересечения Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхэтой прямой с плоскостью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхназывается горизонтальной проекцией точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Путем ортогонального проецирования точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна фронтальную и профильную плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых).

Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхдо горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

  • по оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхабсцисса, равная длине отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • по оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхордината, равная длине отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • по оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхаппликата, равная длине отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис.3, дают нам пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости чертежа плоскости проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхусловно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Фронтальная плоскость проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпринимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхсовмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а профильная плоскость проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— вращением вокруг оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Направление вращения на рис.3 показано стрелками.

При совмещении плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс плоскостью чертежа положительное направление оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхсовмещается с отрицательным направлением оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. На чертеже изображение оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпринято обозначать Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. При совмещении плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс плоскостью чертежа положительное направление оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхсовмещается с отрицательным направлением оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. На чертеже изображение оси у принято обозначать Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

В результате образуется ортогональный чертеж, или эпюр (от франц. epure — чертеж, проект). На эпюре изображают только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже ее обозначают штриховой линией):

  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхгоризонтальная и фронтальная проекции (точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых) расположены на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхфронтальная и профильная проекции (точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхгоризонтальная и профильная проекции (точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Вследствие того, что отрезки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхявляются изображением одной и той же координаты Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхсвязывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределяется двумя координатами: горизонтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— координатами Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых; фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхПостроение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, профильная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхПостроение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Положение точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхможет быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхрассмотрен нами на рис.3. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхв выбранных единицах длины. Например, запись Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхозначает, что Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

Пример 1. Построить проекции точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

1. Выбираем единичный отрезок (рис.4).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки:

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

3. Отмечаем точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

4. Из построенных точек Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.

Пример 2. Построить третью проекцию точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпо двум заданным (рис.5).

1. Даны фронтальная и профильная проекции точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых: фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределяется координатами Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых,

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

профильная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределяется координатами Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и определяем координатные отрезки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхравные соответствующим координатам точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.6). Горизонтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределяется координатами

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

При определении точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпо Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхперенос осуществляется с оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна соответствующее по знаку направление оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним относится, например, точка А на рис.3);

2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, на осях проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхили в начале координат.

У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

Если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций, равна нулю. Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.

Точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхрис.7 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхэтой точки совпадает с самой точкой, фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а профильная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Координата точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпо оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхравна нулю, и, следовательно, точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит в начале координат.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхрис.8 лежит на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. С самой точкой совпадают ее горизонтальная Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи профильная Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпроекции, причем на ортогональном чертеже горизонтальная проекция лежит на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а профильная — на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит в начале координат.

Октанты

Плоскости проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхявляются неограниченными поверхностями и при взаимном пересечении делят пространство на восемь трехгранных углов, или октантов (от лат. octans — восьмая часть).

Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис.9. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл.2.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Таблица 2

Знаки прямоугольных координат в различных октантах

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой

Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Пусть нам даны на эпюре точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве (рис.10). Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекциями отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию и притом только одну.

Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в натуральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни одна из ее проекций не параллельна осям. Прямая Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна рис.10 — это прямая общего положения.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных проекциях этой линии.

Если на прямой Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхмы выберем какую-либо точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях прямой (рис.11).

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя бы одной проекции точки, поскольку недостающие проекции легко найти в пересечении линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.

Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется прямой частного положения.

Рассмотрим пример, когда прямая параллельна одной плоскости проекций. В этом случае прямая проецируется на эту плоскость в натуральную величину, а две другие проекции -параллельны осям проекций.

Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.12). Горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его натуральной величине. Фронтальная проекция горизонтальной прямой всегда параллельна оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Угол Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхмежду горизонтальной проекцией горизонтальной прямой и осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхявляется углом между этой прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Фронтальная проекция отрезка (рис.13) фронтальной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция фронтальной прямой всегда параллельна оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Угол Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхмежду фронтальной проекцией фронтальной прямой и осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхявляется углом между фронтальной прямой и горизонтальной плоскостью проекций.

Профильная прямая — прямая, параллельная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Профильная проекция отрезка (рис.14) профильной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция профильной прямой всегда параллельна оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а фронтальная — оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Угол Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхмежду профильной проекцией профильной прямой и осью является углом между прямой и горизонтальной плоскостью проекций; угол Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхмежду профильной проекцией прямой и осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— углом между прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна третьей плоскости проекций, то на эти две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину, а третья проекция представляет собой точку. Такие прямые называют проецирующими.

Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(прямая Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна рис.15). Фронтальная и профильная проекции отрезка горизонтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее горизонтальная проекция представляет собой точку.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Фронтально-проецирующая прямая -прямая, перпендикулярная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(прямая Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхна рис.15). Горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее фронтальная проекция представляет собой точку.

Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.16). Горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-проецирующей прямой равны его натуральной величине, профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет собой точку.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника.

Предположим, что точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежат в I октанте (рис.17). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Построим горизонтальную и фронтальную проекции этой прямой. Из точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпроведем линию, параллельную Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

  • • гипотенуза треугольника Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределяет натуральную величину отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • • один катет Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпредставляет собой горизонтальную проекцию отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • • второй катет Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхравен разности координат точек Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпо оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых: Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

На ортогональном чертеже оказывается достаточно данных для построения треугольника, равного рассмотренному (рис.17). Для этого к горизонтальной проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых«пристроен» второй катет — разность координат Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Гипотенуза Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпостроенного треугольника — натуральная величина отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка (рис.18): при этом второй катет окажется равным разности координат Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым катетом будет разность координат Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

На рис.18 истинная величина отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхопределена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных треугольников имеют равную длину и все они определяют истинную величину отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

В общем случае, натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка прямой, а вторым — разность «третьих» координат (табл.3).

Под термином «третья координата» подразумевается координата, которая отсутствует в проекции, выбранной в качестве катета прямоугольного треугольника. Так, горизонтальная проекция отрезка строится по координатам Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, следовательно, «третьей» координатой в этом случае будет координата Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Аналогично у фронтальной проекции отрезка «третьей» координатой будем считать координату Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а у профильной — координату Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Таблица 3

Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка примой Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхметодом прямоугольного треугольника

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхточки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхположительная, а точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхотрицательная, то разность координат

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Угол наклона прямой к плоскости проекций — это угол между прямой и ее проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее наклона к плоскости проекций. Угол между гипотенузой и соответствующей проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости проекций.

Пример 3. Определить истинную величину отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи угол наклона прямой к плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.19).

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

1. По табл.3 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхнадо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а вторым — разность координат по оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

2. Определяем координаты по оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхточек Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи их разность:

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. В качестве второго катета откладываем расстояние, равное Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а угол при вершине Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(угол Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых) — угол наклона прямой к плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

Выберем две точки, точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, лежащую в плоскости проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— в плоскости проекций Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.20). Через эти точки проведем прямую.

Точка пересечения Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпрямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой; точка пересечения Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпрямой линии с фронтальной плоскостью проекций — фронтальным следом прямой; точка пересечения Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпрямой линии с профильной плоскостью проекций — профильным следом прямой.

Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Поскольку точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит в плоскости Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, ее фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхрасполагается на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а профильная Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Горизонтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхточки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхтакже располагается на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а профильная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых. Горизонтальная проекция профильного следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, а фронтальная проекция Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых— на оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис.20).

Горизонтальный след Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

  • фронтальная проекция горизонтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(с этой точки обычно начинают построения);
  • горизонтальная проекция горизонтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из проекции Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхперпендикулярно оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • профильная проекция горизонтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении профильной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Фронтальный след Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

  • горизонтальная проекция фронтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит в точке пересечения горизонтальной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • фронтальная проекция фронтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхперпендикулярно оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • профильная проекция фронтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении профильного следа прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Профильный след Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых:

  • горизонтальная проекция профильного следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • фронтальная проекция профильного следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых;
  • профильная проекция профильного следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхнаходится в точке пересечения профильной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхперпендикулярно оси Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхможет проводиться по двум уже построенным проекциям (горизонтальной и фронтальной), как было показано в разделе 1.2.

Пример 4. Построить проекции следов прямой Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(рис.21).

1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, продолжив Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхдо пересечения с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

2. Из точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхЗдесь расположена точка Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

3. По двум проекциям Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхстроим третью — Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, которая может быть также построена как точка пересечения профильной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхв пересечении Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

5. Из точки Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи получаем точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

6. По двум проекциям фронтального следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхстроим третью его проекцию — Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых, которая лежит в пересечении профильной проекции прямой с осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

7. В пересечении Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхстроим точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых(горизонтальную проекцию профильного следа).

8. В пересечении Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхс осью Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхполучаем фронтальную проекцию профильного следа — точку Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

9. По двум проекциям Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхи Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхстроим профильную проекцию профильного следа Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхПостроение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Взаимное положение двух прямых

Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис.22, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис.22, б).

Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи (рис.22, в).

Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых (точки / и 2 на фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций — см. рис.22, в)Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых.

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямыхПри помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых и плоскостей относительно друг друга.

Проецирование плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если плоскость угла параллельна плоскости проекций. Это справедливо в отношении любого угла — острого или тупого. Исключение составляет только прямой угол, который проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций (рис.23).

Построение взаимно параллельных и взаимно перпендикулярных прямых

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Проецирование плоскости
  • Плоскость на эпюре Монжа
  • Позиционные задачи
  • Методы преобразования эпюра Монжа
  • Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
  • Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность геометрических объектов
  • Метод замены плоскостей проекций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Построение параллельных прямыхСкачать

Построение параллельных прямых

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осяхСкачать

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осях

Урок 342. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры ЛиссажуСкачать

Урок 342. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

6 класс, 43 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

6 класс, 43 урок, Перпендикулярные прямые

Построение перпендикулярных прямых.7 классСкачать

Построение перпендикулярных прямых.7 класс

Построение параллельных и перпендикулярных прямыхСкачать

Построение параллельных и перпендикулярных прямых
Поделиться или сохранить к себе: