- Окружность
- Основные термины
- Касательная
- Свойства касательной
- Хорда
- Свойства хорд
- Свойства окружности
- Теорема о касательной и секущей
- Теорема о секущих
- Углы в окружности
- Свойства углов, связанных с окружностью
- Длины и площади
- Вписанные и описанные окружности
- Окружность и треугольник
- Окружность и четырехугольники
- Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
- Теорема
- Доказательство
- 📸 Видео
Окружность
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№30 - Свойство серединного перпендикуляра.)Скачать
Основные термины
Касательная
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной
- Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
- Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства окружности
- Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
- Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
- Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с окружностью
- Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Видео:75. Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать
Длины и площади
- Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:
Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанные и описанные окружности
Окружность и треугольник
- центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:
где S — площадь треугольника, а — полупериметр;
центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:
здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;
Окружность и четырехугольники
- около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
- около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
- в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:8 класс, 36 урок, Свойства серединного перпендикуляра к отрезкуСкачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | ||
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |||
Теорема синусов | ||||
Площадь треугольника | ||||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Теорема
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство
1) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, Мm
Доказать: АМ = ВМ
Доказательство:
Если О = М, то АМ = ВМ, т.к. О — середина АВ.
Пусть О М. Рассмотрим ОАМ и ОВМ: так как m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, то рассматриваемые треугольники прямоугольные. ОА = ОВ, т.к. О — середина отрезка АВ, ОМ — общий катет, следовательно, ОАМ = ОВМ, по двум катетам, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому АМ = ВМ.
2) Дано: m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, О — середина АВ, АN = ВN
Доказать: Nm
Доказательство:
Рассмотрим произвольную точку N.
Если NАВ, то N = О, а, значит, она лежит на прямой m.
Если N не лежит на АВ, то ANB — равнобедренный, так как АN = ВN. О — середина АВ, следовательно, NО — медиана ANB, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника. Поэтому NОАВ, следовательно, прямые NО и m совпадают, так как по устовию m — серединный перпендикуляр отрезка АВ, т.е. N — точка прямой m. Теорема доказана.
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку. |
Следствие2
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. |
Поделись с друзьями в социальных сетях:
📸 Видео
Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать
Окружность. 7 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Свойство точек серединного перпендикуляра (серпера)Скачать
Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать
Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Окружность и ее свойства (bezbotvy)Скачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать