Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле

Формулировка задачи: Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sinα, где d1, d2 — длины его диагоналей, а α угол между ними. Вычислите sinα, если даны S, d1, d2.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 4 (Преобразование выражений).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sinα, где d1, d2 — длины его диагоналей, а α угол между ними. Вычислите sinα, если S = 21, d1 = 7, d2 = 15.

Выразим sinα из формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить произведение на известный множитель:

sinα = S / (1/2 ⋅ d1 ⋅ d2) = 2S / (d1 ⋅ d2)

Подставим известные данные в формулу и получим результат:

sinα = 2S / (d1 ⋅ d2) = 2 ⋅ 21 / (7 ⋅ 15) = 42 / 105 = 0,4

В общем виде решение данной задачи выглядит следующим образом:

sinα = 2S / (d1 ⋅ d2)

Осталось лишь подставить конкретные значения и получить ответ.

Поделитесь статьей с одноклассниками «Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле – как решать».

Есть другой способ решения?

Предложите другой способ решения задачи «Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

Видео:🔴 Площадь четырёхугольника можно вычислить ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Площадь четырёхугольника можно вычислить ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

r – радиус окружности.

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см 2 .

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьФормулы для площадей четырехугольников
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьВывод формул для площадей четырехугольников
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

a и b – основания,
h – высота

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить,
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = ab
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
ПараллелограммПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
КвадратПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = a 2
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = 4r 2
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
РомбПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
ТрапецияПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = m h
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
ДельтоидПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = ab sin φ
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Вписанный четырёхугольникПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – смежные стороны

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить,
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Параллелограмм
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Квадрат
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = a 2

где
a – сторона квадрата

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьS = 4r 2

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Ромб
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Трапеция
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Дельтоид
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислитьПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Вписанный четырёхугольник
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
Прямоугольник
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – смежные стороны

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a – сторона квадрата

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – основания,
h – высота

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

ДельтоидПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле #огэ #математика #огэматематикаСкачать

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по формуле #огэ #математика #огэматематика

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить
(рис.6).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🌟 Видео

Задача о площади четырехугольникаСкачать

Задача о площади четырехугольника

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

ОГЭ 2022. Задание 12.Скачать

ОГЭ 2022. Задание 12.

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольника

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равнаСкачать

Геометрия Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника диагонали которого перпендикулярны равна

Произвольный четырёхугольник | МатематикаСкачать

Произвольный четырёхугольник | Математика

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

ОГЭ 2022 по математике. Задания 17,18. Площадь четырехугольников, кругаСкачать

ОГЭ 2022 по математике. Задания 17,18. Площадь четырехугольников, круга

Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольникаСкачать

Суперголоволомка. Найди площадь центрального четырехугольника

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Докажите что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналейСкачать

Геометрия Докажите что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей
Поделиться или сохранить к себе: