Свойства перпендикуляра в окружности

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№30 - Свойство серединного перпендикуляра.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№30 - Свойство серединного перпендикуляра.)

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:75. Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать

75. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

    Свойство диаметра окружности. 7 класс.

    Окружность, описанная около треугольника.
    Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

    Свойства перпендикуляра в окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
    Свойства перпендикуляра в окружностиОкружность описанная около треугольника
    Свойства перпендикуляра в окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
    Свойства перпендикуляра в окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Серединный перпендикуляр к отрезку

    Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

    Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

    Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

    Видео:8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать

    8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

    Окружность, описанная около треугольника

    Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

    Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Свойства перпендикуляра в окружности,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Свойства перпендикуляра в окружности

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    ФигураРисунокСвойство
    Серединные перпендикуляры
    к сторонам треугольника
    Свойства перпендикуляра в окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
    Посмотреть доказательство
    Окружность, описанная около треугольникаСвойства перпендикуляра в окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства перпендикуляра в окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
    Посмотреть доказательство
    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства перпендикуляра в окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
    Теорема синусовСвойства перпендикуляра в окружности
    Площадь треугольникаСвойства перпендикуляра в окружности
    Радиус описанной окружностиСвойства перпендикуляра в окружности
    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
    Свойства перпендикуляра в окружности

    Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Окружность, описанная около треугольникаСвойства перпендикуляра в окружности

    Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиСвойства перпендикуляра в окружности

    Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиСвойства перпендикуляра в окружности

    Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиСвойства перпендикуляра в окружности

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

    Теорема синусовСвойства перпендикуляра в окружности

    Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

    Свойства перпендикуляра в окружности,

    где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Площадь треугольникаСвойства перпендикуляра в окружности

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Радиус описанной окружностиСвойства перпендикуляра в окружности

    Для любого треугольника справедливо равенство:

    Свойства перпендикуляра в окружности

    где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

    Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

    Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

    Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

    При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

    из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

    Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Свойства перпендикуляра в окружности.

    Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

    l = 2Rsin φ .(1)

    Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

    Формула (1) доказана.

    Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

    Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Свойства перпендикуляра в окружности— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

    Теорема

    Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

    Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

    Доказательство

    1) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, МСвойства перпендикуляра в окружностиm

    Доказать: АМ = ВМ

    Доказательство:

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Если О = М, то АМ = ВМ, т.к. О — середина АВ.

    Пусть О Свойства перпендикуляра в окружностиМ. Рассмотрим Свойства перпендикуляра в окружностиОАМ и Свойства перпендикуляра в окружностиОВМ: так как m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, то рассматриваемые треугольники прямоугольные. ОА = ОВ, т.к. О — середина отрезка АВ, ОМ — общий катет, следовательно, Свойства перпендикуляра в окружностиОАМ = Свойства перпендикуляра в окружностиОВМ, по двум катетам, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому АМ = ВМ.

    2) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, АN = ВN

    Доказать: NСвойства перпендикуляра в окружностиm

    Доказательство:

    Свойства перпендикуляра в окружности

    Рассмотрим произвольную точку N.

    Если NСвойства перпендикуляра в окружностиАВ, то N = О, а, значит, она лежит на прямой m.

    Если N не лежит на АВ, то Свойства перпендикуляра в окружностиANB — равнобедренный, так как АN = ВN. О — середина АВ, следовательно, — медиана Свойства перпендикуляра в окружностиANB, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника. Поэтому Свойства перпендикуляра в окружностиАВ, следовательно, прямые и m совпадают, так как по устовию m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, т.е. N — точка прямой m. Теорема доказана.

    Следствие 1

    Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

    Следствие2

    Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    📸 Видео

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

    Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

    7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

    Свойство точек серединного перпендикуляра (серпера)Скачать

    Свойство точек серединного перпендикуляра (серпера)

    Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

    Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Окружность и ее свойства (bezbotvy)Скачать

    Окружность и ее свойства (bezbotvy)

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

    Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия
    Поделиться или сохранить к себе: