Различают внешнее (рис. 1.18, а) и внутреннее (рис. 1.18, б) касания окружностей.
Основные свойства касающихся окружностей;
- 1) точка касания К лежит на линии, соединяющей центры касающихся окружностей (линии центров);
- 2) при внешнем касании расстояние между центрами касающихся окружностей
при внутреннем касании
Рис. 1.18. Касание двух окружностей:
а — внешнее касание; б — внутреннее касание
Сопряжение двух окружностей дугой заданным радиусом Внешнее касание. При внешнем касании (рис. 1.19) из центров О, и 02 проводят две вспомогательные окружности радиусами R< + R и R2 + R, где R — радиус заданной дуги. Точка пересечения вспомогательных окружностей — точка О является центром сопрягающей дуги. Для определения местоположения точек касания /С, и К2 проводят две линии центров 001 и 002.
Рис. 1.19. Сопряжение двух окружностей при внешнем касании
Внутреннее касание. При внутреннем касании (рис. 1.20) вспомогательные окружности из центров данных окружностей проводятся радиусами R — R< и R — Rr
Рис. 1.20. Сопряжение двух окружностей при внутреннем касании
Внешне-внутреннее касание. Построение внешне-внутреннего касания окружностей дугой заданным радиусом R показано на рис. 1.21.
Построение сопряжений дугой окружности радиусом Rx, определяемым построением, рассмотрим на следующем примере.
Рис. 1.21. Внешне-внутреннее касание окружностей дугой заданным радиусом R
Пример 1.1. Постройте сопряжения дугой окружности радиусом Ry, определяемым построением. На рис. 1.22 приведены исходные данные для построения:
- • окружность (или дуга) известным радиусом R с центром в точке О;
- • точка В, через которую проходит дуга сопряжения с первоначально неизвестным радиусом Rx;
- • линия р, на которой находится центр сопрягающей дуги.
Рис. 1.22. Исходные данные к примеру 1.1
Решение. Решим задачу способом вспомогательной окружности, концентричной с искомой (рис. 1.23).
При внутреннем касании заданной и искомой окружности (рис. 1.23, а) радиус вспомогательной окружности меньше радиуса искомой на величину R. при внешнем (рис. 1.23,6) — больше на эту величину.
Выполняем построения, действуя в таком порядке:
1) отмечаем точку М (на расстоянии R от точки В);
Рис. 1.23. Сопряжение дугой окружности радиусом Rx способом вспомогательной концентрической окружности:
а — внутреннее касание; б — внешнее касание
- 2) соединяем точки М и О и, рассматривая отрезок ОМ как хорду вспомогательной окружности, проводим перпендикуляр через его середину до пересечения с линией р в точке О,;
- 3) проводим линию центров 0,0 и определяем точку К касания заданной и искомой окружностей; (К = Rx.
- Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами
- Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
- Сопряжения прямой с окружностью
- Сопряжение двух окружностей
- Построение касательных
- Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
- Взаимное расположение двух окружностей
- Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- 📽️ Видео
Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать
Сопряжения в инженерной графике на чертежах с примерами
Содержание:
В очертаниях технических форм часто встречаются плавные переходы от од- ной линии к другой. Плавный переход одной линии в другую, выполненный при помощи промежуточной линии, называется сопряжением. Построение сопряжений основано на следующих положениях геометрии.
- Переход окружности в прямую будет плавным только тогда, когда заданная прямая является касательной к окружности (рис. 11а). Радиус окружности, проведенный в точку касания К, перпендикулярен к касательной прямой.
- Переход от одной окружности к другой в точке К только тогда будет плавным, когда окружности имеют в данной точке общую касательную (рис. 11б).
Точка касания К и центры окружностей 
- Центром сопряжения О называется точка, равноудаленная от сопрягаемых линий (рис. 12).
- Точкой сопряжения А (В) называется точка касания двух сопрягаемых линий (рис. 12).
- Дуга сопряжения АВ – это дуга окружности, с помощью которой выполняется сопряжение (рис. 12).
- Радиус сопряжения R – это радиус дуги сопряжения (рис. 12).
Для выполнения сопряжений необходимо определить три элемента построения: 1) радиус сопряжения; 2) центр сопряжения; 3) точки сопряжения.
Видео:Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать
Сопряжение двух пересекающихся прямых линий
Пусть даны две пересекающиеся прямые m, n и радиус сопряжения R (рис. 12). Необходимо построить сопряжение данных прямых дугой окружности радиусом R.
Выполним следующие построения:
- Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой n на расстояние радиуса R сопряжения. Таким множеством является прямая
параллельная данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R. - Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от прямой m на расстояние радиуса сопряжения. Таким множеством является прямая параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.
- В пересечении построенных прямых найдем центр сопряжения О.
- Определим точку А сопряжения на прямой n. Для этого опустим из центра О перпендикуляр на прямую n . Для определения точки сопряжения В на прямой m необходимо опустить соответственно перпендикуляр из центра О на прямую m.
параллельная данной прямой n и отстоящая от неё на расстояние R.
параллельная m и отстоящая от последней на расстояние R.
найдем центр сопряжения О.Проведем дугу сопряжения AB. Теперь будут определены все элементы сопряжения: радиус, центр и точки сопряжения.
Видео:Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать
Сопряжения прямой с окружностью
Сопряжение прямой с окружностью может быть внешним или внутренним. Рассмотрим построение внешнего сопряжения прямой с окружностью.
Пример 1. Пусть задана окружность радиусом R с центром в точке 
и прямая m. Требуется построить сопряжение окружности с прямой дугой окружности заданного радиуса R (рис. 13).
Для решения задачи выполним следующие построения:
- Построим множество точек центров сопряжения, удаленных от сопрягаемой прямой на расстояние R. Это множество задает прямая параллельная m и отстоящая от неё на расстояние R.
- Множество точек центров сопряжения, удаленных от окружности n на рас- стояние R, есть окружность проведенная радиусом
- Центр сопряжения О находим как точку пересечения линий
- Точку сопряжения А находим как основание перпендикуляра, проведенного из точки О на прямую m. Чтобы построить точку сопряжения В, необходимо про- вести линию центров т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В.
- Проведем дугу сопряжения АВ.
параллельная m и отстоящая от неё на расстояние R.
проведенная радиусом 
т.е. соединить центры сопряженных дуг. В пересечении линии центров с заданной окружностью определим точку В. 
Пример 2. При построении внутреннего сопряжения (рис. 14) последовательность построений остается та же, что и в примере 1. Однако центр сопряжения определяется с помощью вспомогательной дуги окружности, проведенной из центра 
, радиусом 
Видео:Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать
Сопряжение двух окружностей
Сопряжение двух окружностей может быть внешним, внутренним и смешанным. Пусть задан радиус сопряжения R, а центры сопряжения и точки сопряжения следует найти.
Пример 1. Построим сопряжение с внешним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами 
дугой заданного радиуса R (рис. 15а).
- Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность удаленную от данной окружности m на расстояние R . Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности равен
- Радиусом проведем окружность , удаленную от данной окружности n на расстояние R.
- Найдем центр сопряжения О как точку пересечения окружностей .
- Найдем точку сопряжения А как пересечение линии центров с дугой m.
- Аналогично найдем точку В как пересечение линии центров с дугой n .
- Проведем дугу сопряжения АВ.
удаленную от данной окружности m на расстояние R . Так как сопряжение с внешним касанием, то радиус окружности 
равен 
проведем окружность 
, удаленную от данной окружности n на расстояние R.
.
с дугой m.
с дугой n .
Пример 2. Построим сопряжение с внутренним касанием двух данных окружностей m и n с радиусами 
дугой радиусом R (рис. 15б).
- Для нахождения центра сопряжения О проведем окружность на расстоянии от данной окружности m.
- Проведем окружность на расстоянии от данной окружности n.
- Центр сопряжения О найдем как точку пересечения окружностей
- Точку сопряжения А найдем как точку пересечения линии центров с заданной окружностью m.
- Точку сопряжения В найдем как точку пересечения линии центров c заданной окружностью n.
- Проведем дугу сопряжения AВ с центром в точке O.
на расстоянии 
от данной окружности m.
на расстоянии 
от данной окружности n.
с заданной окружностью m.
c заданной окружностью n.Пример 3. На рис. 16 приведен пример построения сопряжения с внешне- внутренним касанием.
Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать
Построение касательных
Пример 1. Дана окружность с центром в точке 
и точка 
вне её. Через данную точку 
провести касательную к данной окружности (рис. 17).
Для решения задачи выполним следующие построения.
- Соединим точку с центром окружности
- Находим середину С отрезка
- Из точки С, как из центра, проведем вспомогательную окружность радиусом
- В точке пересечения вспомогательной окружности с заданной получим точку касания А. Соединим точку с точкой А.
с центром окружности 
с точкой А.Пример 2. Построим общую касательную АВ к двум заданным окружностям радиусов 
(рис. 18).
- Находим середину С отрезка
- Из точки С, как из центра, радиусом проведем вспомогательную окружность.
- Из центра большей окружности проведем вторую вспомогательную окружность радиусом
- Пересечение двух вспомогательных окружностей определяет точку К, через которую проходит радиус идущий в точку касания В. 5. Для построения второй точки касания А проведем
- Соединим точки А и В отрезком прямой линии.
проведем вспомогательную окружность.
проведем вторую вспомогательную окружность радиусом 
идущий в точку касания В. 5. Для построения второй точки касания А проведем 
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Нанесение размеров на чертежах
- Резьба на чертеже
- Соединения разъемные и неразъемные в инженерной графике
- Виды конструкторских документов
- Виды в инженерной графике
- Разрезы в инженерной графике
- Сечения в инженерной графике
- Выносные элементы в инженерной графике
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Касание окружностейСкачать
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
 Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Видео:Внешнее сопряжение двух окружностейСкачать
Взаимное расположение двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  | |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  | |
| Внешнее касание двух окружностей |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  |  |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
| ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
| ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| ||
| ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  | |
| Внешнее касание двух окружностей |  | |
 | ||
 | ||
| Внешняя касательная к двум окружностям | |
 | |
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |
| |
| Внутреннее касание двух окружностей | |
| |
| Окружности пересекаются в двух точках | |
| |
| Внешнее касание двух окружностей | |
| |
| |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |
| |
| Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
| Внутреннее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
| Окружности пересекаются в двух точках | |||||||||||||||||||||
| Внешнее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Формула | ||||||||||||
| Внешняя касательная к двум окружностям |  | |||||||||||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  | |||||||||||||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  | |||||||||||||
| Внешняя касательная к двум окружностям | ||||
| ||||
| Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||
| ||||
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей | ||||
| ||||
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Видео:Касательные к окружностиСкачать  Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, 📽️ ВидеоВнешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать  Внутреннее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок14.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать  Смешанное сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок15.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать  Сопряжение двух окружностейСкачать  ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать  Построение ВНЕШНЕГО СОПРЯЖЕНИЯСкачать  №675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке АСкачать  Сопряжение окружностейСкачать  ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать  Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать  Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать  |
