Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление площади фигуры в полярных координатах

В этом разделе мы продолжим разбирать тему вычисления площадей плоских фигур. Рекомендуем тем, кто изучает темы не по порядку, сначала обратиться к статье «Геометрический смысл определенного интеграла» и разобрать способы вычисления площади криволинейной трапеции. Нам понадобится вычислять площади фигур, которые ограничены ограничены линиями y = f ( x ) , x = g ( y ) в прямоугольной системе координат. А также раздел «Свойства площади фигур», где была разобрана квадрируемость плоских фигур.

Содержание
  1. Краткий обзор статьи
  2. Полярная система координат и криволинейный сектор
  3. Площадь криволинейного сектора — вывод формулы
  4. Примеры вычисления площади криволинейного сектора
  5. Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли
  6. Площадь фигуры, границей которой является кардиоида
  7. Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля
  8. Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль
  9. Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов
  10. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
  11. Контакты
  12. Кратные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения
  13. Изменение порядка интегрирования
  14. Двойной интеграл в декартовых координатах
  15. Двойной интеграл в полярных координатах
  16. Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах
  17. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
  18. Вычисление площадей в декартовых координатах
  19. Вычисление площадей в полярных координатах
  20. Вычисление массы плоской пластины
  21. Тройной интеграл в декартовых координатах
  22. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
  23. Тройной интеграл в сферических координатах
  24. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
  25. Вычисление массы тела
  26. Определение кратного интеграла
  27. Решение кратных интегралов
  28. Задача, приводящая к понятию двойноrо интеграла. Определение двойного интеграла
  29. Основные свойства двойного интеграла
  30. Линейное свойство
  31. Интегрирование неравенств
  32. Площадь плоской области
  33. Оценка интеграла
  34. Аддитивность
  35. Теорема о среднем значении
  36. Геометрический смысл теоремы о среднем значении
  37. Сведение двойного интеграла к повторному
  38. Случай прямоугольника
  39. Случай произвольной области
  40. Замена переменных в двойном интеграле
  41. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл
  42. Формула замены переменных в двойном интеграле
  43. Двойной интеграл в полярных координатах
  44. Площадь поверхности
  45. Интеграл по площади поверхности. Вычисление площади поверхности
  46. Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)
  47. Тройной интеграл
  48. Задача, приводящая к тройному интегралу
  49. Свойства тройных интегралов
  50. Теорема о среднем значении
  51. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
  52. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
  53. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
  54. Тройной интеграл в сферических координатах
  55. Приложения двойных и тройных интегралов
  56. Масса плоской фигуры
  57. Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести
  58. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат
  59. Вычисление массы тела
  60. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей. Центр тяжести
  61. Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области
  62. 📸 Видео

Видео:Как найти площадь фигуры ограниченной квадратом, окружностью и линиейСкачать

Как найти площадь фигуры ограниченной квадратом, окружностью и линией

Краткий обзор статьи

  • Начнем с определения понятия криволинейного сектора, получим формулу для вычисления его площади. Для этого мы используем понятие определенного интеграла Дарбу.
  • Подробно разберем решения задач с использованием таких кривых как кардиоида, архимедова спираль и лемниската Бернулли.
  • В отдельную подтему мы выделили нахождение площади фигуры, которая представлена как разность двух криволинейных секторов.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатах

Полярная система координат и криволинейный сектор

Точка, расположенная в полярной системе координат, имеет полярный угол φ 0 и полярный радиус r 0 ≥ 0 . Полярный угол φ 0 отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке, а r 0 — это расстояние от заданной точки до начала координат.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

На рисунке мы отметили начало координат (полюс) жирной черной точкой, полярная ось имеет вид луча черного цвета, а красная точка определяется углом φ 0 = 3 π 4 и расстоянием до полюса r 0 = 4 .

Мы можем рассматривать полярную систему координат одновременно с прямоугольной декартовой. Для этого необходимо совместить начала координат обеих систем, а ось абсцисс и полярной осью.

Задать связь полярных и декартовых координат можно соотношениями r = x 2 + y 2 φ = a r c t g y x , x ≠ 0 и обратно x = r · cos φ y = r · sin φ .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Координаты красной точки на чертеже 2 3 ; 2 . Положение этой точки задается углом φ 0 = a r c t g 2 2 3 = π 6 и расстоянием r 0 = 2 3 2 + 2 2 = 4 .

В полярной системе координат равенство φ = α задает луч, который выходит из точки начала координат и составляет угол α с полярной осью. При этом, угол α может быть задан как в радианах, так и в градусах. Полярную ось мы можем задать уравнением вида φ = 0 . Равенство r = C > 0 задает окружность с центром в начале координат, где — это радиус.

Функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β определяет некоторую линию в полярных координатах.

Следует учитывать тот факт, что с позиции геометрии функция r = p ( φ ) , φ ∈ α ; β во всех случаях будет неотрицательной. Связано это с тем, что она задает расстояние от начала координат до точки для заданного значения угла φ = φ 0 ∈ α ; β . Однако мы будем встречать и отрицательные значения r = p ( φ ) функции, что зависит от отношения к данному вопросу конкретных исследователей и преподавателей.

На рисунке мы изобразили несколько примеров линий в полярной системе координат.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Дадим определение криволинейному сектору.

Криволинейный сектор представляет собой фигуру, которая ограничена лучами φ = α , φ = β и некоторой линией r = p ( φ ) ≥ 0 , непрерывной на участке α ; β .

На рисунке мы привели несколько примеров криволинейных секторов.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

На последнем рисунке мы рассмотрели случай, когда фигура располагается между лучами φ = — π 6 , φ = π 6 , которые не являются ее границами.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Площадь криволинейного сектора — вывод формулы

Для вычисления площади криволинейного сектора мы можем вывести формулу. Для этого мы можем использовать формулу площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом γ из школьного курса геометрии: S к р у г о в о г о с е к т о р а = γ · R 2 2 . Задаем внутренний угол γ в радианах.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами

φ = φ 1 , φ = φ 2 , . . . , φ = φ n — 1 , что α = φ 0 φ 1 φ 2 . . . φ n — 1 β и λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n φ i — φ i — 1 → 0 при n → + ∞ .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Учитывая свойства площади фигуры, мы можем представить площадь исходного криволинейного сектора S ( G ) как сумму площадей секторов S ( G i ) на каждом из участков разбиения:

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i )

Обозначим наибольшее и наименьшее значения функции r = p ( φ ) на i -ом отрезке φ i — 1 ; φ i , i = 1 , 2 , . . . , n как R m i n i и R m a x i . На каждом из отрезков построим по два круговых сектора P i и Q i с максимальным и минимальным радиусами R m i n i и R m a x i соответственно.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Фигуры, которые являются объединением круговых секторов Q i , i = 1 , 2 , . . . , n ; P i , i = 1 , 2 , . . . , n , обозначим как P и Q соответственно.

Их площади будут равны S ( P ) = ∑ i = 1 n S ( P i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 и S ( Q ) = ∑ i = 1 n S ( Q i ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) 2 · φ i — φ i — 1 , причем S ( P ) ≤ S ( G ) ≤ S ( Q ) .

Так как функция r = p φ непрерывна на отрезке α ; β , то функция 1 2 p 2 φ будет непрерывна на этом отрезке. Если рассматривать S ( P ) и S ( Q ) для этой функции как нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, то мы можем прийти к равенству:

lim λ → 0 S ( P ) = lim λ → 0 S ( Q ) = S ( G ) ⇒ S ( G ) = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m i n i ) 2 · φ i — φ i — 1 = = lim λ → 0 ∑ i = 1 n 1 2 ( R m a x i ) · φ i — φ i — 1 = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Формула для определения площади криволинейного сектора имеет вид:

S ( G ) = 1 2 ∫ β α p 2 φ d φ

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 1.

Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Рассмотрим алгоритмы вычисления площади криволинейного сектора с полярной системе координат на конкретных примерах.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярных координатах, которая ограничена линией r = 2 sin 2 φ и лучами φ = π 6 , φ = π 3 .

Решение

Для начала, изобразим описанную в условии задачи фигуру в полярной системе координат. Функция r = 2 sin ( 2 φ ) положительна и непрерывна на отрезке φ ∈ π 6 , π 3 .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Полученная фигура является криволинейным сектором, что позволяет нам применить формулу для нахождения площади этого сектора.

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 2 sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 ( sin ( 2 φ ) 2 d φ = ∫ π 6 π 3 2 · 1 — cos 4 φ 2 d φ = ∫ π 6 π 3 ( 1 — cos ( 4 φ ) ) d φ = φ — 1 4 sin ( 4 φ ) π 6 π 3 = = π 3 — 1 4 sin 4 π 3 — π 6 — 1 4 sin 4 π 6 = π 6 + 3 4

Ответ: S ( G ) = π 6 + 3 4

Задача упрощается в тех случаях, когда лучи φ = φ 1 , φ = φ 2 , ограничивающие фигуру, заданы. Тогда нам не нужно задумываться о пределах интегрирования при проведении вычисления площади.

Чаще встречаются задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая r = p ( φ ) . В этих случаях применить формулу S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 ( φ ) d φ сразу не получится. Для начала придется решить неравенство p ( φ ) ≥ 0 для нахождения пределов интегрирования. Так мы можем поступить в тех случаях, когда функция r = p φ неотрицательная. В противном случае нам придется ориентироваться только на область определения и период функции.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривой в полярных координатах r = — 3 · cos 3 φ .

Решение

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Решим неравенство — 3 · cos 3 φ ≥ 0 :

— 3 · cos 3 φ ≥ 0 ⇔ cos 3 φ ≤ 0 ⇔ cos φ ≤ 0 ⇔ ⇔ π 2 + 2 πk ≤ φ ≤ 3 π 2 + 2 πk , k ∈ Z

Построим функцию в полярных координатах на отрезке φ ∈ π 2 ; 3 π 2 (при k = 0 ). Для других значений k в силу периодичности косинуса мы будем получать ту же самую кривую.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Применим формулу для вычисления площади фигуры в полярных координатах. В качестве нижнего и верхнего предела можно брать π 2 + 2 πk и 3 π 2 + 2 πk соответственно для любого целого значения k .

S ( G ) = 1 2 ∫ π 2 3 π 2 ( — 3 · cos 3 φ ) d φ = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ

Для того, чтобы получить ответ, нам необходимо вычислить полученный определенный интеграл. Для этого мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница. Первообразную для формулы Ньютона-Лейбница мы можем с помощью рекуррентной формулы вида K n ( x ) = sin x · cos n — 1 ( x ) n + n — 1 n K n — 2 ( x ) , где K n ( x ) = ∫ cos n ( x ) d x .

∫ cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 ∫ cos 4 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 6 sin φ · cos 3 φ 4 + 3 4 cos 2 φ d φ = = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 24 sin φ · cos φ 2 + 1 2 ∫ cos 0 φ d φ = = ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = sin φ · cos 5 φ 6 + 5 sin φ · cos 3 φ 24 + 15 sin φ · cos φ 48 + 15 φ 48 π 2 3 π 2 = = 15 48 · 3 π 2 — 15 48 · π 2 = 5 π 16

Таким образом, искомая площадь фигуры, ограниченной линией в полярной системе координат, равна S ( G ) = 9 2 ∫ π 2 3 π 2 cos 6 φ d φ = 9 2 · 5 π 16 = 45 π 32 .

Ответ: S ( G ) = 45 π 32

В тех случаях, когда в полярной системе координат задается множество кривых, которые по форме напоминают листья клевера или цветка, площадь фигур, ограниченных этими кривыми, часто одинаковы. В этих случаях можно вычислить площадь одного «лепестка» и умножить ее на количество криволинейных фигур.

Необходимо вычислить площадь плоской фигуры в полярной системе координат, которая ограничена линией r = 3 · cos ( 3 φ ) .

Решение

Найдем область определения, исходя из того, что эта функция неотрицательна для любого φ из области определения.

cos ( 3 φ ) ≥ 0 ⇔ — π 2 + 2 πk ≤ 3 φ ≤ π 2 + 2 πk , k ∈ Z — π 6 + 2 π 3 k ≤ φ ≤ π 6 + 2 π 3 k , k ∈ Z

Таким образом, период функции r = 3 · cos 3 φ равен 2 π 3 . Это значит, что фигура состоит из трех областей одинаковой площади.

Построим фигуру на графике.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычислим площадь одного участка, расположенного на интервале φ ∈ π 2 ; 5 π 6 (при k = 1 ):

1 2 ∫ π 2 5 π 6 9 cos ( 3 φ ) d φ = 1 2 · 3 sin ( 3 φ ) π 2 5 π 6 = 3 2 sin 3 · 5 π 6 — sin 3 · π 2 = 3 2 ( 1 — ( — 1 ) = 3

Ответ: Площадь всей фигуры будет равна площади найденного участка, умноженной на 3.

Аналогичным образом можно найти площади фигур, имеющих сходное строение. Примером может служить лемниската Бернулли.

Видео:Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.Скачать

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Пример 5.

Площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли задается уравнением r = α · cos 2 φ где a – положительное число, влияющее на размер линии (но не на конфигурацию, схожую с символом бесконечности). Лемниската Бернулли строится при — π 4 + π · k ≤ φ ≤ π 4 + π · k , k ∈ Z .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Лемниската служит границей фигуры, которую можно представить как два равных по площади участка.

Для вычисления площади используем нужную формулу:

S ( G ) = 2 · 1 2 ∫ — π 4 π 4 a 2 cos ( 2 φ ) 2 φ = a 2 2 ( sin ( 2 φ ) ) — π 4 π 4 = = a 2 2 sin 2 · π 4 — sin 2 · — π 4 = a 2

Получается, что площадь фигуры, которую ограничивает лемниската Бернулли, равна квадрату коэффициента a .

Видео:Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиямиСкачать

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Площадь фигуры, границей которой является кардиоида

В полярной системе координат кардиоида задается уравнением вида r = 2 a ( 1 + cos φ ) . В этом уравнении a – некоторое положительное число. Задающая кардиоиду функция является периодической с периодом 2 π . Она определена для всех действительных значений угла. Это значит, что для вычисления площади нижним пределом интегрирования мы будем считать любое число, а верхним, то, которое на 2 π больше нижнего.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычислим площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 2 a ( 1 + cos φ ) , для φ ∈ 0 ; 2 π :

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 2 a ( 1 + cos φ ) ) 2 d φ = 2 a 2 ∫ 0 2 π ( 1 + 2 cos φ + cos 2 φ ) d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 1 + 2 cos φ + 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 2 a 2 ∫ 0 2 π 3 2 + 2 cos φ + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 2 a 2 3 2 φ + 2 sin φ + 1 4 sin 2 φ 0 2 π = 6 π · a 2

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь фигуры, которую ограничивает улитка Паскаля

В полярной системе координат улитка Паскаля может быть задана уравнением r = b + 2 a · cos φ . В этом уравнении a – это некоторое положительное число, b – любое действительное число. Кардиоиду можно рассматривать как частный случай улитки Паскаля. Получить кардиоиду можно при b = 2 a .

Улитка Паскаля в зависимости от значений параметров a и b может принимать различный вид. В данном разделе мы рассмотрим случаи, когда функцию r неотрицательная.

При b — 2 a функция r = b + 2 a · cos φ будет отрицательной для любого значения угла φ .

При b = — 2 a улитка Паскаля имеет вид точки, которая совпадает с полюсом.

При — 2 a b 0 функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При 0 b 2 a функция r = b + 2 a · cos φ неотрицательна для φ ∈ — a r c cos — b 2 a + 2 πk ; arccos — b 2 a + 2 πk , k ∈ Z . Она ограничивает фигуру, которая по конфигурации напоминает кардиоиду.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При b > 2 a функция r = b + 2 a · cos φ является неотрицательной для любого значения угла. Графическая иллюстрация этого случая приведена ниже

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Для того, чтобы правильно определить пределы интегрирования, необходимо учитывать соотношение параметров a и b .

Необходимы вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями, заданными уравнениями r = — 3 + 6 cos φ и r = 5 + 4 cos φ в полярной системе координат.

Решение

Формула r = — 3 + 6 cos φ соответствует фигуре, известной как улитка Паскаля..

Функция r = — 3 + 6 cos φ определена для всех значений угла φ . Нам необходимо выяснить, при каких φ функция будет неотрицательной:

— 3 + 6 cos φ ≥ 0 ⇔ cos φ ≥ 1 2 ⇔ — π 3 + 2 π k ≤ φ ≤ π 3 + 2 πk , k ∈ Z

Проведем вычисление площади фигуры, которая ограничена данной улиткой Паскаля:

S ( G ) = 1 2 ∫ — π 3 π 3 ( — 3 + 6 cos φ ) 2 d φ = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 1 — 4 cos φ + 4 cos 2 φ ) d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 1 — 4 cos φ + 4 · 1 + cos 2 φ 2 d φ = = 9 2 ∫ — π 3 π 3 ( 3 — 4 cos φ + 2 cos ( 2 φ ) ) d φ = 9 2 · 3 φ — 4 sin φ + sin ( 2 φ — π 3 π 3 = = 9 2 · 3 · π 3 — 4 sin π 3 + sin 2 π 3 — 3 · — π 3 — 4 sin — π 3 + sin — 2 π 3 = = 9 2 · 2 π — 3 3

Улитка Паскаля, определяемая формулой r = 5 + 4 cos φ , соответствует пятому пункту. Функция r = 5 + 4 cos φ определена и положительна для всех действительных значений φ . Поэтому, площадь фигуры в этом случае равна:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( 5 + 4 cos φ ) 2 d φ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 25 + 40 cos φ + 16 cos 2 φ ) d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π 25 + 40 cos φ + 16 · 1 + cos ( 2 φ ) 2 d φ = = 1 2 ∫ 0 2 π ( 33 + 40 cos φ + 8 cos ( 2 φ ) ) d φ = 1 2 · 33 φ + 40 sin φ + 4 sin ( 2 φ 0 2 π = = 1 2 · 33 · 2 π + 40 sin ( 2 π + 4 sin ( 4 π ) — 33 · 0 + 40 sin 0 + 4 sin 0 = 33 π

Ответ: S ( G ) = 33 π

Видео:Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2Скачать

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2

Площадь фигур, границей которых является спираль Архимеда или логарифмическая спираль

Сразу обратимся к примеру.

Необходимо вычислить площадь фигур в полярной системе координат, первая из которых ограничена первым витком спирали Архимеда r = α φ , α > 0 , а вторая первым витком логарифмической спирали r = α φ , α > 1 .

Решение

Если в задаче сказано, что фигура ограничена первым витком спирали Архимеда, то угол φ изменяется от нуля до двух пи.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Исходя из этого, найдем площадь фигуры по формуле:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α φ ) 2 d ϕ = α 2 2 ∫ 0 2 π φ 2 d φ = α 2 2 · φ 3 3 0 2 π = 4 α 3 π 3 3

Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 2 π ( α ϕ ) 2 d ϕ = 1 2 ∫ 0 2 π a 2 φ d φ = 1 4 ln a · a 2 φ 0 2 π = = 1 4 ln a · a 4 π — 1

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Нахождение площади фигуры, которую можно представить как разность двух криволинейных секторов

Пусть фигура в полярной системе координат ограничена лучами φ = α , φ = β и непрерывными и неотрицательными на интервале φ ∈ α ; β функциями r = p 1 ( φ ) и r = p 2 ( φ ) , причем p 1 ( φ ) ≤ p 2 ( φ ) для любого угла φ = φ 0 ∈ α ; β .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Находим площадь фигуры по формуле S ( G ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ .

Действительно, в силу свойства аддитивности площади, фигуру G можно представить как разность двух криволинейных секторов G 2 и G 1 .

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тогда площадь фигуры G равна разности площадей этих криволинейных секторов:

S ( G ) = S ( G 2 ) — S ( G 1 ) = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) d φ — 1 2 ∫ α β p 1 2 ( φ ) d φ = = 1 2 ∫ α β p 2 2 ( φ ) — p 1 2 ( φ ) d φ

Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями φ = 0 , φ = π 3 , r = 3 2 , r = 1 2 φ в полярной системе координат.

Решение

Построим заданную фигуру на графике.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Очевидно, что r = 3 2 больше r = 1 2 φ для любого φ ∈ 0 ; π 3 . Применяем полученную формулу для вычисления площади фигуры:

S ( G ) = 1 2 ∫ 0 π 3 3 2 2 — 1 2 φ 2 d φ = 1 2 ∫ 0 π 3 9 4 — 2 — 2 φ d φ = = 1 2 · 9 4 φ + 1 2 · 2 — 2 φ ln 2 0 π 3 = 1 2 · 9 4 φ + 1 ln 2 · 1 2 2 φ + 1 0 π 3 = = 1 2 · 9 4 · π 3 + 1 ln 2 · 1 2 2 · π 3 + 1 — 9 4 · 0 + 1 ln 2 · 1 2 2 · 0 + 1 = = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

Ответ: S ( G ) = 1 2 · 3 π 4 + 2 — 2 π 3 — 1 2 · ln 2

А теперь рассмотрим пример, когда фигура ограничена линиями, заданными в прямоугольной системе координат. Площадь такой фигуры намного проще вычислять, используя полярные координаты.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена прямыми линиями y = 1 3 x , x = 3 x , окружностями ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 , ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 .

Решение

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В прямоугольной системе координат вычислить площадь полученной фигуры можно, но дело это долгое и хлопотное. Намного проще перейти к полярной системе координат, воспользовавшись формулами перехода.

x = r · cos φ y = r · sin φ ⇒ y = 1 3 x ⇔ r · sin φ = r · cos φ 3 ⇔ t g φ = 1 3 ⇔ φ = π 6 + πk y = 3 x ⇔ r · sinφ = 3 · r · cosφ ⇔ tgφ = 3 ⇔ φ = π 3 + πk ( x — 2 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 13 ⇔ x 2 + y 2 = 4 x + 6 y ⇔ r = 4 cosφ + 6 sinφ ( x — 4 ) 2 + ( y — 3 ) 2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 8 x + 6 y ⇔ r = 8 cosφ + 6 sinφ

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Функция r = 8 cos φ + 6 sin φ больше r = 4 cos φ + 6 sin φ для любого φ ∈ π 6 ; π 3 . Вычисляем площадь фигуры в полярных координатах:

S ( G ) = 1 2 ∫ π 6 π 3 8 cos φ + 6 sin φ 2 — 4 cos φ + 6 sin φ 2 d φ = = 1 2 ∫ π 6 π 3 ( 48 cos 2 φ + 48 cos φ · sin φ ) d φ = = 24 ∫ π 6 π 3 cos 2 φ d φ + 24 ∫ π 6 π 3 cos φ · sin φ d φ = = 12 ∫ π 6 π 3 ( 1 + cos 2 φ ) d φ + 24 ∫ π 6 π 3 sin φ d ( sin φ ) = = 12 · φ + 1 2 sin ( 2 φ ) π 6 π 3 + 12 · sin 2 φ π 6 π 3 = = 12 · π 3 + 1 2 sin 2 π 3 — π 6 + 1 2 sin 2 π 6 + 12 · sin 2 π 3 — sin 2 π 6 = = 12 · π 6 + 12 · 3 2 2 — 1 2 2 = 2 π + 6

Видео:Площадь фигуры ограниченной линиями у = 1 – х. у = 3 -2х – х^2Скачать

Площадь фигуры ограниченной линиями у = 1 – х. у = 3 -2х – х^2

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.

Кратные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Кратные интегралы» вы научитесь записывать области (на плоскости и в пространстве) с помощью неравенств в декартовых, полярных, цилиндрических и сферических координатах, расставлять пределы интегрирования и сводить кратные
интегралы к повторным. Вы научитесь также решать задачи геометрии и механики с использованием двойных и тройных интегралов (в декартовых, полярных, обобщенных полярных, цилиндрических и сферических координатах).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Видео:Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятеркиСкачать

Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятерки

Изменение порядка интегрирования

Постановка задачи. Изменить порядок интегрирования

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Область интегрирования состоит из двух областей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
Зададим их неравенствами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Решаем системы неравенств, определяющих области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
относительно у и получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Определяем границы изменения х, решая неравенства

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Получаем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиможно представить в виде

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегрирования:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

6.Если Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
то I можно представить одним интегралом

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Изменить порядок интегрирования

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Область интегрирования состоит из двух областей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
Зададим их неравенствами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Решаем системы неравенств, определяющих области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
относительно у и получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Определяем границы изменения х, решая неравенства

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Учитывая, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямив обоих случаях получаем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиможно представить в виде

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

5.Записываем интегралы I с измененным порядком интегрирования:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

6.Пользуясь линейностью и аддитивностью интегралов, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Двойной интеграл в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D ограничена линиями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями (и, возможно, прямыми х = а и х = b или у = с и у = d).

1.Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, каким
из неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

удовлетворяют координаты точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТогда

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Замечание:

Если необходимо, разбиваем область на части и используем свойство аддитивности интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D ограничена линиями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Зададим область D неравенствами. Очевидно, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПоэтому Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПоскольку ж фигурирует под знаком квадратного корня, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиДля х возможны неравенства Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВо втором случае область неограничена, что неприемлемо.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по у (считая х постоянной), затем по х:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Двойной интеграл в полярных координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D ограничена двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и двумя прямыми

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат.

Для этого заметим, что окружности Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипроходят через начало координат и их центры
расположены на оси ОХ (при Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями) или на оси OY (при
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями) по одну сторону от начала координат (так как Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями). Поэтому та из окружностей, которая имеет меньший радиус, расположена внутри другой. Пусть, например, это окружность Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиОбласть D находится между окружностями, поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Прямые Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипроходят через начало
координат. Область D расположена между ними. Учитывая, в какой полуплоскости находятся окружности и, следовательно, область
D, определяем, каким из следующих пар неравенств удовлетворяют
координаты точек области D:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии y на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиЗатем разрешаем полученные неравенства относительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТаким образом получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D ограничена линиями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Зададим область D неравенствами в декартовой системе координат. Для этого заметим, что, выделяя полные квадраты в уравнениях окружностей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиих можно
привести к виду

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Очевидно, что обе окружности проходят через начало координат
и их центры расположены на оси OY в точках (0,2) и (0,4). Окружность (1) имеет радиус 2 и, следовательно, лежит внутри окружности (2), имеющей радиус 4. Поскольку область D находится между окружностями, координаты ее точек удовлетворяют неравенствам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Прямые Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии х = 0 проходят через начало координат. Область D расположена между ними. Учитывая, что окружности, а следовательно, и область D находятся в верхней полуплоскости, заключаем, что область D находится над прямой Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии справа от прямой х = 0. Поэтому координаты точек области D удовлетворяют неравенствам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии y на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решая эти неравенства относительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиполучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах

Постановка задачи. Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D задана неравенствами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Область D задана неравенствами в декартовой системе координат, т.е.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в
обобщенных полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиЗатем разрешаем полученные неравенства относительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТаким образом, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область D задана неравенствами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Область D задана неравенствами в декартовой системе координат:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в
обобщенных полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решая эти неравенства относительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиполучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Переходя от двойного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

Постановка задачи. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Объем цилиндрического бруса, ограниченного заданными поверхностями, определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z.

Допустим, например, что координаты точек тела удовлетворяют
неравенствам Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТогда тело определяется системой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Исключая z, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем двойной интеграл по формуле (1) при Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.По формуле (1) с Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиискомый объем равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z. В данном случае тело определяется системой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Здесь неравенство Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеобходимо, так как у стоит под знаком
квадратного корня.

3.Вычисляем двойной интеграл:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. V = 1 ед. объема.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.По формуле (1) с Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиискомый объем равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2.Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исключаем из них z. В данном случае тело определяется неравенствами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Из первого неравенства очевидно, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии, следовательно, второе неравенство выполняется автоматически (геометрически это означает, что проекция поверхности Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямина плоскость XOY охватывает круг Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПоэтому

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый объем определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Чтобы найти область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямизаменяем в неравенстве, определяющем область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заметим, что из неравенств Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиследует Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

5.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиед. объема.

Вычисление площадей в декартовых координатах

Постановка задачи. Найти площадь области D, ограниченной
линиями
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(и, возможно, прямыми х = а и
х = b или у = с и у = d).

План решения.
Из определения двойного интеграла следует, что искомая площадь
S численно равна

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, какие
из неравенств Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
выполняются для координат точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Тогда

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Замечание:

Если необходимо, разбиваем область на части и используем свойство аддитивности интеграла.

Пример:

Найти площадь области D, ограниченной линиями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Зададим область D неравенствами. Область не может находиться вне круга, так как тогда она неограничена. Область не может
находиться слева от параболы, так как в этом случае ее точки могут
иметь отрицательные абсциссы, что исключено условием Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
Следовательно,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решаем неравенства, определяющие D, относительно х и у. Получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Следовательно, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиОтсюда Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиИтак,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем площадь области D по формуле (1). Переходя от
двойного интеграла к повторному, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(ед. длиныПлощадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление площадей в полярных координатах

Постановка задачи. Найти площадь области D, ограниченной
двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и двумя прямыми

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

План решения. Из определения двойного интеграла следует, что
искомая площадь S численно равна

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и записывая уравнения границ в полярных координатах.

При этом область D перейдет в область D’, а искомая площадь
будет равна

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать, переходя к полярным координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом область D перейдет в область D’, ограниченную линиями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

А искомая площадь будет равна

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последовательно интегрируя, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(ед. длиныПлощадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление массы плоской пластины

Постановка задачи. Найти массу плоской пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограниченной заданными кривыми.

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ,
не забывая о размерности.

Пример:

Найти массу пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченной кривыми

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1. Масса пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых координатах:

а) зададим область D системой неравенств:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Неравенство Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиследует из того, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямит.е. х неотрицательно;

б) перейдем от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

в) последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. m = 2 ед. массы.

Пример:Найти массу пластины D с поверхностной плотностью
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченной кривыми

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом область D перейдет в область D’, ограниченную линиями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

а искомая масса определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Зададим неравенствами область D’ в полярных координатах:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

б) перейдем от двойного интеграла к повторному

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

последовательно интегрируя, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиед. массы.

Пример:

Найти массу пластины D с поверхностной плотностью
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченной кривыми

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Масса пластины D с поверхностной плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем полученный двойной интеграл:

а) зададим область D неравенствами в декартовой системе координат

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими
через начало координат, поставленную задачу проще решать в обобщенных полярных координатах

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомая масса определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Чтобы найти область D’, заменяем в неравенствах, определяющих
область D, х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решая эти неравенства относительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиполучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

б) переходим от двойного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

в) последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. m = 4 ед. массы.

Тройной интеграл в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограничена некоторыми поверхностями.

1.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисистемой неравенств, например,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по z (считая хну постоянными), затем по у
(считая х постоянной), затем по х.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена плоскостями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Очевидно, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиДля у возможны неравенства Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиЕсли Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямито Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии для х имеем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиЕсли же Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямито Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии область не примыкает к плоскости х = 2. Значит, мы должны принять, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии определить Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисистемой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Используя свойства определенного интеграла, последовательно
интегрируем сначала по z (считая хну постоянными), затем по у
(считая х постоянной), затем по х:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограничена поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти
к цилиндрическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТогда Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
определяется неравенствами Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиотносительно Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиЕсли оно имеет два решения Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямито исследуем какая из функций Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямибольше другой на промежутке Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПредположим для определенности, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипри Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТогда область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется системой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если уравнение Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиимеет единственное положительное решение Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямито неравенства для Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиимеют вид Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Переходим от тройного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти
к цилиндрическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Для этого сначала заменим
в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиТогда Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется неравенствами Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Это уравнение имеет единственное положительное решение Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
Следовательно, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. При Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Таким образом, область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется системой неравенств:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Переходим от тройного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тройной интеграл в сферических координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограничена поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена сферой и круглым конусом, удобно
перейти к сферическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Возможные границы изменения сферических координат суть

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Заменяем в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиу на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии z на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПолучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис помощью системы неравенств:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где границы изменения Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминаходим, решая уравнение Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
учитывая, что Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиможет изменяться только от 0 до Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Замечание. Если Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена также плоскостями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипроходящими через ось OZ, уравнения которых в сферических координатах имеют вид Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминаходим границы изменения Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямирешая эти уравнения.

4.Переходим от тройного интеграла к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного
интеграла.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— область, ограниченная верхней полусферой и
верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый интеграл определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Заменяем в уравнениях поверхностей x на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиу на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии z на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПолучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис помощью системы неравенств:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4.Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ.Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

Постановка задачи. Найти объем тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограниченного заданными поверхностями.

План решения. Искомый объем равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

1.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами.

2.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти объем тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
для х имеем неравенства Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПоскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиДля z возможны неравенства
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВ первом случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВо втором случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямит.е. область неограничена, что неприемлемо.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл к
повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. V = 1 ед. объема.

Пример:

Найти объем тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— тело вращения вокруг оси OZ, удобно использовать цилиндрические координаты

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый объем определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Возможны два случая: либо Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямилибо Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВ первом случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиво втором случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямит.е. область неограничена, что неприемлемо.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем объем по формуле (2), сводя тройной интеграл к
повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиед. объема.

Пример:

Найти объем тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, ограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— область, ограниченная верхней полусферой и
верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомый объем определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заменяем в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиу на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии z на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПосле преобразований получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена этими поверхностями.

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисистемой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем объем по формуле (3), сводя тройной интеграл к
повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиед. объема.

Вычисление массы тела

Постановка задачи. Найти массу тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями с плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями ограниченного заданными поверхностями.

1.Масса тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами.

3.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

Пример:

Найти массу тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Масса тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминеравенствами. Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями
для х имеем неравенства Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПоскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиДля z возможны неравенства
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВ первом случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиВо втором случае Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямит.е. область неограничена, что неприемлемо.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. m = 1 ед. массы.

Пример:

Найти массу тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Масса тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— тело вращения вокруг оси OZ, удобно перейти к
цилиндрическим координатам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомая масса определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заменяем в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии у на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПолучим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисистемой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиед. массы.

Пример:

Найти массу тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Решение:

1.Масса тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямис плотностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиопределяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Поскольку Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа искомая масса определяется формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заменяем в уравнениях поверхностей х на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиу на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии z на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиПолучаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена этими поверхностями.

2.Зададим область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисистемой неравенств

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3.Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Здесь мы воспользовались формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ответ. Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Видео:Площадь фигуры ограниченной линиями у = х^3Скачать

Площадь фигуры ограниченной линиями у = х^3

Определение кратного интеграла

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Глава 26

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Решение кратных интегралов

Задача, приводящая к понятию двойноrо интеграла. Определение двойного интеграла

К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, некоторой поверхностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси (см. рис.l).

Область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиизменения переменных Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминазывается основанием цилиндрического тела.

При определении объема тела будем исходить из двух принципов:

1)если разбить тело на части, то его объем, равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности);

2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, параллельной плоскости Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, равен площади основания, умноженной на высоту.

В дальнейшем мы будем предполагать, что область D является связной (состоящей из одного куска), квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат) .

Пусть Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— непрерывная функция точки Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямив области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямивсюду в области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Обозначим объём цилиндрического тела через Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Разобъём область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— основание цилиндрического тела на некоторое число Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминепересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиа их площади — через Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисоответственно. Назовем диаметром частичной области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямивеличину Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямигде символ Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиозначает расстояние между точками Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Обозначим через Площадь фигуры ограниченной двумя окружностяминаибольший из диаметров частичных областей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямичастичных цилиндрических тел. Заменим Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями-oe частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 2). Объем такого цилиндра равен Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямигде точка Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— площадь Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиобласти Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического тела:, получим Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями-cтyпенчaтoe тело, объем которого Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(1)

Интуитивно ясно, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямитем точнее выражает искомый объем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, чем меньше размеры частичных областей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Принимаем объем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямицилиндрического тела равным пределу, к которому стремится объем (1) Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями-ступенчатоrо тела nри Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии стремлении к нулю наибольшего диаметра Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямичастичных областей Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Естественно, предел не должен зависеть от вида разбиения области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямина частичные области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями: и от выбора точек Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямив частичных областях.

Пусть Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— произвольная функция, заданная в области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями. Сумма Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(1) называется интегральной суммой для функции Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипо области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, соответствующей данному разбиению этой области на Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямичастичных областей и данному выбору точек Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямина частичных областях Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Определение:

Если nри Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямисуществует предел интегральных сумм Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, не зависящий ни от способа разбиения области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямина частичные области, ни от выбора точек Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямив частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями( или Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями) по области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии обозначается символом: Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Итак, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(2)

Сама функция Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипри этом называется интегрируемой в области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями( Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиподынтегральная функция­, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиподынтегральное выражение, Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямидифференциал (или элемент) площади, область Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиобласть интегрирования, точка Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипеременная точка интегрирования)

Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, поверхностью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, равен двойному интегралу от функции Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипо области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, являющейся основанием цилиндрического тела Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиили Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Здесь Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— элемент площади в декартовых координатах. Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.

Если Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямив Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, то объем Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Если в области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямифункции Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипринимает как положительные, так и отрицательные значения, то интеграл Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямипредставляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(берутся со знаком Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями), и тех частей тела, которые расположены под плоскостью Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями(берутся со знаком Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями).

К составлению сумм вида (l) для функции двух независимых переменных и к последующему­ переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела.

Сформулируем достаточные условия интегрируемости.

Теорема:

Всякая функция Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, непрерывная в ограниченной замкнутой области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, интегрируема в этой области.

Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слишком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций.

Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если ero можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади.

Теорема:

Если функция Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямиограничена в замкнутой ограниченной области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностямии непрерывна повсюду в Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями.

Основные свойства двойного интеграла

Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функций одной независимой переменной.

Линейное свойство

Если функции f(P) и φ(Р) интегрируемы в области D, а а и β — любые вещественные числа, то функция af(P) + βφ(Р) также интегрируема в области D, причем
(1)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Интегрирование неравенств

Если функции f(P) и φ(Р) интегрируемы в области D и всюду в этой области

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь плоской области

Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно, интегральная сумма для функции f(P) = 1 в области D имеет вид

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и при любом разбиении области D на частичные области Dk равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл, равен площади S области D:
(3)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Оценка интеграла

Пусть функция f(Р) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и т — наибольшее и наименьшее значения f(Р) в области D и S — ее площадь. Тогда
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Аддитивность

Если функция f(P) интегрируема в области D и область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то f<Р) интегрируема на каждой из областей D1 и D2, причем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Теорема о среднем значении

Теорема:

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна тонка Ре области D такая, что будет справедлива формула
(6)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где S — площадь области D.

В самом деле, так как f(P) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т. По свойству 4 об оценке интеграла имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Таким образом, число

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции f(P) в области D. В силу непрерывности функции f(P) в области D она принимает в некоторой точке Рe ∈ D значение, равное этому числу,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Значение f (Pe), определяемое по формуле (7), называется средним значением функции f(Р) в области D.

Геометрический смысл теоремы о среднем значении

Если в области D функция f(Р) ≥ 0, то формула (6) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна S) и высотой H = f(Pe), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 3).

Сведение двойного интеграла к повторному

Одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла является сведение его к повторному.

Случай прямоугольника

Пусть область D — замкнутый прямоугольник П со сторонами, параллельными осям координат

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике П. Двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

можно интерпретировать как (алгебраический) объем цилиндрического тела с основанием П, ограниченного поверхностью

z = f(х, y).

Рассмотрим соответствующее цилиндрическое тело. Проведем плоскость

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

перпендикулярную оси Оу (рис. 4). Эта плоскость рассечет цилиндрическое тело по криволинейной трапеции АВВ1А1, ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь трапеции АВВ1А1 выражается интегралом

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где интегрирование производится по х, а уо — второй аргумент подынтегральной функции — рассматривается при этом как постоянный (с ≤ уо ≤ d). Величина интеграла (1) зависит от выбора значения уо. Положим
(2)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тела как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции f(х, у) по прямоугольнику П. Значит,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заменяя S(y) его выражением (2), получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последнее соотношение обычно записывается так
(3)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Объем цилиндрического тела можно отыскать также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции f(x, у). Они называются повторными интегралами от функции f(х, у) по области П.

Если f(x, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и
(5)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

т. е. значения повторных интегралов от непрерывной функции f(х, у) не зависят от порядка интегрирования.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Найти двойной интеграл от функции

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

4 Имеем (см. рис. 5):

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Случай произвольной области

Предположим теперь, что областью интегрирования является произвольная ограниченная квадрируемая замкнутая область D на плоскости хОу, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области D не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 6 а). Заключим область D внутрь прямоугольника

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

так, как показано на рис. 66. Отрезок [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а отрезок [с, d] — ортогональной проекцией области D на ось Оу. Точками А и С граница области D разбивается на две кривые ABC и АЕС. Каждая из этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно у:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть f(x, у) — некоторая функция, непрерывная в области D. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело плоскостью

х = const (а Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис.7), площадь которой выражается обыкновенным интегралом от функции f(x, у),рассматриваемой как функция одной переменной у. При этом переменная у изменяется от ординаты φ1(x) точки Р до ординаты φ2(х) точки Q; точка Р есть точка «входа» прямой х = const (в плоскости хОу) в область D, a Q — точка ее «выхода» из этой области. Так как уравнение кривой ABC есть у = φ(x), а кривой АЕС — у = φ2(х), то эти ординаты при взятом х соответственно равны φ1(x) и φ2(х). Следовательно, интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

дает нам выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости x = const.

Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по х в промежутке изменения х (a ≤ х ≤ b). Таким образом,
(8)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В частности, для площади S области D получим (9)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Предположим теперь, что каждая прямая

у = const (с ≤ у ≤ d)

пересекает границу области D не более чем в двух точках Р и Q, абсциссы которых равны ψ1(у) и ψ2 <y) соответственно (или по целому отрезку) (рис. 8). Проводя аналогичные рассуждения, приходим к формуле
(10)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

также сводящей вычисление двойного интеграла к повторному.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Вычислить двойной интеграл от функции

f(x, у) = 2х — у + 3

по области D, ограниченной линиями у = х и у = х2 (рис.9).

Первый способ. Изобразим область интегрирования D. Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках O(0,0) и M(l,1). Значит, х изменяется в пределах от 0 до I, a ψ1(x) = х2 и ψ2(х) = х. Любая прямая х = const (0 ≤ х ≤ 1) пересекает границу области не более чем в двух точках. Поэтому применима формула (8):

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Второй способ (рис. 10). Применяя формулу (10), получим тот же результат:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Вычислить обьем тела, ограниченного поверхностью
и плоскостью хОу.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

пересекается с плоскостью хОу по линии

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Это — эллипс с полуосями а = 1/2 и b = 1 (рис. 11).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей xОz и уOz получаем:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Замечание:

Если область D такова, что некоторые прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для вычисления двойного интеграла по области D следует разбить ее подходящим образом на части, свести к повторному каждый из интегралов по этим частям и полученные результаты сложить.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

по области D, заключенной между двумя квадратами с центрами в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего — 4.
Функция

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

непрерывна как в большом квадрате Q, сторона которого равна 4, так и в малом квадрате Р, сторона которого равна 2 (рис. 12).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Согласно теореме 1, интегралы от функции е z+y по указанным квадратам существуют, так что величина искомого интеграла

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Замена переменных в двойном интеграле

Понятие криволинейных координат точки:

Пусть в области D* плоскости uOv задана пара функций

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

которые мы будем считать непрерывными в этой области и имеющими непрерывные частные производные. В силу уравнения (1) каждой точке М*, v) области D* отвечает одна определенная точка М(х, у) в плоскости хОу и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество D точек (x, у) в плоскости хОу (рис. 13). При этом говорят, что функции (1) осуществляют отображение области D на множество D.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Предположим, что различным точкам (и, v) отвечают различные точки (х,у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно и, v:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции g(х, у) и h(x,y) также непрерывны, то любая непрерывная линия L ⊂ D с помощью преобразования (2) перейдете непрерывную линию L* ⊂ D*.

По заданной паре uо, vo значений переменных и, v из области D* можно однозначно определить не только положение точки М*(и0, vo) в самой области D*, ной положение соответствующей точки М(хо, уо) в области D, xо = φ(uo, vo), уо = ψ(uо. vо). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки D области М на плоскости хОу. Их называют криволинейными координатами точки М.

Множество точек области D, у которых одна из координат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией. Полагая в формуле (1) и = vo, получим параметрические уравнения координатной линии,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Здесь роль параметра играет переменная и. Придавая координате v различные (возможные для нее) постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости хОу. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (u = const).

При наличии взаимно однозначного соответствия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства Hie пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных координатных линий на плоскости хОу является образом прямоугольной сетки на плоскости uOv (см. рис. 13).

Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл

Выделим в области D* на плоскости Uo*V малый прямоугольник P’pj Р3Р4 со сторонами, параллельными осям координат О и О* v и длинами сторон ∆u и ∆v (для определенности считаем, что ∆u > О, ∆v > 0) соответственно (рис. 14а). Его площадь

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Прямоугольник P*1P*2P*3P*4 переходит в криволинейный четырехугольник Р1Р2Р3Р4 в области D (рис. 146). Если вершины Р*i(i = 1, 2, 3,4) имеют координаты

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

то, согласно формулам (1), соответствующие им вершины Рi имеют координаты

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого порядка относительно ∆и и ∆v, получим следующие приближенные значения координат для вершин четырехугольника Р1Р2Р3Р4:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где функции φ, ψ и все их производные вычислены в точке (и, v). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник Р1Р2Р3Р4 есть параллелограмм. Это следует из того, что

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тогда площадь ∆S четырехугольника Р1Р2Р3Р4 можно приближенно выразить через длину векторного произведения Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

называется функциональным определителем функций φ<и, v), ψ (u, v), или якобианом. Итак, (6)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Выражение в правой части (6) называется элементом площади в криволинейных координатах. Так как ∆и ⋅ ∆v,to из формулы (6) получаем, что

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Равенство (7) является приближенным. Однако в пределе, когда диаметры площадок ∆S* и ∆S стремятся к нулю, оно переходит в точное:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Из формул (7) и (8) видано, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D* (в данной точке (u, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1).

Формула замены переменных в двойном интеграле

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* на D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости хОу задана непрерывная функция

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Каждому значению функции z = f(x, у) в области D соответствует равное значение функции z = F(u, v) в области D*, где

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Разобьем область D* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (u, v) и (х, у) так, чтобы значения функций F(u, v) и f(x, у) в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций z = f(x, у) и F(u,v) по областям D и D*. Получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и J(и, v) — якобиан функций φ(и, v) и ψ =(u, v). Переходя в равенстве (9) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d* частичных областей D*k (в силу непрерывности отображения (1) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Условие J ≠ 0 является условием локальной взаимноoднозначности отображения, осуществляемого функциями φ(и, v) и ψ =(u, v).

Теорема:

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции f(x, у) переменные х и у соответственно через φ(и, v) и ψ =(u, v), а элемент площади dx dyего выражением в криволинейных координатах:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где х > 0, у > 0, 0 Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где 0 Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

по области D. Введем новые, криволинейные координаты и и v формулами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Из условия задачи ясно, что a2 ≤ u ≤ b2. а ≤ v ≤ β. Значит, в плоскости uOv мы получили прямоугольник (рис. 15b)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

— фигуру Солее простую, чем заданная фигура D.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Выразим х и у из соотношений (11) через u и v:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

По формуле (10) при f(x,y) = 1 получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами р и φ по формулам

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Элемент площади в полярных координатах имеет вид
(13)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и формулу перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так:
(14)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Элемент площади в полярных координатах можно подучить и из геометрических соображений (см. рис. 16).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь заштрихованной на рисунке области

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Отбрасывая бесконечно малую величину высшего порядка, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

за элемент площади в полярных координатах.

Итак, чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно х к у в подынтегральной функции заменить соответственно через р cos φ и р sin φ, а элемент площади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади в полярных координатах р dp dφ.

Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу.

Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия φ = const) пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17). Отметим крайние значения φ1 и φ2 полярного угла φ, φ1 ≤ φ ≤ φ2-Числа φ1 и φ2 являются пределами внешнего интегрирования.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Луч φ = φ1 проходит через точку А контура области D, а луч φ = φ2 — через точку В. Точки А и В разбивают контур области D на две части: АС В и AFB. Пусть р = v1( φ ) и р = v2( φ ) — их полярные уравнения, причем v1( φ ) и v2( φ ) — однозначные непрерывные функции φ, удовлетворяющие условию

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Функции v1( φ ) и v2( φ ) являются пределами внутреннего интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем следующую формулу
(15)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В частности, для площади S области D при F(p, φ) = 1 получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть теперь полюс О расположен внутри области D. Предположим, что область D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч φ = const пересекает границу области только в одной точке или по целoму отрезку (рис. 18). Пусть р = v( φ ) — уравнение границы области в полярных координатах. Тогда
(16)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

— четверть единичного круга, расположенная в первом квадранте.

Перейдем к полярным координатам

= р cos φ, у = р sin φ.

Тогда областью интегрирования будет прямоугольник

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Преобразованный интеграл I легко вычисляется:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Замечание:

Если якобиан отличен от нуля в области D, то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимнооднозначным. При этом может, однако, случиться, что отображение всей области не будет взаимнооднозначным. Рассмотрим отображение, определяемое функциями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Якобиан этих функций равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и, следовательно, везде отличен от нуля. Несмотря на это, для u = 0, v = 0 и дня и = 0, v = 2π мы получим х = 1, у = 0, так что это отображение не является взаимнооднозначным.

С другой стороны, если якобиан отображения обращается в нуль в какой-нибудь точке, то, тем не менее, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, для отображения, определяемого функциями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

равен нулю и при и = 0, и при v = 0, но отображение является взаимнооднозначным. Обратное отображение определяется функциями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь поверхности

Интеграл по площади поверхности. Вычисление площади поверхности

Пусть задана поверхность π, однозначно проектирующаяся на область D плоскости хОу. Это означает, что данная поверхность задается уравнением

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Будем считать поверхность гладкой; это означает, что в области D функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f’x(x, у) и f’y(x, у). Разобьем область D на квадрируемые подобласти

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

без общих внутренних точек, площади которых обозначим соответственно через

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Dk (k = 1,2,…, п). В каждой подобласти Dk выберем произвольную точку Pk( ξk, ηk)- На поверхности π точке Рk будет соответствовать точка Mk( ξk, ηk, ζk), где ζk= f( ξk, ηk) (рис. 19). Проведем в точке Мk касательную плоскость к поверхности π. Ее уравнение имеет следующий вид __(1)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Построим на границе частичной области dk, как на направляющей, цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. Эта цилиндрическая поверхность вырежет из касательной плоскости, проведенной через точку Мk, область πk площади ∆qк. Площадка Пk проектируется на элементарную область Dk плоскости хОу взаимнооднозначно.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Определение:

Если при d→0 сумма (2) имеет конечный предел S,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

то число S называется площадью поверхности π.
Таким образом, мы заменяем данную поверхность «чешуйчатой», затем подсчитываем плошадь этой «чешуйчатой» поверхности и переходим к пределу при стремлении диаметра «чешуек» к нулю (диаметры чешуек стремятся к нулю при d —> 0).

Перейдем теперь к выводу формулы, по которой вычисляют площадь поверхности. Известно, что площадь проекции плоской фигуры на какую-нибудь плоскость равна произведению площади проектируемой фигуры на косинус острого угла между плоскостью проекции и плоскостью, в которой лежит проектируемая фигура.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Обозначим через γk угол между касательной плоскостью к поверхности π в точке Мk и плоскостью хОу (рис. 20). Тогда

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Но угол γk есть в то же время угол между осью Oz и нормалью касательной плоскости к поверхности (1). Обозначим вектор нормали к касательной плоскости к поверхности в точке Мk через

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

а через п2 = — единичный вектор оси Оz. Тогда получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

По условию функции f’z(x,y) и f’у(х, у) непрерывны в области D. Следовательно, функция

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

непрерывна, а, значит, и интегрируема в области D. Поэтому при d → 0 сумма (5) имеет конечный предел,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Учитывая равенство (3), определяющее площадь S поверхности заключаем, что
(6)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где Dxy — проекция поверхности я- на плоскость хОу. Выражение
(7)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

называется элементом площади поверхности.

Если спроектировать участок поверхности π на плоскость хОу, то получим
(8)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где Dyz — проекция участка поверхности на плоскость хОу. Соответственно, при проектировании на плоскость yOz имеем
(9)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где Dyz — проекция участка поверхности на плоскость yOz.

Пример:

Найти площадь сферы радиуса R с центром в начале координат

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Уравнение верхней полусферы —

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Искомая площадь S

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Отметим следующие полезные формулы:

1) для элемента площади цилиндрической поверхности радиуса R
(10)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

2) для элемента площади сферической поверхности радиуса R
(11)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Используя формулу (11) для элемента площади сферической поверхности получим площадь сферы:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Интеграл по площади поверхности (интеграл по поверхности 1-го рода)

Пусть на гладкой поверхности π задана непрерывная функция f(М). Разобьем поверхность π на части

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

соответственно, выделим на каждой из частичных поверхностей по произвольной точке Mi, Мг,… , Мп и составим сумму

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

которую будем называть интегральной суммой для функции f<М) по площади поверхности π.

Определение:

Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частичных поверхностей πk интегральная сумма (12) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности т на части, ни от выбора точек Mk, то этот предел называется интегралом от функции f(M) по площади поверхности π (интегралом по поверхности 1-го рода) и обозначается символом

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где dσ — элемент площади поверхности.
Общие свойства двойных интегралов легко переносятся на интегралы по площади поверхности. В частности, если поверхность π разбита на неперекрывающиеся части π1, π2,…, πn, то

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Теорема:

Пусть -к — гладкая поверхность, заданная уравнением z = φ(x, у), где (х,у)D, причем функция φ(х, у) имеет непрерывные частные производные в некоторой области D1, DD1. Пусть, далее, f(x, у, z) — непрерывная функция, определенная на поверхности π. Тогда справедливо равенство

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где μ(Р) ≥ 0 на π, можно истолковать как массу π оболочки, представляющей собой поверхностью, на которой масса распределена с поверхностной плотностью μ = μ(Р).

Пример:

Найти массу параболической оболочки

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

плотность которой меняется по закону μ = z (рис. 21).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тройной интеграл

Задача, приводящая к тройному интегралу

Пусть дано материальное тело, представляющее собой пространственную область Ω, заполненную массой. Требуется найти массу то этого тела при условии, что в каждой точке Р ∈ Ω известна плотность

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Разобьем область Ω на неперекрывающиеся кубируемые (т. е. имеющие объем) части

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

соответственно. В каждой из частичных областей Ωk выберем произвольную точку Рk. Примем приближенно, что в пределах частичной области Ωk плотность постоянна и равна μ(Рk)- Тогда масса ∆тk этой части тела выразится приближенным равенством

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

а масса всего тела будет приближенно равна

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Ωk(k = 1,2,…, п). Если при d —> О сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти, ни от выбора точек Рk ∈ Ωk, то этот предел принимается за массу т заданного тела,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть в замкнутой кубируемой области Ω определена ограниченная функция

f(Р), Р ∈ Ω.

Разобьем Ω на п непересекающихся кубируемых частей

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

а их объемы обозначим через

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

соответственно. В каждой частичной подобласти Ωk произвольным образом выбираем точку Рk(хk, yk, zk) и составляем интегральную сумму

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть d — наибольший из диаметров частичных областей Ωk(k = 1, 2,…, п).

Определение:

Если при d → 0 интегральные суммы а имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области Ω на частичные подобласти Ωk, ни от выбора точек Рk ∈ Ωk, то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x, у, z) по области Ω и обозначается символом

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

При этом функция f(х, у, z) называется интегрируемой в области Ω.

Таким образом, по определению имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Возвращаясь к задаче о вычислении массы тела, замечаем, что предел (2) есть тройной интеграл от функции μ(Р) по области Ω. Значит,

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Здесь dx dy dz — элемент объема dv в прямоугольных координатах.

Теорема 6. Если функция f(x, у, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то она интегрируема в этой области.

Свойства тройных интегралов

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Перечислим основные из них.

Пусть функции f(Р) и φ(Р) интегрируемы в кубируемой области Ω.

1, Линейность.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где а и β — произвольные вещественные постоянные.

2. f(Р) ≤ φ(P) всюду в области Ω, то

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

3. Если f(P) ≡ 1 в области Ω, то

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где V — объем области Ω.

4. Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω и М и т — ее наибольшее и наименьшее значения в Ω, то

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где V — объем области Ω.

5. Аддиктивность. Если область Ω разбита на кубируемые области Ω1 и Ω2 без общих внутренних точек и f(Р) интегрируема в области Ω,то f(P) интегрируема на каждой из областей Ω1 и Ω2, причем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Теорема о среднем значении

Теоремa:

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, то найдется точка Рс ∈ Ω , такая, что будет справедлива формула

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где V — объем области Ω (напомним, что область — связное множество).

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Как и при вычислении двойных интегралов, дело сводится к вычислению повторных интегралов. Предположим, что функция f(х, у, z) непрерывна в некоторой области Ω.

1-й случай. Область Ω представляет собой прямоугольный параллелепипед

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

проектирующийся на плоскость yOz в прямоугольник R;

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Заменяя двойной интеграл через повторный, окончательно получим
(2)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Таким образом, в случае, когда область Ω — прямоугольный параллелепипед, мы свели вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех обыкновенных интегралов.

Формулу (2) можно переписать в виде

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

есть ортогональная проекция параллелепипеда Ω на плоскость хОу.

2-й случай. Рассмотрим теперь область Ω такую, что ограничивающая ее поверхность S пересекается любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис.22).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пусть z = φ1(x,y) уравнение поверхности S1, ограничивающей область Ω снизу, а поверхность S2, ограничивающая область Ω сверху, имеет уравнение z = φ2(x,y).

Пусть обе поверхности S1 и S2 проектируются на одну и ту же область плоскости хОу. Обозначим ее через D, а ограничивающую ее кривую через L. Остальная часть границы S тела Ω лежит на цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и с кривой L в роли направляющей. Тогда по аналогии с формулой (3) получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если область D плоскости хОу представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми у = ψ1(х) И y = ψ2(х) (а ≤ х ≤ b), то двойной интеграл в формуле (4) можно свести к повторному, и мы получим окончательно
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Эта формула является обобщением формулы (2).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Вычислить объем тетраэдра, ограниченного плоскостями

x = 0, у = 0, z = 0 и х + 2у + z- 6 = 0.

Проекцией тетраэдра на плоскость хОу служит треугольник, образованный прямыми

x = 0, у = 0 и х + 2у = 6,

так что х изменяется от 0 до 6, а при фиксированном х (0 ≤ х ≤ 6) у изменяется от 0 до 3 — π/2 (рис. 23). Если же фиксированы и х, и у, то точка может перемещаться по вертикали от плоскости z=0 до плоскости x + 2y + z- 6 = 0, т. е. г меняется в пределах от 0 до 6 — х — 2у. По формуле (5) при f<x, у, z) = 1 получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Вопрос о замене переменных в тройном интеграле решается таким же путем, как и в случае двойного интеграла. Пусть функция f(x,y, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области Ω, а функции

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой кубируемой области Ω*. Предположим, что функции (1) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между всеми точками ( ξ, η, ζ) области Ω*, с одной стороны, и всеми точками (х, у, z) области Ω — с другой. Тогда справедлива формула замены переменных в тройном интеграле —
(2)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

— якобиан системы функций (1).

На практике при вычислении тройных интеграловчасто пользуются заменой прямоугольных координат цилиндрическими и сферическими координатами.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В цилиндрической системе координат положение точки Р в пространстве определяется тремя числами р, φ, z, где р и φ — полярные координаты проекции Р» точки Р на плоскость хОу, a z — аппликата точки Р (рис. 24). Числа р, φ, z называются цилиндрическими координатами точки Р.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В системе цилиндрических координат координатные поверхности

р = const, φ = const, z = const

соответственно описывают: круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz, полуплоскость, примыкающую к оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости хОу.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими формулами

x = p cost φ, y = p sin φ, Z = Z (3)

(см. рис. 24). Для системы (3), отображающей область Ω на область Ω*, имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Так как p ≥ 0, то

|J|= p

и формула (2) перехода от тройного интеграла в прямоугольных координатах к интегралу в цилиндрических координатах принимает вид
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Это выражение для элемента объема может быть получено и из геометрических соображений. Разобьем область Ω на элементарные подобласти координатными поверхностями

р = const, φ = const, z = const

и вычислим объемы полученных криволинейных призм (рис. 25).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Отбрасывая бесконечно малую величину более высокого порядка, получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Это позволяет принять за элемент объема в цилиндрических координатах следующую величину

dv = p dp dφ dz.

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В цилиндрических координатах заданные поверхности будут иметь уравнения

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

(см. формулы (3)). Эти поверхности пересекаются по линии г, которая описывается системой уравнений

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

а ее проекция на плоскость хОу системой

р = 1, z = 0.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Искомый объем вычисляется по формуле (4), в которой f ≡ 1.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тройной интеграл в сферических координатах

В сферической системе координат положение точки Р(х, у, z) в пространстве определяется тремя числами r, φ, θ, где r — расстояние от начала координат до точки Р, φ — угол между осью Ох и проекцией радиуса-вектора ОР точки Р на плоскость хОу, а θ — угол между осью Oz и радиусом-вектором ОР точки Р, отсчитываемый от оси Oz (рис. 27).

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Ясно, что 0 ≤ r Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычислим якобиан функций (5). Имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и формула (2) принимает вид
(6)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Элемент объема в сферических координатах —

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Выражение для элемента объема можно получить и из геометрических соображений. Рассмотрим элементарную область в пространстве, ограниченную сферами радиусов г и г + dr, конусами в и в + d$ и полуплоскостями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Найти объем выпуклого тела П, вырезаемого из конуса

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Переходим к сферической системе координат

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Из первых двух уравнений видно, что а ^ г ^ 6. Из третьего уравнения находим пределы изменения угла в:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Тем самым, 0 ≤ θ ≤ π/4. Полагая в формуле (6) f(x, у, z) ≡ 1, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Приложения двойных и тройных интегралов

Масса плоской фигуры

Пусть задана плоская ограниченная фигура D, по которой непрерывным образом распределена масса с поверхностной плотностью μ(Р) = μ(х, у) ≥ 0, где μ(х, у) — функция, непрерывная в D. Разобьем фигуру D на п частей

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

без общих внутренних точек, площади которых соответственно равны

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В каждой части (к = 1,2,…, п) произвольно выберем точку Рk(хk, уk) и вычислим в ней плотность μ(xk, yk). В силу непрерывности μ(х, у) можно считать, что масса mk части Dk фигуры D приближенно равна μ(хk, yk) ∆Sk, a масса всей фигуры — сумме

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Последняя является интегральной суммой для непрерывной функции μ(x, у) в области D. Переходя к пределу при d → 0 (здесь d — наибольший из диаметров частичных областей Dk(k = 1,…, п)), получим точное равенство
(1)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если масса распределена равномерно по всей фигуре, μ = const, то формула (1) принимает вид

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где S — площадь фигуры D.

Пример:

Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов r и R, где r Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Значит, масса кольца

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести

Статическим моментом Мх материальной точки массы m относительно оси Ох называется произведение ту, где у — ордината материальной точки, т. е.

Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Разбивая фигуру D на части D1,…, Dn, выбирая в каждой части Dk произвольно точку Pk(xk, yk) и считая, что масса этой k-й части приближенно равна μ(хk, yk) ∆Sk и сосредоточена в точке Pk(xk,yk), запишем приближенно величину статического момента фигуры D относительно оси Ох. Имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где ∆Sk — площадь части Dk, а μ(х, у) — поверхностная плотность. Переходя к пределу при d —» 0, получаем
(3)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Статический момент фигуры D относительно оси Оу находится по аналогичной формуле
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если известны статические моменты Мх и Му и масса m плоской фигуры, то координаты центра тяжести этой фигуры находятся по следующим формулам
(5)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если μ = const, т = μS, где S — площадь фигуры D, и формулы (5) принимают вид:
(6)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Hайти центр тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной косинусоидой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

осью Ох и осью Оу.

Так как фигура — однородная, то координаты центра тяжести будем искать по формулам (б). Найдем сначала площадь 5 заданной фигуры. Имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Затем найдем статические моменты Mz и Му

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Теперь no формулам (6) получаем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат

Рассуждая аналогично изложенному выше, легко установить, что элементарные моменты инерции относительно осей Ох и Оу будут соответстве нно равны

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Интегрируя по плоской фигуре D, получим формулы для самих моментов инерции (7), (8)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где, как и ранее, μ(x, у) — поверхностная плотность распределения масс.

Вычисление массы тела

Рассматривая задачу, приводящую к тройному интегралу, мы показали, что если известна плотность распределения масс ц(х, у, z) в каждой точке некоторого тела Ω, то масса этого тела вычисляется по формуле
(9)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Мы предполагаем, что функция μ(х, у, z) непрерывна в области Ω.

Пример:

Вычислить массу m тела, ограниченного полусферами

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и плоскостью хОу, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точм до начала координат.

По условию задачи плотность μ в точке (x,y,z) выражается формулой

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где к > 0 — коэффициент пропорциональности. Тогда

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Переходя к сферическим координатам, получим, что

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей. Центр тяжести

Напомним, что задача о вычислении статических моментов и центра тяжести плоской фигуры решалась при помощи двойных интегралов (см. формулы (3), (4) и (5)). Задачи о вычислении статических моментов тела Ω относительно координатных плоскостей и отыскания центра тяжести тела Ω решаются аналогичным способом при помощи тройных интегралов. Например, элементарный статический момент относительно плоскости хОу равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где μ(x, у, z) — плотность. Отсюда статический момент
(10)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Аналогично выписываются статические моменты относительно плоскостей хОу и Y

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Вычислив массу m тела Ω и его статические моменты, легко найти координаты центра тяжести тела: (11)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если тело однородно, то плотность μ = const и формулы (11) упрощаются — постоянный множитель μ в числителе можно вынести за знак интеграла и сократить на него числитель и знаменатель (ибо т = μy). Тогда получим (12)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где V — объем тела Ω.

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородного полушара радиуса R.

Считаем, что центр шара находится в начале координат, а рассматриваемая фигура — полушар — расположена над плоскостью хОу. Тогда в силу симметрии имеем

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Объем полушара равен

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Найдем статический момент относительно плоскости хОу :

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

и Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями— центр тяжести.

Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области

При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

монотонно исчерпывающих область D, т. е.

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Dn —> D при п —> ∞.

Например, если область интегрирования совпадает со всей плоскостью хОу, то за последовательность можно принять совокупность концентрических кругов

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Определение:

Несобственным интегралом от функции f(х, у) по неограниченной области интегрирования D называется предел последовательности интегралов

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

не зависящий от выбора последовательности Db.
Итак, по определению
(2)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если предел (1) существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Пример:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

где область интегрирования

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

В качестве областей интегрирования выберем круги

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

радиуса п (n = 1,2,… ). Переходя к полярным координатам, получим

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Итак, интеграл (3) сходится и равен π.

Для интеграла по неограниченной области D справедлив следующий Признак сравнения. Если 0 ≤ f(x, у) ≤ g(х, у) ∀(x, у) ∈ D,u интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

сходится, то сходится и интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Если же интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

расходится, то расходится и интеграл

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования:
(4)

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Пример:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

то, согласно соотношению (4),

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, получим новую область интегрирования

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Несобственные интегралы от функции трех, четырех и большего числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📸 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Задача из китайской средней школы: найти площадь фигурыСкачать

Задача из китайской средней школы: найти площадь фигуры

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профиль
Поделиться или сохранить к себе:
Площадь фигуры ограниченной двумя окружностями