Как начертить прямой угол в окружности

Чему равен прямой угол? Как изобразить прямой угол? Как найти прямые углы на рисунке?

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90º.

I. Проще всего изобразить прямой угол по клеточкам.

1) Точку — вершину прямого угла — ставим на пересечении клеточек.

2) Из вершины проводим лучи — стороны угла: один — горизонтально, другой — вертикально.

3) Ставим знак прямого угла — маленький квадрат при вершине: □

то есть угол ABC — прямой.

II. Другой способ построения прямого угла — при помощи транспортира:

1) Отмечаем точку — вершину угла.

2) От вершины проводим луч — сторону угла.

3) Совмещаем вершину угла с отметкой в центре транспортира (у разных моделей положение отметки может быть различным) так, чтобы отметка 0º располагалась на стороне угла.

4) На отметке 90 градусов ставим точку.

5) От вершины через эту точку проводим второй луч — другую сторону угла:

III. Ещё один способ построения прямого угла — с помощью угольника.

1) Отмечаем точку — вершину угла.

1) От вершины угла проводим луч — первую сторону угла.

2) Прикладываем угольник прямым углом к вершине угла так, чтобы одна сторона угольника проходила через первую сторону угла.

3) Вдоль другой стороны угольника проводим другой луч — вторую сторону угла.

Чтобы по рисунку найти прямой угол, также можно использовать угольник.

Если приложить угольник к вершине угла вдоль одной из сторон, то в остром угле вторую сторону угольник частично закроет (так как градусная мера острого угла меньше 90º), в тупом — вторая сторона окажется за угольником (поскольку тупой угол больше 90º), и только в прямом угле другая сторона угольника пройдёт ровно вдоль второй стороны:

Треугольник, один из углов которого — прямой, называется прямоугольным.

Видео:Построить прямой угол с помощью двусторонней линейки.Скачать

Как начертить угол на окружности

Видео:Сопряжение острого углаСкачать

Математика

132. Мы уже знакомы с центральными углами. Построим теперь угол, вершина которого лежит на окружности и сторонами служат хорды. Такой угол называется вписанным в круг. Пусть построен ∠ABC (чер. 135, I или II), вписанный в круг O. Он опирается на дугу AC. Построим еще центральный ∠AOC, опирающийся на ту же дугу. Тогда между ∠ABC и ∠AOC существует простая зависимость. Для ее выяснения построим диаметр DB — мы будем сначала рассматривать случай, когда этот диаметр идет внутри ∠ABC, – получим два равнобедренных треугольника — ∆AOB и ∆BOC, у которых углы при основании равны: на чертеже равные углы обозначены одним и тем же нумером, – ∠A = ∠ABO = ∠1 и ∠C = ∠CBO = ∠2.

Тогда ∠AOD является внешним для ∆AOB, и он равен сумме внутренних с ним несмежных, т. е.

Также ∠DOC есть внешний для ∆BOC и, следовательно,

Отсюда сложением находим:

∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 2∠B, где под обозначением ∠B понимаем ∠ABC.

∠AOC = 2∠ABC
или ∠ABC = ½ ∠AOC = ∠AOC / 2.

Если одна из сторон вписанного угла проходила бы чрез центр, то дело упрощалось бы и еще скорее получилась бы та же зависимость. Например, для вписанного угла ABD:

∠AOD = 2∠1 = 2∠ABD или ∠ABD = ½ ∠AOD = ∠AOD / 2.

Рассмотрим теперь случай, когда диаметр BD проходит вне угла ABC (чер. 136). Тогда, согласно предыдущему, имеем:

∠ABD = ½ ∠AOD,
∠CBD = ½ ∠COD,

так как одна сторона углов ABD и CBD служит диаметром.

∠ABC = ∠ABD – ∠CBD = ½ ∠AOD – ½ ∠COD =
= ½ (∠AOD – ∠COD) = (∠AOD – ∠COD) / 2.

Но разность ∠AOD – ∠COD равна ∠AOC, следовательно, ∠ABC = ∠AOC / 2.

Итак, найденная зависимость справедлива для всех возможных случаев. Поэтому имеем:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

133. Если хорду AB (чер. 136) вращать по направлению от BC вокруг точки B, то вписанный угол ABC станет увеличиваться, но все время будет сохраняться найденная выше зависимость между вписанным и центральным углом. Наконец, прямая AB может сделаться касательною к кругу (чер. 137) и тогда получим ∠ABC, составленный хордою и касательною; если касательную продолжить, то получим другой такой же ∠DBC. Уже из того процесса вращения, которым мы перешли от вписанного угла к этому новому углу, видно, что угол, составленных хордою и касательною, являясь предельным случаем вписанного угла, должен подчиниться той же зависимости, которая была найдена в предыдущем п. для вписанного угла. Но возможно то же самое увидать иначе. Рассмотрим, например, ∠CBD (чер. 137). Построим диаметр MN ⊥ BC и соединим точку касания B с O; тогда BO ⊥ AD. Так как ∆KBO прямоугольный, то ∠KBO + ∠KOB = d, но ∠ABO = d или ∠ABK + ∠KBO = d. Отсюда заключаем, что ∠KOB = ∠ABK, так как каждый из этих углов дополняет один и тот же ∠KBO до прямого.

Но ∠CBD = выпрямленному углу – ∠ABK и ∠BON = выпрямленному углу – ∠KOB. Следовательно, ∠CBD = ∠BON = ∠COB / 2, где под именем ∠COB надо понимать угол, больший выпрямленного и который опирается на дугу CNB, то и ∠CMB равен половине того же центрального угла COB. Отсюда заключаем, что ∠CBD = ∠CMB. Также (еще проще) можно получить, что ∠ABC = ∠CNB (углы CMB и CNB на чертеже не даны). Этот результат можно выразить в следующей форме:

Угол, составленный хордой и касательной, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла.

