Как обозначить медиану треугольника

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Как обозначить медиану треугольника

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Как обозначить медиану треугольника

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Как обозначить медиану треугольника

Как обозначить медиану треугольника

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Как обозначить медиану треугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Как обозначить медиану треугольника

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Как обозначить медиану треугольника

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Как обозначить медиану треугольника

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Как обозначить медиану треугольника

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Как обозначить медиану треугольника

Как обозначить медиану треугольника

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Как обозначить медиану треугольника

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Как обозначить медиану треугольника

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Как обозначить медиану треугольникаплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Треугольник. Медиана треугольника.

Медиана треугольника – отрезок, который объединяет любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для обозначения медиана общепринята буква т, к ней добавляется название той стороны, к середине которой она прочерчена: ma, mb, mc.

Как обозначить медиану треугольника

В любом треугольнике имеется возможность указать три медианы. Если чертить их точно, то в каждом треугольнике медианы перекрещиваются в одном единственной месте.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Характерные особенности медианы.

Медиана разделяет треугольник на два треугольника с равной площадью.

Медианы треугольника перекрещиваются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2:1, начиная от вершины. Эту точку обозначают как центр тяжести треугольника.

Весь треугольник можно разделить его медианами на шесть одинаковых треугольников.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Как обозначить медиану треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Как обозначить медиану треугольника

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Как обозначить медиану треугольника

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Как обозначить медиану треугольника

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Как обозначить медиану треугольника

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Как обозначить медиану треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Как обозначить медиану треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

📸 Видео

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Формула медианы треугольникаСкачать

Формула медианы треугольника

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.Скачать

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.

длина медианы #SHORTSСкачать

длина медианы #SHORTS

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Вычисление длины медианы треугольникаСкачать

Вычисление длины медианы треугольника

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.
Поделиться или сохранить к себе: