По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов 3a 1 2b (5 видео)

Домашнее задание 3

Содержание

Домашнее задание 3
4. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = (3,-5,8) и b = (-1,1,-4).
Ответ: )
По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов 3a 1 2b
Векторное произведение векторов онлайн
Предупреждение
Векторное произведение векторов
Геометрические свойства векторного произведения векторов
Векторное произведение векторов в декартовых координатах
Векторное произведение векторов на примерах
🔥 Видео

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Домашнее задание 3

3. В некотором базисе векторы заданы координатами: а = (1,1,2), е1 = (2,2,-1), е2 = (0,4,8), е3 = (-1,-1,3). Убедиться, что векторы е1, е2, е3 образуют базис, и найти в нем координаты вектора а .

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

4. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = (3,-5,8) и b = (-1,1,-4).

Видео:№779. Дан вектор р = 3а , где а ≠ 0. Напишите, как направлен каждый из векторов а , -а , ½а, -2аСкачать

Ответ: )

5. Векторы = (2,6,-4) и = (4,2,-2) определяют стороны треугольника АВС. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С. (Ответ: )

6.При каком значении α векторы a = 2i —3j+2k и b = i +2j-2k взаимно перпендикулярны?

9.Вычислить площадь треугольника ABC с вершинами A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(4, 3, 2).

10.Вычислить работу силы F = i + 2j + k при перемещении материальной точкой из положения А (-1, 2, 0) в положение В (2, 1, 3).

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов 3a 1 2b

Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

Задачи к главе I

1.1. По данным векторам а и b постройте следующие векторы:

1.2. На рис. 66 окружность разделена на три, четыре или шесть конгруэнтных дуг. Найдите в каждом случае сумму изображенных на рисунках векторов.

1.3. Для векторов а, b, с, изображенных на рис. 67, найдите сумму а + b + с.

1.4. На материальную точку действуют две силы F₁ и F₂. Найдите величину их равнодействующей, если | F₁ |=8H, | F₂ | = 6Н и (F₁; ^ F₂) = 90°.

1.5. Начертите любой пятиугольник ABCDE и найдите сумму векторов AB > , BC > , CD > , DE > , EA > .

1.6. К центру правильного шестиугольника приложены три силы, направленные в три последовательные вершины. Найдите величину равнодействующей, если величина каждой из данных сил равна 1Н.

1.7. Найдите равнодействующую трех сил, приложенных в точке М, если известно, что эти силы изображаются векторами MA > , MB > , MC > где точки А, В, С являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность с центром О (рис. 68).

1.8. Докажите, что из медиан любого треугольника можно построить треугольник.

1.9. Дан тетраэдр ABCS. Найдите сумму векторов:
а) AB > + BC > + CS > ;
б) AC > + CS > + SA > + AB > .

1.10. Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS (S — вершина, О — основание высоты). Докажите, что сумма векторов OS > , DS > , BC > , SB > , AO > равна сумме векторов AS > , AD > , AB > , DA > .

1.15. На прямой взяты три точки А, В, С так, что CA > = 3 CB > Выразите вектор AB > через вектор CB > .

1.16. В прямоугольнике ABCD проведены диагонали: DB > = a ; AC > = b. Представьте векторы BC > , CB > , BD > , AD > + CD > в виде линейной комбинации векторов а и b.

1.17. В параллелограмме ABCD: AB > = a, AD > = b, О — точка пересечения диагоналей. Разложите векторы BO > , OB > , AC > и CO > по векторам а и b.

1.18. В равнобедренной трапеции ABCD величина угла BAD равна 60°,
|АВ | = | ВС | = | CD | = 2. Точки М и N — середины сторон ВС и DC. Разложите векторы AB > , CD > , BC > , AM > , AN > и MN > по векторам

1.19. На окружности с центром О даны точки А и В. Касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке С. Разложите вектор OC > по векторам OA > и OB > , если: а) = 60°; б) =90°.

1.21. Дан треугольник ABC. Взяв за базис векторы е₁ = AB > , е₂ = AC > , найдите координаты векторов AM > , BN > , CP > в этом базисе. Точки М, N, Р — середины сторон ВС, АС, АВ треугольника.

1.22. Дан правильный шестиугольник ABCDEF.
Взяв за базис вектеры е₁ = AF > , е₂ = AC > , найдите координаты следующих векторов: а) AB > ; б) BC > ; в) CD > ; г) DE > ; д) EF > ; е) AD > ; ж) AE > ; з) FC > ; и) DB > ; к) BE > .

1.23. На плоскости дан правильный шестиугольник. Разложите по ортам i и j все векторы, изображенные на рис. 69, если | OE > | = 4.

1.24. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 70) точки М, N, Р, Q, R, S, T — середины ребер.

1.25 В прямоугольной декартовой системе координат даны точки
А (3; — 1; 2) и В (—1; 2; 2). Найдите координаты векторов AB > и BA > , их длины и координаты единичного вектора, направленного так же, как и вектор BA > .

1.26. Дан вектор а = 2i — 3j + 4k. Найдите вектор b, если | а | = | b |, абсцисса вектора b равна ординате вектора а, а ордината вектора b равна нулю.

1.27. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
а = i + j и b = k — 2j.

1.28. Найдите проекцию вектора а на направление вектора b и проекцию вектора b на направление вектора а, если | а | = 2, | b | = 1, (a; ^ b) = 120°.

1.29. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если | а | = 4, | b |= 6 и (a; ^ b) равен: а) 45°; б) 0°; в) 135°; г) 90°; д) 180°.

1.34. Дан вектор a = (3; —4). Найдите координаты единичных векторов, перпендикулярных вектору а.

1.35. Дан вектор с = (4; —7). Найдите координаты какого-либо вектора, перпендикулярного вектору с. Сколько решений имеет задача?

1.36. Дан вектор а = (1; 2; —3). Известно, что абсцисса перпендикулярного ему вектора b равна 3, а ордината равна 6; требуется найти аппликату вектора b.

1.37. Дан вектор a = (3; —4). Известно, что абсцисса перпендикулярного ему вектора b равна 8; определите ординату вектора b.

1.38. Дан вектор a = (5; 3). Известно, что ордината перпендикулярного ему вектора b равна 10; определите абсциссу вектора b.

1.39. Найдите значение α, при котором следующие векторы взаимно перпендикулярны:

1.40. Найдите значения α и β, при которых векторы а = (3; —1; α) и
b = (2; β; 1) взаимно перпендикулярны, если | b | = 3.

1.42. Даны два вектора: а = (3; — 1; 5) и b = (1; 2; — 3). Найдите вектор х, перпендикулярный оси Оz и удовлетворяющий условиям x • a = 9, x • b = —4.

1.43. Найдите вектор b, коллинеарный вектору а и удовлетворяющий данному условию:

1.44. Найдите вектор b, длина которого равна 50, коллинеарный вектору а и образующий острый угол с заданной осью:

1.45. Даны три вектора: а = (2; —1; 3), b = (1; —3; 2), с = (3; 2; —4). Найдите вектор х, удовлетворяющий условиям x • a = —5, x • b = —11, x • c = 20.

1.46. Найдите косинус угла между вектором а = (3; —4) и осью Ох.

1.47. Найдите косинусы углов между вектором а = (3; —4; 12) и осями координат.

1.48. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2i + j и b = — j + 2k.

1.49. Определите угол между вектором а = AB > + CD > и осью абсцисс, если
А (—2; 3), В (0; 8), С (5; 3) и D (10; 5).

1.51. В треугольнике с вершинами A (5; 0; 0), В (1; 1; 1) и С (3; — 1; 2) найдите величины углов.

1.62. Даны три последовательные вершины параллелограмма:
А (—3; —2; 0), В (3; —3; 1) и С (5; 0; 2). Найдите четвертую вершину D и угол между векторами AC > и BD > .

1.83. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; —2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Вычислите угол между медианой [BD] и стороной [АС].

1.54. Дан четырехугольник с вершинами в точках А (2; —3; 1), В (1; 4; 0), С (—4; 1; 1) и D (— 5; —5; 3). Найдите угол между диагоналями [АС] и [BD] .

1.55. Дан треугольник с вершинами в точках А (—1; 4; 1), В (3; 4; —2) и С (5; 2; —1). Вычислите косинус угла при вершине В.

1.57. Выясните, правой или левой является тройка векторов а, b, с, если:

1.58. Найдите вектор [а; b] и изобразите его, если:

1.59. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а = (3; 4) и b = (4; — 3).

1.61. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А (0; 2; 6), В (4; 0; 0) и С (8; —2; 0).

1.62. Даны вершины параллелограмма: А (1; —2), В (—2; 2), С (4; 10) и D (7; 6). Вычислите его площадь и высоты.

1.63. Сила F = 2i — 3j + 4k приложена к точке M (1; 5; —2). Найдите величину момента силы F относительно начала координат.

1.68. Покажите, что объем параллелепипеда, построеннного на диагоналях граней данного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.

1.69. Найдите смешанное произведение (а; b; с) векторов а = (0; 3; —1), b =(5; 0; 0),
с = (7; —2; 4).

1.70. Установите, компланарны ли векторы а = (8; 5; —13), b = (— 4; 2; 8),
с = (4; 7; —4); если векторы некомпланарны, то какую они образуют тройку правую или левую.

1.72. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах
а = (1; 2; 3), b = (— 1; 3; 4), с = (2; 5; 2).

1.73. Центр тяжести однородного стержня находится в точке М (2; —4), один из его концов в точке A (—1; 1). Найдите координаты другого конца стержня.

1.74. Дан треугольник с вершинами в точках A (2; —5), В (1; —2) ; и С (4; 7). Найдите точку пересечения биссектрисы / B со сторoной AС.

1.75. Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде SABC вершину А соединить с точкой М пересечения медиан противолежащей грани, то (AM)_|_.(BC).

1.76. В треугольнике ABC точки A₁, В₁ и C₁ — середины сторон ВС, АС, АВ, Докажите, что у треугольников ABC и A₁B₁C₁ точки пересечения медиан совпадают.

1.77. Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной нрямой.

1.78. Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что середины диагоналей четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.

1.79. Вычислите работу, совершаемую равнодействующей двух сил F₁ (5; — 1; 3) и F₂ (—3; —2; 4) при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (10; 8; —2) в положение С (9; 4; 1).

1.80. Сила F = 3i + k приложена к точке A (2; 1; 4). Найдите момент и величину момента этой силы относительно точки O (2; —1; 3).

1.81. К материальной точке приложены две силы F₁ и F₂, причем | F₁| + | F₂| = 4 Н и (F₁; ^ F₂) = 120°. Найдите наименьшее значение величины равнодействующей этих сил.

1.82. Определите, лежат ли в одной плоскости следующие четыре точки:

1.83. Вершины пирамиды находятся в точках A(2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3) и D (0; —7; 0). Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины D.

1.84. На плоскости даны четырехугольник ABCD и точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

1.85. Докажите, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

1.86. Докажите, что для взаимной перпендикулярности диагоналей четырехугольника необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов длин его прoтивоположных сторон были равны.

1.87. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч в северном направлении и ему кажется, что ветер (который дует со скоростью 9 км/ч откуда-то с северо-востока) направлен под углом 15° к линии его движения. Найдите истинное направление ветра.

1.88. На стороне АВ треугольника ABC дана точка Р, через которую проведены прямые параллельно его медианам АМ₁ и ВМ₂ и пересекающие соответствующие стороны треугольника в точках A₁ и B₁. Докажите, что середина отрезка A₁B₁ точка Р и точка пересечения медиан данного треугольника лежат на одной прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

По данным векторам a и b построить каждый из следующих векторов 3a 1 2b

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ; (1)
вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

[ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
[(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
[(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
[aa]=0 для любого вектора a.

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.

(2)

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x₁, y₁, z₁>, b=<x₂, y₂, z₂>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y₁z₂—y₂z₁, z₁x₂−z₂x₁, x₁y₂−x₂y₁>.

(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

(4)

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:№767. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а=АВ и b=АС следующие векторы:Скачать

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: , конечная точка вектора a: , вектор b имеет вид .