Отрезок прямой параллельной плоскости проекций изображается на ней точкой

1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
2. Отложим на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
5. Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

Видео:Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).

Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

• горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
• фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
• профильный след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

• горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
• фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
• профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
2. Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
2. Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

• параллельными;
• пересекающимися;
• скрещивающимися.

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

Видео:УГЛЫ НАКЛОНА ЛИНИИ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ. ДЛИНА ОТРЕЗКА В ПРОСТРАНСТВЕ. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯСкачать

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

Видео:Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π₁, равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

Видео:Проецирование точки на три плоскости проекцийСкачать

Отрезок прямой параллельной плоскости проекций изображается на ней точкой

Прямая линия А В определяется двумя точками, которые находятся на концах отрезка. Прямоугольную проекцию отрезка А В можно построить следующим образом (рис. 89, а).

Опустив перпендикуляры из точек и на плоскость Н, получим проекции а и b этих точек. Соединив точки а и b прямой линией, получим искомую горизонтальную проекцию отрезка А В.

Если взять на отрезке прямой линии АВ точки А, С, D, Е, В (рис. 89, б) и из каждой точки опустить перпендикуляры на плоскость Н,то совокупность этих перпендикуляров можно рассматривать как плоскость Q, перпендикулярную к плоскости Н. Плоскость Q пересечет плоскость Н по прямой линии, на которой располагаются точки пересечения всех перпендикуляров с плоскостью Н. Так как эти точки являются проекциями точек отрезка А В,то, следовательно, и отрезок ab будет проекцией отрезка АВ. Таким образом, проекцию отрезка А В ни плоскости Я можно получить, если через отрезок А В провести плоскость , перпендикулярную к плоскости Н, до их взаимного пересечения. Линия пересечения плоскостей и будет горизонтальной проекцией отрезка АВ.

На рис. 89, в показано построение фронтальной проекции отрезка АВ. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V.

Рассмотрим различные случаи расположения отрезков прямой линии по отношению к плоскостям проекций Н, V и W.

1. Прямая, перпендикулярная к плоскости V, называется фронтально-проецирующей прямой (рис. 90, а).

Из комплексного чертежа отрезка А В (рис. 90, б) видно, что горизонтальная проекция аb перпендикулярна к оси х и подлине равна отрезку AB фронтальная проекция а’b’ является точкой.

Если, например, резец расположить так, чтобы его длинные ребра были параллельны плоскостям V и Н, то ребро АВ будет фронтально-проецирующей прямой (рис. 90, в).

2. Прямая, перпендикулярная к плоскости H (рис. 91, а), называется горизонтально-проецирующей прямой.

Из комплексного чертежа отрезка (рис. 91, б) видно, что фронтальная проекция b’c’ перпендикулярна к оси х и по длине равна отрезку ВС, а горизонтальная проекция bс является точкой.

Ребро ВС резца на рис. 91, в является горизонтально-проецирующей прямой.

3. Прямая, перпендикулярная к плоскости H. называется профильно-проецирующей прямой (рис. 92, а).

На комплексном чертеже обе проекции отрезка — фронтальная и горизонтальная — параллельны оси Ох и по длине равны отрезку АВ (рис. 92, б). Профильная проекция а»b» отрезка АВ — точка.

Длинное ребро А В резца (рис. 92, в) — профильно-проецирующая прямая.

4. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или сокращенно — горизонталью (рис. 93, а).

На комплексном чертеже горизонтали (рис. 93, б) видно, что фронтальная а’b’ и профильная a»b» проекции параллельны соответственно осям проекций Ох и Oy₁ Горизонтальная проекция ab горизонтали А В расположена под углом к оси Ох и равна длине отрезка АВ.

Ребро А В (режущая кромка) головки резца (рис. 93, в) параллельно плоскости Н и представляет собой горизонталь.

5. Прямая, параллельная плоскости V, называется фронталью (рис. 94, а).

Горизонтальная проекция ab фронтали AB параллельна оси Ох (рис. 94, б).Фронтальная проекция а’b’ фронтали наклонена к оси Ох и равна действительной длине отрезка А В.Профильная проекция а»b» фронтали АВ параллельна оси Oz.

Ребро А В резца (рис. 94, в) параллельно плоскости V и, следовательно, представляет собой фронталь.

6. Прямая, не параллельная ни одной из трех плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Возьмем отрезок АВ прямой общего положения (рис. 95, а)и построим горизонтальную ab и фронтальную а’b’ проекции этого отрезка. Комплексный чертеж отрезка прямой общего положения показан на рис. 95, б.

По двум проекциям а’b’ и ab отрезка прямой общего положения можно, применяя известное уже правило , построить третью проекцию a»b» (рис. 95, б).

У отрезного резца (рис. 95, в) ребро представляет собой прямую общего положения.

Рассмотренные прямые часто применяются в построениях, поэтому, изучая их комплексные чертежи, надо запомнить, как та или иная проекция прямой располагается по отношению к осям проекций.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ ПРОЕКЦИЙ

Горизонталь, фронталь и прямая общего положения расположены под углом к плоскостям проекций.

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Например, отрезок фронтали АВ (рис. 96, а) составляет угол а с горизонтальной плоскостью проекций Н.

Разберем способ определения угла между прямой и плоскостью проекций на комплексном чертеже. Если прямая — фронталь, то, как видно из рис. 96, б, угол между фронталью и горизонтальной плоскостью проекций H на комплексном чертеже равен углу между фронтальной проекцией фронтали a’b’ и осью проекций x.

Ребро АВ резьбового резца (рис. 96, в) параллельно фронтальной плоскости проекций, т. е. ребро АВ — фронталь. Так как основание резца расположена на горизонтальной плоскости проекций H, то угол а является углом между прямой А и плоскостью Н. Таким образом, по чертежу резца можно определить угол а между ребром АВ и основанием резца. Следовательно, если прямая имеет какую-либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом.

СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Чтобы найти фронтальный след прямой АВ (рис. 97, а), необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию ab до пересечения с осью x в точке v, а затем из точки v восстановить перпендикуляр к оси x и найти точку v’ пересечения этого перпендикуляра с продолжением фронтальной проекции отрезка.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Из курса начертательной геометрии известно, что:

а) если прямые параллельны в пространстве, то их одноименные проекции параллельны (рис. 98, );

б) если прямые пересекаются в точке , то их одноименные проекции тоже пересекаются (рис. 98, б); при этом проекции точки пересечения А обязательно располагаются на одном перпендикуляре к оси (на одной линии связи);

в) если точки пересечения проекций прямых, например, n’ и а не расположены на одном перпендикуляре к оси х (рис. 98, в), то прямые скрещиваются.

Точка v’ — искомый фронтальный след прямой АВ или точнее — фронтальная проекция фронтального следа; точка v — горизонтальная проекция горизонтального следа; точка h’ — фронтальная проекция горизонтального следа.

На комплексном чертеже отрезка эти построения выполняются аналогично (рис. 91, б).

Из чертежа видно, что одна из двух проекций каждого следа прямой расположена на оси х.

🌟 Видео

Лекция 1. Классификация прямых линий.Скачать

Проецирование точек на разных октантахСкачать

2. Построение недостающей фронтальной проекции отрезка прямойСкачать

Проецирование точкиСкачать

Построение недостающей проекции отрезка прямой линии, лежащей в заданной плоскостиСкачать

Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольникаСкачать

Задание 14 Боголюбов С.К. Проецирование ОТРЕЗКА на три плоскости проекцийСкачать