134. Построим в круге O (чер. 138) диаметр AC и какой-либо вписанный ∠ABC, опирающийся на полуокружность ADC или, как часто говорят, опирающийся на диаметр AC.

Тогда ∠ABC = ½ ∠AOC, но ∠AOC выпрямленный; следовательно, ∠ABC = d, т. е.:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.

135. Построим в круге какую-либо хорду AB (чер. 139) и ряд вписанных углов, опирающихся на ◡AB: ∠C, ∠C1 и т. д.

Тогда каждый из этих углов равен половине центрального угла, опирающегося на дугу AB, и следовательно ∠C = ∠C1 = …

Этот результат можно истолковать в следующей форме. Пусть в точке C помещен наш глаз, тогда лучи зрения, идущие из глаза к концам отрезка AB, составляют ∠ACB, – говорят, что из точки C отрезок AB виден под углом ACB. Переместим наш глаз в точку C1; тогда отрезок AB будет виден под углом AC1B, который равен прежнему. Вообще, в какую бы точку дуги ACDB мы ни поместили наш глаз, отрезок AB будет виден все под таким же углом.

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку M, находящуюся внутри круга; тогда из этой точки отрезок AB будет виден под углом AMB, который уже неравен прежнему; продолжив AM до пересечения с окружностью в точке D и соединив D с B, получим ∆MBD, для которого ∠AMB есть внешний, и, следовательно, ∠AMB > ∠ADB или ∠AMB > ∠C (ибо ∠ADB = ∠C).

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку N вне круга. Чтобы упростить чертеж, возьмем точку N на продолжении прямой AD; тогда из точки N отрезок AB виден под углом ANB. Рассматривая ∆BDN, найдем ∠ADB > ∠N (ибо ∠ADB внешний для ∆BDN) или ∠N Геометрическим местом точек, из которых какой-либо отрезок виден под одним и тем же углом, есть дуга круга, проходящего чрез концы этого отрезка.

Если бы мы захотели рассмотреть точки и по другую сторону прямой AB, то нашли бы и с другой ее стороны такую же дугу, так что полное геометрическое место указанных точек состоит из двух дуг (см. чер. 140).

136. Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Пусть дан отрезок AB и угол m (чер. 141). Построим геометрическое место точек, из которых AB виден под углом m. Постараемся сначала найти одну точку этого места. Чрез точку A построим произвольный луч AN и на нем выберем произвольную точку M, при которой построим ∠AMC = ∠m. Тогда замечаем, что из нашей точки M виден под углом m не весь отрезок AB, а лишь его часть AC. Но теперь не трудно на луче AM найти такую точку, из которой весь отрезок AB виден под углом m, для чего следует построить чрез точку B прямую BN || CM, – точка N пересечения луча AN и BN и явится искомою точкою. Чтобы получить искомое геометрическое место, остается построить круг чрез точки A, N и B, что мы умеем делать (п. 113).

Вот другой способ построения того же геометрического места. При точке A (чер. 142) отрезка AB построим ∠BAD = m, затем построим чрез середину отрезка AB перпендикуляр CO к этому отрезку AO ⊥ AD; точка пересечения O этих двух перпендикуляров служит центром искомого круга; так как O лежит на CO, то круг, описанный радиусом OA, принимая O за центр, пройдет и чрез точку B; ∠AOC = ∠BAD = ∠m, ибо ∠AOC И ∠BAD каждый в отдельности дополняет ∠OAB до прямого, но ∠AOC есть половина центрального угла AOB; поэтому всякий вписанный ∠AMB должен равняться ∠AOC и, следовательно, = ∠m.

137. Упражнения. 1. Найти точки, из которых два данных отрезка видны под прямыми углами.
2. Найти точки, из которых два данных отрезка видны каждый под данным углом.
3. Построить треугольник по основанию, противолежащему углу и по высоте.
Треугольников, имеющих данное основание и данный противолежащий угол, можно построить бесчисленное множество: их вершины расположены на том же геометрическом месте точек, из которых данное основание видно под данным углом. Остается среди этих вершин выбрать те, которые удалены от основания на расстояние, равное данной высоте, для чего строим прямую, параллельную основанию и отстоящую от него на расстояние, равное данной высоте.
4. Построить треугольник по основанию, медиане и углу при вершине.

138. В круг O (чер. 143) впишем какой-либо четырехугольник (выпуклый), для чего возьмем 4 точки A, B, C и D круга и соединим их по порядку прямыми. Рассмотрим полученные вписанные углы. Построив радиусы OA и OC и называя 2 полученных центральных угла m и n, а именно ∠AOC, опирающийся на дугу ABC, обозначим m (он меньше выпрямленного) и ∠AOC, опирающийся на дугу ADC, обозначим n (он больше выпрямленного), найдем:

Сложением отсюда получим:

но углы m и n в сумме составляют два выпрямленных угла (что легко увидеть, продолжив, напр. сторону OC) или 4 прямых угла; поэтому (m + n) / 2 = выпрямленному углу = 2d и, следовательно, ∠D + ∠B = 2d.

То же можно получить и для суммы углов A и C. Поэтому имеем:

Во всяком вписанном в круг выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d.

Найденное свойство является необходимым признаком вписанного в круг четырехугольника, т. е., если 4-угольник вписан в круг, то необходимо, чтобы сумма двух противоположных углов = 2d. Посмотрим, достаточен ли этот признак для того, чтобы четырехугольник мог быть вписанным, или, другими словами, чтобы около него можно было бы описать круг (ведь, вообще говоря, через 4 произвольно взятых точки нельзя построить окружность, так как она определяется вполне тремя точками и может, следовательно, не пройти чрез четвертую точку).

Пусть имеем 4-угольник ABCD такой, что ∠B + ∠D = 2d (чер. 144). Прежде всего заметим, что тогда непременно сумма двух других углов, т. е. ∠A + ∠C, тоже равна 2d: в самом деле, мы имели (п. 81), что сумма всех четырех углов четырехугольника = 4d; так как ∠B + ∠D = 2d, то, следовательно, ∠A + ∠C = 2d.

Построим чрез три точки A, B и C круг, что делать умеем; возникает вопрос: пройдет ли он чрез точку D или нет? Допустим сначала, что точка D окажется вне круга и последний пересечет сторону AD в точке E. Соединив C и E, получим 4-угольник ABCE, вписанный в этот круг, и тогда имеем:

Сравнивая это равенство с данным, что ∠B + ∠D = 2d, придем к заключению, что ∠E = ∠D (суммы равны и одно слагаемое одинаковое, следовательно, и другие слагаемые равны), но этого быть не может, так как ∠E (точнее ∠AEC) есть внешний для ∆ECD, а ∠D внутренний.

Допустим, что точка D окажется внутри круга и последний пересечет продолжение стороны AD в точке F. Тогда ∠B + ∠F = 2d, так как 4-угольник ABCF вписанный. Сравнивая с данным равенством ∠B + ∠D = 2d, получим, что ∠D = ∠F, чего быть не может, так как ∠D есть внешний, а ∠F внутренний угол для ∆DCF.

Остается, следовательно, принять, что круг пройдет чрез точку D и что, следовательно, около данного четырехугольника можно описать круг. Итак:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать круг.

Четырехугольник, около которого можно описать круг, называют часто вписываемым.

Прямое и обратное заключение этого п. можно выразить в иной форме:

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был вписываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма его двух противоположных углов равнялась 2d .

Упражнения. 1. В каком случае около параллелограмма можно описать круг?
2. В каком случае можно описать круг около трапеции?

139. Задача. Построить касательную к данному кругу чрез точку, данную вне круга.
Пусть дан круг O и точка A вне его (чер. 145). Требуется чрез A построить касательную к кругу.

Соединив центр круга O с данною точкою A, примем отрезок OA за диаметр нового круга. Построив этот второй круг (его центр есть середина отрезка OA), найдем его точки пересечения B и C с первым. Тогда прямые AB и AC служат касательными из точки A к кругу O.

В самом деле, соединив B с O, получим ∠OBA, вписанный во второй круг и опирающийся на его диаметр OA; такой угол прямой (п. 134), следовательно, AB ⊥ OB, а этого достаточно для того, чтобы прямая AB была касательной к кругу (п. 118). Также выясним, что AC есть касательная к кругу O.

OA есть линия центров наших кругов, поэтому она является осью симметрии всей фигуры: перегибая фигуру по оси OA, найдем, что B совместится с C и AB с AC, т. е. AB = AC. Итак, имеем:

Чрез точку, взятую вне круга, можно построить две касательных к этому кругу, и отрезки их от данной точки до точек касания равны между собою.

140. Построим треугольник, описанный около круга; для этого возьмем 4 точки A, B, C и D данного круга (чер. 146) и построим чрез эти точки касательные к кругу, точки пересечения M, N, P и Q последовательных касательных служат вершинами этого четырехугольника.

Выбор 4 точек A, B, C и D несколько ограничен: две соседних точки не должны лежать на одном диаметре круга; напр., если бы точки B и C были концами одного диаметра, то касательные в них были бы параллельны и вершины N нельзя было бы найти.

Применяя к полученному описанному 4-угольнику MNPQ свойство касательных предыдущего п., найдем:

MA = MB = a; NB = NC = b; PC = PD = C; QD = QA = d,

где мы ввели обозначения a, b, c и d для четырех пар отрезков, равных между собой.

Мы можем скомбинировать 8 полученных отрезков в две группы, по 4 в каждой, равных попарно отрезков. Такая комбинация напрашивается сама собою. Возьмем сумму двух противоположных сторон четырехугольника:

MN + PQ = MB + BN + PD + DQ = a + b + c + d.

Также для двух других сторон найдем:

QM + PN = QA + AM + NC + CP = d + a + b + c.

т. е. сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна сумме двух других сторон.

Найденное свойство является необходимым признаком описанного 4-угольника, т. е., если 4-угольник описан около круга, то необходимо должно иметь место найденное свойство.

Посмотрим, является ли это свойство достаточным признаком для того, чтобы при его наличности этот четырехугольник мог бы быть рассматриваем, как описанный около круга, т. е. достаточно ли этого свойства для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать круг (вписать круг в 4-угольник значит построить такой круг, который касался бы всех четырех его сторон).

Пусть имеем 4-угольник MNPQ (чер. 147), у которого

Построим круг, касающийся прямых MQ, MN и NP, чтобы его центр лежал внутри полосы QMNP (п. 125 задача 4). Возникает вопрос, коснется ли этот круг стороны QP?

Допустим, что круг не коснется стороны QP и расположится внутри 4-угольника QMNP. Тогда, построив чрез Q вторую касательную QR к кругу, которая пересечет сторону NP в точке R, получим описанный 4-угольник QMNR, для которого имеем:

Вычитая это равенство по частям из данного, найдем:

QP – QR = NP – NR или QP – QR = RP.

Но это равенство противоречит свойству треугольника RPQ (п. 91), согласно которому должны иметь

Допустим затем, что круг пересекает сторону QP. Тогда касательная к этому кругу чрез точку Q займет положение QS и пересечет сторону NP в точке S. Из описанного 4-угольника QMNS имеем:

Вычитая отсюда данное равенство MN + QP = MQ + NP по частям, получим:

QS – QP = NS – NP или QS – QP = PS,

что опять-таки невозможно, так как из треугольника SQP имеем:

Поэтому остается принять, что построенный нами круг касается и стороны QP, т. е. в наш 4-угольник удалось вписать круг. Итак:
Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна сумме двух других его противоположных сторон, то в такой четырехугольник можно вписать круг.

Четырехугольник, в который можно вписать круг, называют описываемым. Прямое и обратное заключение этого пункта можно выразить в такой форме:

Для того, чтобы четырехугольник был описываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма одной пары его противоположных сторон равнялась сумме другой пары.

Упражнения. 1. Найти необходимый и достаточный признак того, чтобы параллелограмм был описываемым.

2. Пусть около данной трапеции можно описать круг и в нее можно вписать круг. Показать, что каждая из непараллельных сторон этой трапеции равна ее средней линии.

141. Упражнения на всю главу.

1. Свойство углов вписанного в круг 4-угольника, найденное в п. 138, можно выяснить иным способом. Построим диагональ BD (чер. 143) четырехугольника и касательную MN к кругу в точке B. Тогда ∠ADC = ∠MBA + ∠NBC (на осн. п. 133). Отсюда можно увидать, что ∠B + ∠D = выпрямленному углу (на чер. 143 BD и MN не даны).
2. Геометрическим местом середин хорд, проходящих чрез данную точку внутри данного круга, служит другой круг, диаметр которого есть прямолинейный отрезок между центром данного круга и данною точкою.
3. Отрезки прямых, проходящих чрез точку пересечения двух кругов, ограниченные двумя другими точками пересечения с этими кругами, видны из другой точки пересечения кругов под одним и тем же углом.
   Следует построить 2 таких отрезка и углы, под которыми они видны из другой точки; тогда можно заметить, что каждый из углов слагается из двух других углов: одно слагаемое общее и другие слагаемые равны между собою.
4. Найти точку, из которой стороны треугольника видны под равными углами.
   (Надо суметь построить угол = 1(1/3)d.)
5. Около треугольника описан круг; из какой-либо точки этого круга опущены перпендикуляры на его стороны. Основания всех трех перпендикуляров расположены на одной прямой (прямая Симсона).
   Надо найти четырехугольник, около которых можно описать круги, и рассмотреть полученные вписанные углы.
6. Биссекторы внутренних углов какого-либо четырехугольника образуют, пересекаясь, вписываемый 4-угольник.

Видео:Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Видео:Диагностический вариант 4 ЕГЭ по профильной математике. Уровень ЕГЭ 2024Скачать

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

Видео:Как отмерить прямой угол в помещении или на местности без угольникаСкачать

Сопряжения

В этой небольшой статье, будут рассмотрены основные виды сопряжений и Вы узнаете о том, как построить сопряжение углов, прямых линий, окружностей и дуг, окружностей с прямой.

Сопряжением называют плавный переход одной линии в другую. Для того чтобы построить сопряжение, нужно найти центр сопряжения и точки сопряжений.

Точка сопряжения – это общая точка для сопрягаемых линий. Точку сопряжения также называют точкой перехода.

Ниже будут рассмотрены основные типы сопряжений.

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Сопряжение углов (Сопряжение пересекающихся прямых)

Сопряжение прямого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под прямым углом)

В данном примере будет рассмотрено построение сопряжения прямого угла заданным радиусом сопряжения R. Первым делом найдём точки сопряжения. Для нахождения точек сопряжения, нужно поставить циркуль в вершину прямого угла и провести дугу радиусом R до пересечения со сторонами угла. Полученные точки и будут являться точками сопряжения. Далее нужно найти центр сопряжения. Центром сопряжения будет точка равноудалённая от сторон угла. Проведём из точек a и b две дуги радиусом сопряжения R до пересечения друг с другом. Полученная на пересечении точка О и будет центром сопряжения. Теперь из центра сопряжения точки О описываем дугу радиусом сопряжения R от точки a до точки b. Сопряжение прямого угла построено.

Сопряжение острого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под острым углом)

Ещё один пример сопряжения угла. В этом примере будет построено сопряжение
острого угла. Для построения сопряжения острого угла раствором циркуля,равным радиусу сопряжения R, проведём из двух произвольных точек на каждой стороне угла по две дуги. Затем проведём касательные к дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Из полученного центра сопряжения опустим перпендикуляр к каждой из сторон угла. Так мы получим точки сопряжения a и b. Затем проведём из центра сопряжения, точки О, дугу радиусом сопряжения R, соединив точки сопряжения a
и b. Сопряжение острого угла построено.

Сопряжение тупого угла(Сопряжение пересекающихся прямых под тупым углом)

Сопряжение тупого угла строится по аналогии с сопряжением острого угла. Мы также, сначала радиусом сопряжения R проводим по две дуги из двух произвольно взятых точек на каждой из сторон, а затем проводим касательные к этим дугам до пересечения в точке О, центре сопряжения. Затем опускаем перпендикуляры из центра сопряжения к каждой из сторон и соединяем дугой, равной радиусу сопряжения тупого угла R, полученные точки a и b.

Видео:Сопряжение прямого углаСкачать

Сопряжение параллельных прямых линий

Построим сопряжение двух параллельных прямых. Нам задана точка сопряжения a, лежащая на одной прямой. Из точки a проведём перпендикуляр до пересечения его с другой прямой в точке b. Точки a и b являются точками сопряжения прямых линий. Проведя из каждой точки дугу, радиусом больш отрезка ab, найдём центр сопряжения — точку О. Из центра сопряжения проведём дугу заданного радиуса сопряжения R.

Видео:Построение угла с помощью транспортираСкачать

Сопряжение окружностей(дуг) с прямой линией

Внешнее сопряжение дуги и прямой линии

В этом примере будет построено сопряжение заданным радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиусом R.

Сначала найдём центр сопряжения. Для этого проведём прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса сопряжения r, и дугу, из центра окружности O R радиусом R+r. Точка пересечения дуги и прямой и будет центром сопряжения – точкой О r .

Из центра сопряжения, точки О r , опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на пересечении перпендикуляра и отрезка AB, и будет точкой сопряжения. Найдём вторую точку сопряжения на дуге окружности. Для этого соединим центр окружности О R и центр сопряжения О r линией. Получим вторую точку сопряжения – точку C. Из центра сопряжения проведём дугу сопряжения радиусом r, соединив точки сопряжения.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

По аналогии строится внутреннее сопряжение прямой линии с дугой. Рассмотрим пример построения сопряжения радиусом r прямой линии, заданной отрезком AB, и дуги окружности радиуса R. Найдём центр сопряжения. Для этого построим прямую, параллельную отрезку AB и отстоящую от него на расстояние радиуса r, и дугу, из центра окружности O R радиусом R-r. Точка О r , полученная на пересечении прямой и дуги, и будет центром сопряжения.

Из центра сопряжения(точка О r ) опустим перпендикуляр на прямую AB. Точка D, полученная на основании перпендикуляра, и будет точкой сопряжения.

Для нахождения второй точки сопряжения на дуге окружности, соединим центр сопряжения Оr и центр окружности О R прямой линией. На пересечении линии с дугой окружности получим вторую точку сопряжения – точку C. Из точки О r , центра сопряжения, проведём дугу радиусом r, соединив точки сопряжения.

Видео:Построение угла равного данномуСкачать

Сопряжение окружностей (дуг)

Внешнее сопряжение дуг окружностей

Внешним сопряжением считается сопряжение, при котором центры сопрягаемых окружностей(дуг) O1( радиус R1) и O2 (радиус R2) располагаются за сопрягающей дугой радиуса R. На примере рассмотрено внешнее сопряжение дуг. Сначала находим центр сопряжения. Центром сопряжения является точка пересечения дуг окружностей с радиусами R+R1 и R+R2, построенных из центров окружностей O1(R1) и O2(R2) соответственно. Затем центры окружностей O1 и O2 соединяем прямыми с центром сопряжения, точкой O, и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. После этого, из центра сопряжения строим дугу заданного радиуса сопряжения R и соединяем ей точки A и B.

Внутреннее сопряжение дуг окружностей

Внутренним сопряжением называется сопряжение, при котором центры сопрягаемых дуг O1, радиуса R1, и O2, радиус R2, располагаются внутри сопрягающей их дуги заданного радиуса R. На картинке ниже приведён пример построения внутреннего сопряжения окружностей(дуг). Вначале мы находим центр сопряжения, которым является точка O, точка пересечения дуг окружностей с радиусами R-R1 и R-R2 проведённых из центров окружностей O1и O2 соответственно. После чего соединяем центры окружностей O1 и O2 прямыми линиями с центром сопряжения и на пересечении линий с окружностями O1 и O2 получаем точки сопряжения A и B. Затем из центра сопряжения строим дугу сопряжения радиуса R и строим сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг окружностей

Смешанным сопряжением дуг является сопряжение, при котором центр одной из сопрягаемых дуг (O1) лежит за пределами сопрягающей их дуги радиуса R, а центр другой окружности(O2) – внутри её. На иллюстрации ниже приведён пример смешанного сопряжения окружностей. Сначала находим центр сопряжения, точку O. Для нахождения центра сопряжения строим дуги окружностей с радиусами R+R1, из центра окружности радиуса R1 точки O1, и R-R2, из центра окружности радиуса R2 точки O2. После чего соединяем центр сопряжения точку O с центрами окружностей O1 и O2 прямыми и на пересечении с линиями соответствующих окружностей получаем точки сопряжения A и B. Затем строим сопряжение.

Видео:Измерение угла с помощью транспортираСкачать

Математика

132. Мы уже знакомы с центральными углами. Построим теперь угол, вершина которого лежит на окружности и сторонами служат хорды. Такой угол называется вписанным в круг. Пусть построен ∠ABC (чер. 135, I или II), вписанный в круг O. Он опирается на дугу AC. Построим еще центральный ∠AOC, опирающийся на ту же дугу. Тогда между ∠ABC и ∠AOC существует простая зависимость. Для ее выяснения построим диаметр DB — мы будем сначала рассматривать случай, когда этот диаметр идет внутри ∠ABC, – получим два равнобедренных треугольника — ∆AOB и ∆BOC, у которых углы при основании равны: на чертеже равные углы обозначены одним и тем же нумером, – ∠A = ∠ABO = ∠1 и ∠C = ∠CBO = ∠2.

Тогда ∠AOD является внешним для ∆AOB, и он равен сумме внутренних с ним несмежных, т. е.

Также ∠DOC есть внешний для ∆BOC и, следовательно,

Отсюда сложением находим:

∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 2∠B, где под обозначением ∠B понимаем ∠ABC.

∠AOC = 2∠ABC
или ∠ABC = ½ ∠AOC = ∠AOC / 2.

Если одна из сторон вписанного угла проходила бы чрез центр, то дело упрощалось бы и еще скорее получилась бы та же зависимость. Например, для вписанного угла ABD:

∠AOD = 2∠1 = 2∠ABD или ∠ABD = ½ ∠AOD = ∠AOD / 2.

Рассмотрим теперь случай, когда диаметр BD проходит вне угла ABC (чер. 136). Тогда, согласно предыдущему, имеем:

∠ABD = ½ ∠AOD,
∠CBD = ½ ∠COD,

так как одна сторона углов ABD и CBD служит диаметром.

∠ABC = ∠ABD – ∠CBD = ½ ∠AOD – ½ ∠COD =
= ½ (∠AOD – ∠COD) = (∠AOD – ∠COD) / 2.

Но разность ∠AOD – ∠COD равна ∠AOC, следовательно, ∠ABC = ∠AOC / 2.

Итак, найденная зависимость справедлива для всех возможных случаев. Поэтому имеем:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

133. Если хорду AB (чер. 136) вращать по направлению от BC вокруг точки B, то вписанный угол ABC станет увеличиваться, но все время будет сохраняться найденная выше зависимость между вписанным и центральным углом. Наконец, прямая AB может сделаться касательною к кругу (чер. 137) и тогда получим ∠ABC, составленный хордою и касательною; если касательную продолжить, то получим другой такой же ∠DBC. Уже из того процесса вращения, которым мы перешли от вписанного угла к этому новому углу, видно, что угол, составленных хордою и касательною, являясь предельным случаем вписанного угла, должен подчиниться той же зависимости, которая была найдена в предыдущем п. для вписанного угла. Но возможно то же самое увидать иначе. Рассмотрим, например, ∠CBD (чер. 137). Построим диаметр MN ⊥ BC и соединим точку касания B с O; тогда BO ⊥ AD. Так как ∆KBO прямоугольный, то ∠KBO + ∠KOB = d, но ∠ABO = d или ∠ABK + ∠KBO = d. Отсюда заключаем, что ∠KOB = ∠ABK, так как каждый из этих углов дополняет один и тот же ∠KBO до прямого.

Но ∠CBD = выпрямленному углу – ∠ABK и ∠BON = выпрямленному углу – ∠KOB. Следовательно, ∠CBD = ∠BON = ∠COB / 2, где под именем ∠COB надо понимать угол, больший выпрямленного и который опирается на дугу CNB, то и ∠CMB равен половине того же центрального угла COB. Отсюда заключаем, что ∠CBD = ∠CMB. Также (еще проще) можно получить, что ∠ABC = ∠CNB (углы CMB и CNB на чертеже не даны). Этот результат можно выразить в следующей форме:

Угол, составленный хордой и касательной, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла.

134. Построим в круге O (чер. 138) диаметр AC и какой-либо вписанный ∠ABC, опирающийся на полуокружность ADC или, как часто говорят, опирающийся на диаметр AC.

Тогда ∠ABC = ½ ∠AOC, но ∠AOC выпрямленный; следовательно, ∠ABC = d, т. е.:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.

135. Построим в круге какую-либо хорду AB (чер. 139) и ряд вписанных углов, опирающихся на ◡AB: ∠C, ∠C1 и т. д.

Тогда каждый из этих углов равен половине центрального угла, опирающегося на дугу AB, и следовательно ∠C = ∠C1 = …

Этот результат можно истолковать в следующей форме. Пусть в точке C помещен наш глаз, тогда лучи зрения, идущие из глаза к концам отрезка AB, составляют ∠ACB, – говорят, что из точки C отрезок AB виден под углом ACB. Переместим наш глаз в точку C1; тогда отрезок AB будет виден под углом AC1B, который равен прежнему. Вообще, в какую бы точку дуги ACDB мы ни поместили наш глаз, отрезок AB будет виден все под таким же углом.

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку M, находящуюся внутри круга; тогда из этой точки отрезок AB будет виден под углом AMB, который уже неравен прежнему; продолжив AM до пересечения с окружностью в точке D и соединив D с B, получим ∆MBD, для которого ∠AMB есть внешний, и, следовательно, ∠AMB > ∠ADB или ∠AMB > ∠C (ибо ∠ADB = ∠C).

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку N вне круга. Чтобы упростить чертеж, возьмем точку N на продолжении прямой AD; тогда из точки N отрезок AB виден под углом ANB. Рассматривая ∆BDN, найдем ∠ADB > ∠N (ибо ∠ADB внешний для ∆BDN) или ∠N Геометрическим местом точек, из которых какой-либо отрезок виден под одним и тем же углом, есть дуга круга, проходящего чрез концы этого отрезка.

Если бы мы захотели рассмотреть точки и по другую сторону прямой AB, то нашли бы и с другой ее стороны такую же дугу, так что полное геометрическое место указанных точек состоит из двух дуг (см. чер. 140).

136. Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Пусть дан отрезок AB и угол m (чер. 141). Построим геометрическое место точек, из которых AB виден под углом m. Постараемся сначала найти одну точку этого места. Чрез точку A построим произвольный луч AN и на нем выберем произвольную точку M, при которой построим ∠AMC = ∠m. Тогда замечаем, что из нашей точки M виден под углом m не весь отрезок AB, а лишь его часть AC. Но теперь не трудно на луче AM найти такую точку, из которой весь отрезок AB виден под углом m, для чего следует построить чрез точку B прямую BN || CM, – точка N пересечения луча AN и BN и явится искомою точкою. Чтобы получить искомое геометрическое место, остается построить круг чрез точки A, N и B, что мы умеем делать (п. 113).

Вот другой способ построения того же геометрического места. При точке A (чер. 142) отрезка AB построим ∠BAD = m, затем построим чрез середину отрезка AB перпендикуляр CO к этому отрезку AO ⊥ AD; точка пересечения O этих двух перпендикуляров служит центром искомого круга; так как O лежит на CO, то круг, описанный радиусом OA, принимая O за центр, пройдет и чрез точку B; ∠AOC = ∠BAD = ∠m, ибо ∠AOC И ∠BAD каждый в отдельности дополняет ∠OAB до прямого, но ∠AOC есть половина центрального угла AOB; поэтому всякий вписанный ∠AMB должен равняться ∠AOC и, следовательно, = ∠m.

137. Упражнения. 1. Найти точки, из которых два данных отрезка видны под прямыми углами.
2. Найти точки, из которых два данных отрезка видны каждый под данным углом.
3. Построить треугольник по основанию, противолежащему углу и по высоте.
Треугольников, имеющих данное основание и данный противолежащий угол, можно построить бесчисленное множество: их вершины расположены на том же геометрическом месте точек, из которых данное основание видно под данным углом. Остается среди этих вершин выбрать те, которые удалены от основания на расстояние, равное данной высоте, для чего строим прямую, параллельную основанию и отстоящую от него на расстояние, равное данной высоте.
4. Построить треугольник по основанию, медиане и углу при вершине.

138. В круг O (чер. 143) впишем какой-либо четырехугольник (выпуклый), для чего возьмем 4 точки A, B, C и D круга и соединим их по порядку прямыми. Рассмотрим полученные вписанные углы. Построив радиусы OA и OC и называя 2 полученных центральных угла m и n, а именно ∠AOC, опирающийся на дугу ABC, обозначим m (он меньше выпрямленного) и ∠AOC, опирающийся на дугу ADC, обозначим n (он больше выпрямленного), найдем:

Сложением отсюда получим:

но углы m и n в сумме составляют два выпрямленных угла (что легко увидеть, продолжив, напр. сторону OC) или 4 прямых угла; поэтому (m + n) / 2 = выпрямленному углу = 2d и, следовательно, ∠D + ∠B = 2d.

То же можно получить и для суммы углов A и C. Поэтому имеем:

Во всяком вписанном в круг выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d.

Найденное свойство является необходимым признаком вписанного в круг четырехугольника, т. е., если 4-угольник вписан в круг, то необходимо, чтобы сумма двух противоположных углов = 2d. Посмотрим, достаточен ли этот признак для того, чтобы четырехугольник мог быть вписанным, или, другими словами, чтобы около него можно было бы описать круг (ведь, вообще говоря, через 4 произвольно взятых точки нельзя построить окружность, так как она определяется вполне тремя точками и может, следовательно, не пройти чрез четвертую точку).

Пусть имеем 4-угольник ABCD такой, что ∠B + ∠D = 2d (чер. 144). Прежде всего заметим, что тогда непременно сумма двух других углов, т. е. ∠A + ∠C, тоже равна 2d: в самом деле, мы имели (п. 81), что сумма всех четырех углов четырехугольника = 4d; так как ∠B + ∠D = 2d, то, следовательно, ∠A + ∠C = 2d.

Построим чрез три точки A, B и C круг, что делать умеем; возникает вопрос: пройдет ли он чрез точку D или нет? Допустим сначала, что точка D окажется вне круга и последний пересечет сторону AD в точке E. Соединив C и E, получим 4-угольник ABCE, вписанный в этот круг, и тогда имеем:

Сравнивая это равенство с данным, что ∠B + ∠D = 2d, придем к заключению, что ∠E = ∠D (суммы равны и одно слагаемое одинаковое, следовательно, и другие слагаемые равны), но этого быть не может, так как ∠E (точнее ∠AEC) есть внешний для ∆ECD, а ∠D внутренний.

Допустим, что точка D окажется внутри круга и последний пересечет продолжение стороны AD в точке F. Тогда ∠B + ∠F = 2d, так как 4-угольник ABCF вписанный. Сравнивая с данным равенством ∠B + ∠D = 2d, получим, что ∠D = ∠F, чего быть не может, так как ∠D есть внешний, а ∠F внутренний угол для ∆DCF.

Остается, следовательно, принять, что круг пройдет чрез точку D и что, следовательно, около данного четырехугольника можно описать круг. Итак:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать круг.

Четырехугольник, около которого можно описать круг, называют часто вписываемым.

Прямое и обратное заключение этого п. можно выразить в иной форме:

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был вписываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма его двух противоположных углов равнялась 2d .

Упражнения. 1. В каком случае около параллелограмма можно описать круг?
2. В каком случае можно описать круг около трапеции?

139. Задача. Построить касательную к данному кругу чрез точку, данную вне круга.
Пусть дан круг O и точка A вне его (чер. 145). Требуется чрез A построить касательную к кругу.

Соединив центр круга O с данною точкою A, примем отрезок OA за диаметр нового круга. Построив этот второй круг (его центр есть середина отрезка OA), найдем его точки пересечения B и C с первым. Тогда прямые AB и AC служат касательными из точки A к кругу O.

В самом деле, соединив B с O, получим ∠OBA, вписанный во второй круг и опирающийся на его диаметр OA; такой угол прямой (п. 134), следовательно, AB ⊥ OB, а этого достаточно для того, чтобы прямая AB была касательной к кругу (п. 118). Также выясним, что AC есть касательная к кругу O.

OA есть линия центров наших кругов, поэтому она является осью симметрии всей фигуры: перегибая фигуру по оси OA, найдем, что B совместится с C и AB с AC, т. е. AB = AC. Итак, имеем:

Чрез точку, взятую вне круга, можно построить две касательных к этому кругу, и отрезки их от данной точки до точек касания равны между собою.

140. Построим треугольник, описанный около круга; для этого возьмем 4 точки A, B, C и D данного круга (чер. 146) и построим чрез эти точки касательные к кругу, точки пересечения M, N, P и Q последовательных касательных служат вершинами этого четырехугольника.

Выбор 4 точек A, B, C и D несколько ограничен: две соседних точки не должны лежать на одном диаметре круга; напр., если бы точки B и C были концами одного диаметра, то касательные в них были бы параллельны и вершины N нельзя было бы найти.

Применяя к полученному описанному 4-угольнику MNPQ свойство касательных предыдущего п., найдем:

MA = MB = a; NB = NC = b; PC = PD = C; QD = QA = d,

где мы ввели обозначения a, b, c и d для четырех пар отрезков, равных между собой.

Мы можем скомбинировать 8 полученных отрезков в две группы, по 4 в каждой, равных попарно отрезков. Такая комбинация напрашивается сама собою. Возьмем сумму двух противоположных сторон четырехугольника:

MN + PQ = MB + BN + PD + DQ = a + b + c + d.

Также для двух других сторон найдем:

QM + PN = QA + AM + NC + CP = d + a + b + c.

т. е. сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна сумме двух других сторон.

Найденное свойство является необходимым признаком описанного 4-угольника, т. е., если 4-угольник описан около круга, то необходимо должно иметь место найденное свойство.

Посмотрим, является ли это свойство достаточным признаком для того, чтобы при его наличности этот четырехугольник мог бы быть рассматриваем, как описанный около круга, т. е. достаточно ли этого свойства для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать круг (вписать круг в 4-угольник значит построить такой круг, который касался бы всех четырех его сторон).

Пусть имеем 4-угольник MNPQ (чер. 147), у которого

Построим круг, касающийся прямых MQ, MN и NP, чтобы его центр лежал внутри полосы QMNP (п. 125 задача 4). Возникает вопрос, коснется ли этот круг стороны QP?

Допустим, что круг не коснется стороны QP и расположится внутри 4-угольника QMNP. Тогда, построив чрез Q вторую касательную QR к кругу, которая пересечет сторону NP в точке R, получим описанный 4-угольник QMNR, для которого имеем:

Вычитая это равенство по частям из данного, найдем:

QP – QR = NP – NR или QP – QR = RP.

Но это равенство противоречит свойству треугольника RPQ (п. 91), согласно которому должны иметь

Допустим затем, что круг пересекает сторону QP. Тогда касательная к этому кругу чрез точку Q займет положение QS и пересечет сторону NP в точке S. Из описанного 4-угольника QMNS имеем:

Вычитая отсюда данное равенство MN + QP = MQ + NP по частям, получим:

QS – QP = NS – NP или QS – QP = PS,

что опять-таки невозможно, так как из треугольника SQP имеем:

Поэтому остается принять, что построенный нами круг касается и стороны QP, т. е. в наш 4-угольник удалось вписать круг. Итак:
Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна сумме двух других его противоположных сторон, то в такой четырехугольник можно вписать круг.

Четырехугольник, в который можно вписать круг, называют описываемым. Прямое и обратное заключение этого пункта можно выразить в такой форме:

Для того, чтобы четырехугольник был описываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма одной пары его противоположных сторон равнялась сумме другой пары.

Упражнения. 1. Найти необходимый и достаточный признак того, чтобы параллелограмм был описываемым.

2. Пусть около данной трапеции можно описать круг и в нее можно вписать круг. Показать, что каждая из непараллельных сторон этой трапеции равна ее средней линии.

141. Упражнения на всю главу.

1. Свойство углов вписанного в круг 4-угольника, найденное в п. 138, можно выяснить иным способом. Построим диагональ BD (чер. 143) четырехугольника и касательную MN к кругу в точке B. Тогда ∠ADC = ∠MBA + ∠NBC (на осн. п. 133). Отсюда можно увидать, что ∠B + ∠D = выпрямленному углу (на чер. 143 BD и MN не даны).
2. Геометрическим местом середин хорд, проходящих чрез данную точку внутри данного круга, служит другой круг, диаметр которого есть прямолинейный отрезок между центром данного круга и данною точкою.
3. Отрезки прямых, проходящих чрез точку пересечения двух кругов, ограниченные двумя другими точками пересечения с этими кругами, видны из другой точки пересечения кругов под одним и тем же углом.
   Следует построить 2 таких отрезка и углы, под которыми они видны из другой точки; тогда можно заметить, что каждый из углов слагается из двух других углов: одно слагаемое общее и другие слагаемые равны между собою.
4. Найти точку, из которой стороны треугольника видны под равными углами.
   (Надо суметь построить угол = 1(1/3)d.)
5. Около треугольника описан круг; из какой-либо точки этого круга опущены перпендикуляры на его стороны. Основания всех трех перпендикуляров расположены на одной прямой (прямая Симсона).
   Надо найти четырехугольник, около которых можно описать круги, и рассмотреть полученные вписанные углы.
6. Биссекторы внутренних углов какого-либо четырехугольника образуют, пересекаясь, вписываемый 4-угольник.

💥 Видео

Построение биссектрисы углаСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Центр кругаСкачать

Построение углов заданной градусной мерыСкачать

Найти центр кругаСкачать

Скрытые возможности обычного угольника! А вы их знали?Скачать

Классный способ для разметки любого угла без транспортира.Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать