В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:
По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть AM1, BM2, СM3 — медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM1, BM2 и СM3 пересекаются в одной точке.
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR — точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите
По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Перемножая почленно полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.
В треугольнике АВС AD — медиана, точка O — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Пусть A1, B1и C1 — точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA1, BB1и CC1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C1B = BA1 = x, AC1 = CB1 = y, BA1 = AC1 = z.
Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.
Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.
Вот наш треугольник:
Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:
Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.
Пусть AC = x, BK = 2x.
Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.
Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.
Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.
Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.
следовательно, . Пусть LO = 3,5z, OC = z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5n = 4,5z. Тогда MC = 2n = z.
Отсюда MO = MC-CO = z-z = z
Отсюда CO:OM = z:z = 5:4 = 1,25.
Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:
Запишем теорему Менелая для этого треугольника:
Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.
Видео:Геометрия Через вершину B треугольника ABC проведите две прямые так, чтобы они разбили данныйСкачать
Применение теорем Чевы и Менелая
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Таким образом, если в треугольнике АВС X, Y и Z- точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки АX, ВY, СZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему:
Если три чевианы АX, ВY, СZ ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то
Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.
Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.
( Ссылаясь на рисунок, мы имеем
Теперь, если мы перемножим их, то получим
Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение
Решение. По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть МА = АС = b,
BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая
Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение. Пусть BD = DC = a, KD = m; тогда AK = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС.
Необходимо найти отношение
Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то
По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей PB имеем:
В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4.
А1 ,В1и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС,АС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР:РА1.
Решение. Пусть С1В = x, тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введем обозначения : ВА1=ВС1=х, А1С = СВ1= 5-х, АВ1= АС1= 8-х.
В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая
В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение ВQ:QB1.
Решение. Треугольник АВС – разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.
1. Пусть С1В = x,тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введём обозначения:
( 13-x ) + ( 12-x ) = 9, x = 8.
Значит, С1В = 8, АС1 = 5.
2. По формуле Герона
3. Из треугольника АВВ1( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ1 =
4. В треугольнике АВВ1 прямая СС1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая
Стороны треугольника 5,6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Решение. Пусть в треугольнике АВС, АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Необходимо найти АО:ОD. Так как AD – биссектриса треугольника АВС, то то есть BD = 5k, DC = 6k.
Так как BF – биссектриса треугольника АВС, то то есть AF = 5m, FC = 7m.
Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая
Биссектрисы BF и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если
Решение. Пусть АВ = a, тогда АС =
АD- биссектриса треугольника АВС, тогда то есть BD = 2p,DC = 3p.
ВЕ – биссектриса треугольника АВС, тогда
В треугольнике ВЕС прямая АD пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая то есть EQ = 9m,QB = 14m.
Треугольники QBD и EBC имеют общий угол, значит,
Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит, тогда
В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние. Найдите длину стороны АВ.
Решение. 1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины В. тогда
2. Прямая КС пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая то есть BQ = 4p, QL = p.
3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит, тогда
В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК:ВК = 1:2, CL:BL = 2:1. Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 1)
В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 2) то есть МС = 4p, AM =p.
2. Ещё раз перепишем равенство (1):
то есть MQ = 2l, QB = 5l.
3. Треугольники BQC и MBC имею общий угол, значит, тогда
4. Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит,
На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К, АК = 1, КС = 3.
На стороне АВ взята точка L. AL:LB = 2:3. Q – точка пересечения прямых ВК и CL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В.
Решение. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC. По теореме Менелая то есть LQ = 1p, QC = 5p.
1) Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,
2) Треугольники АВС и ALC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, значит,
Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника QMCD.
Решение. так как СО – медиана треугольника BCD, значит, делит треугольник BCD на два равновеликих треугольника.
1) МА пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ВОС, значит, по теореме Менелая откуда
2) Треугольники BQM и BOC имеют общий угол, значит
В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Решение. Пусть ВC = a, AD = b. Необходимо найти
Пусть Q – точка пересечения прямых ВС и АК.
1) По теореме Менелая для треугольника BCD и секущей AQ имеем
2) ( по двум углам ), тогда
Так как a =BC, b = AD,то
На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, а на стороне PQ – точка В так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
Решение. Проведём прямую Ав. Пусть она пересекает MQ в точке F. Пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D.
тогда откуда тогда откуда
Из треугольника APB ( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ =
Из треугольника QBF (прямоугольного ) по теореме Пифагора BF =
Из треугольника AFM по теореме Менелая
1. Для решения задач необходимо научиться находить на рисунке треугольник, удовлетворяющий теореме Менелая.
2. При составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.
Значимость данной работы:
При решении задач ( в работе их представлено 12 ) мы пришли вывод, что:
А) теоремы Чевы и Менелая позволяют легко и изящно решать целый класс задач;
Б) наша работа может быть использована для проведение практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Даны две стороны треугольника ANK и высота NL, проведённая к стороне AK.
Даны следующие возможные шаги построения треугольника:
1. провести прямую.
3. Провести отрезок.
4. Провести окружность с данным центром и радиусом.
5. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
6. Построить угол, равный данному.
7. Построить биссектрису угла.
8. Построить перпендикулярную прямую.
9. Построить середину отрезка.
1. Напиши, в каком порядке следует выполнить данные шаги в этом задании
(один и тот же шаг может повторяться, номер шага запиши без точки):
📺 Видео
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Построение треугольника по углу и двум сторонам. 7 класс.Скачать
№475. Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделилиСкачать
№195. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощьюСкачать
Найти площадь по двум сторонам и медианеСкачать
№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Параллельные прямые (задачи).Скачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
№244. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АССкачать
Теорема Фалеса | Задачи 1-7 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классСкачать
Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Дополнительные построения с параллелограммом | Задачи 1-10 | Решение задач | ВолчкевичСкачать
Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать
