Угол между двумя треугольниками

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  5. Типы треугольников
  6. По величине углов
  7. По числу равных сторон
  8. Вершины углы и стороны треугольника
  9. Свойства углов и сторон треугольника
  10. Теорема синусов
  11. Теорема косинусов
  12. Теорема о проекциях
  13. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  14. Медианы треугольника
  15. Свойства медиан треугольника:
  16. Формулы медиан треугольника
  17. Биссектрисы треугольника
  18. Свойства биссектрис треугольника:
  19. Формулы биссектрис треугольника
  20. Высоты треугольника
  21. Свойства высот треугольника
  22. Формулы высот треугольника
  23. Окружность вписанная в треугольник
  24. Свойства окружности вписанной в треугольник
  25. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  26. Окружность описанная вокруг треугольника
  27. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  28. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  29. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  30. Средняя линия треугольника
  31. Свойства средней линии треугольника
  32. Периметр треугольника
  33. Формулы площади треугольника
  34. Формула Герона
  35. Равенство треугольников
  36. Признаки равенства треугольников
  37. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  38. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  39. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  40. Подобие треугольников
  41. Признаки подобия треугольников
  42. Первый признак подобия треугольников
  43. Второй признак подобия треугольников
  44. Третий признак подобия треугольников
  45. Угол между двумя треугольниками
  46. 🎦 Видео

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Угол между двумя треугольниками.

Угол между двумя треугольниками
Угол между двумя треугольниками
Угол между двумя треугольниками
Угол между двумя треугольниками(1)
Угол между двумя треугольниками(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Угол между двумя треугольниками.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Угол между двумя треугольникамиНайти Угол между двумя треугольниками(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками.
Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками.
Угол между двумя треугольниками, Угол между двумя треугольниками.

И, наконец, находим угол C:

Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Угол между двумя треугольниками

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Угол между двумя треугольниками.
Угол между двумя треугольниками.

Далее, из формулы

Угол между двумя треугольниками.
Угол между двумя треугольниками.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Угол между двумя треугольниками.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Угол между двумя треугольникамии Угол между двумя треугольниками(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Угол между двумя треугольниками,
Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками.

Из формулы (3) найдем cosA:

Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками
Угол между двумя треугольниками.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками.

Видео:Угол между двумя биссектрисами треугольникаСкачать

Угол между двумя биссектрисами треугольника

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Угол между двумя треугольниками

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Угол между двумя треугольниками.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Угол между двумя треугольниками, Угол между двумя треугольниками.
Угол между двумя треугольниками, Угол между двумя треугольниками.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Угол между двумя треугольникамии углы Угол между двумя треугольниками(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Угол между двумя треугольникамиУгол между двумя треугольниками

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Угол между двумя треугольниками
Угол между двумя треугольниками

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Угол между двумя высотами треугольникаСкачать

Угол между двумя высотами треугольника

Типы треугольников

По величине углов

Угол между двумя треугольниками

Угол между двумя треугольниками

Угол между двумя треугольниками

По числу равных сторон

Угол между двумя треугольниками

Угол между двумя треугольниками

Угол между двумя треугольниками

Видео:Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.Скачать

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Угол между двумя треугольниками

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:§16 Угол между двумя прямыми на плоскостиСкачать

§16 Угол между двумя прямыми на плоскости

Медианы треугольника

Угол между двумя треугольниками

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Урок 8. Угол между плоскостями. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 8. Угол между плоскостями. Стереометрия с нуля.

Биссектрисы треугольника

Угол между двумя треугольниками

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

Высоты треугольника

Угол между двумя треугольниками

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Задание 1 из ЕГЭ про угол между двумя биссектрисами треугольникаСкачать

Задание 1 из ЕГЭ про угол между двумя биссектрисами треугольника

Окружность вписанная в треугольник

Угол между двумя треугольниками

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Окружность описанная вокруг треугольника

Угол между двумя треугольниками

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:✓ Угол между плоскостями | ЕГЭ-2017. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Угол между плоскостями | ЕГЭ-2017. Задание 13. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Лоскутное шитье из полос ткани необычным способом. Вам понравится! Пэчворк для начинающихСкачать

Лоскутное шитье из полос ткани необычным способом. Вам понравится! Пэчворк для начинающих

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Угол между двумя треугольниками

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Периметр треугольника

Угол между двумя треугольниками

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Найти число вершин 3 задание проф. ЕГЭ. по математикеСкачать

Найти число вершин 3 задание проф. ЕГЭ. по математике

Формулы площади треугольника

Угол между двумя треугольниками

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:О Генри Новеллы из сборников "Благородный жулик" и "Сердце Запада", аудиокнига.Скачать

О Генри Новеллы из сборников "Благородный жулик" и "Сердце Запада", аудиокнига.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Определение истинной величины двугранного угла АВСD при ребре АВ методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение истинной величины двугранного угла АВСD при ребре АВ методом замены плоскостей проекции

Подобие треугольников

Угол между двумя треугольниками

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Двойная сетка на кашпо 20л. Расчет осьминожки с орнаментом и плетение.Скачать

Двойная сетка на кашпо 20л. Расчет осьминожки с орнаментом и плетение.

Угол между двумя треугольниками

Угол между двумя треугольниками

Замечание . Иногда говорят, что двугранный угол α a β образован двумя полуплоскостями α и β , имеющими общую граничную прямую a .

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла α a β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB , перпендикулярные ребру a (рис. 96, а ). Угол AOB , образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла α a β .

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a , то плоскость AOB перпендикулярна прямой a . Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру .

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A 1 O 1 B 1 двугранного угла α a β (рис. 96, б ). Лучи OA и O 1 A 1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O 1 B 1 . Тогда ∠ AOB = ∠ A 1 O 1 B 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Угол между двумя треугольникамиТеорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Угол между двумя треугольниками

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0 ° ; 180 ° ).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30 ° . В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а ), прямым (рис. 98, б ) или тупым (рис. 98, в ), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Угол между двумя треугольниками

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а ) и вертикальные (рис. 99, б ) двугранные углы . При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B ; A 1 и B 1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA 1 = a ; BB 1 = b ; A 1 B 1 = h . Тогда

AB = Угол между двумя треугольниками.

Угол между двумя треугольниками

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно Угол между двумя треугольниками.

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ , то величины трёх остальных равны соответственно 180 ° – ϕ , ϕ , 180 ° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ , то пишут: Угол между двумя треугольниками( α ; β ) = ϕ .

Угол между двумя треугольниками

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0 ° ; 90 ° ] .

Угол между двумя треугольниками

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD ( ∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC ; б) AMD и CMD .

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC . Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ ( ABC ), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = Угол между двумя треугольниками. Так как DE — высота ромба ABCD , то DE = Угол между двумя треугольниками, где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC , катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = Угол между двумя треугольниками= Угол между двумя треугольниками= 10.

Учитывая, что S = Угол между двумя треугольниками• AC • BD = Угол между двумя треугольниками•12•16 = 96, находим: DE = Угол между двумя треугольниками= 9,6. Тогда tg ϕ = Угол между двумя треугольниками= Угол между двумя треугольниками= Угол между двумя треугольниками, откуда ϕ = arctg Угол между двумя треугольниками.

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD , то AD ⊥ DM , CD ⊥ DM , значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM . Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ = Угол между двумя треугольниками= Угол между двумя треугольниками= – Угол между двумя треугольниками,

откуда ψ = arccos Угол между двумя треугольниками.

Ответ: а) arctg Угол между двумя треугольниками; б) arccos Угол между двумя треугольниками.

🎦 Видео

Видеоурок "Угол между плоскостями"Скачать

Видеоурок "Угол между плоскостями"

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: