Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Страница № 065.

Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. сред, шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1990. — 320 с.: ил.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

OCR-версия страницы из учебника (текст страницы, которая находится выше):

117. а) (х—З) 3 =—4, х£( — оо; ооб) 2 sin х=1,5, *6^—— J

в) (x + 2) 4 = 5, x£l — 2: 00»; г’ 0,5cosa:=—*6 ГО; л].

Отметьте на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующее значение t удовлетворяет данному равенству. Найдите значение /, принадлежащее указанному промежутку (118—120).

Учебник: Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. сред, шк. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1990. — 320 с.: ил.

Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Видео:Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
(frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

(frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

(frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

Видео:10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

Нанесем на окружность число (-) (frac) .
(-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

Обозначим (-) (frac) .
(-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Рабочая тетрадь по тригонометрии «Работа с единичной окружностью»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ГБПОУ «Челябинский государственный колледж индустрии питания и торговли»

раздел «Основы тригонометрии»

«Работа с единичной окружностью»

Студента группы № _____________

РАССМОТРЕНА И СОГЛАСОВАНА:

На заседании ЦМК

Протокол № __от _______2021г.

Председатель_______/ Э.С. Нуруллина /

Рабочая тетрадь по математике предназначена для изучения раздела «Основы тригонометрии».

Составитель: А.Я. Амелина, преподаватель математики первой квалификационной категории.

Содержательная и техническая экспертиза проведена ____________________________________

Тема: Тригонометрические уравнения

Задание 11. На листе миллиметровой бумаги построить единичную окружность и касательные к ней в точках (1;0) и (0;1), выбрав за единицу масштаба 5 см. Решить приближенно уравнения.

1 Вариант: tgx =0,7; ctgx =-1,4.

2 Вариант: tgx = -0,5; ctgx =0,9

Ответ:

Тема: Тригонометрические уравнения

Задание 10. С помощью единичной окружности, построенной на миллиметровой бумаге, и транспортира приближенно решить уравнения, ответ записать в радианной мере. За единицу масштаба выбрать 5см. Уточнить ответ с помощью калькулятора.

1 Вариант : sinx=0.32 ; cosx=0.66

2 Вариант : sinx=0.74 ; cosx=0.26

Рекомендации к выполнению: Учитываем, что sinx — это ордината точки числовой окружности, а cosx — абсцисса. Значит, необходимо найти на числовой окружности точки с соответствующими ординатами (абсциссами), учитывая масштаб в котором построена единичная окружность (Напр. 0.32=50мм·0.32=16мм) и с помощью транспортира померить углы, которым они соответствуют. Затем перейти от градусов к радианам по формуле: n °=π· n /180 рад.

Рабочая тетрадь является учебным пособием к сопровождению уроков по учебной дисциплине «Математика» раздела «Основы тригонометрии».

Разработана в соответствии с учебной программой и содержит необходимые рекомендации о порядке выполнения упражнений.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

— находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам;

— составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

— определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

— находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

— определять синус, косинус, тангенс угла;

— решать с помощью единичной окружности простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Использование готовых дидактических материалов позволяет экономно расходовать время на уроке, а также способствовать более глубокому освоению знаний раздела «Основы тригонометрии».

Тригонометрическая окружность — окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.1).

За нулевое положение радиуса, принимается его положение на положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Ox: с плюсом – против часовой стрелки, с минусом – по часовой стрелке. Полный круг – это 360°. Каждому углу α от 0° до 360° соответствует точка М на единичной окружности.

Углы обычно измеряются либо в градусах, либо в радианах. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует 2π радиан .

На единичной окружности также можно

находить углы, которые больше 360 градусов.

Поскольку, значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждые

Тема: Тригонометрические операции

Задание 9. На листе миллиметровой бумаги построить первую четверть единичной окружности, выбрав за единицу масштаба 10см. Провести ось тангенсов (параллельна оси синусов и проходит через точку (1;0)). Составить таблицу тангенсов углов от 0° до 60° с шагом в 10°. Перевести значения углов в радианную меру. Результаты занести в таблицу. Сравнить полученные значения с табличными, оценить относительную ошибку измерений.

Рекомендации к выполнению: С помощью транспортира отмеряем углы в 0°, 10°, 20° и т.д. Соединяем эти точки с началом координат – точкой (0;0) лучом и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Учитывая масштаб : 1единица-100мм, расчитываем значения тангенса по формуле: tgx =Хмм/100мм. Результаты заносим в таблицу.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 8. На миллиметровой бумаге построить единичную окружность, приняв за единицу 5 см, а затем центральный угол α, такой что:

1 вариант: sinα =-0,5; tgα =2.

2 вариант: cosα =0,3; tgα =-1,5.

Рекомендации к выполнению: При выполнении этого задания необходимо знать, что значения sinx — располагаются на оси х, значения cosx — на оси у, а значения tgx — на прямой параллельной оси у, проходящая через точку с координатами (1;0). Учитывая масштаб, в котором построена единичная окружность, находим соответствующие точки на осях. Через эти точки проводим прямые: для синуса — параллельно оси х, для косинуса – параллельно оси у, для тангенса – соединяем полученную точку на прямой тангенса с началом координат. С помощью транспортира измеряем углы, которым они соответствуют.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 1. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие данным числам (углам поворота):

1 Вариант :

2 Вариант :

Рекомендации к выполнению: Для отыскания точек, соответствующих положительным числам нужно пройти по окружности путь заданной длинны, двигаясь из точки А против часовой стрелки, для отрицательных чисел – по часовой стрелке. При этом учитываем, что длинна каждой четверти единичной окружности равна π/2.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 2. Отметить на единичной окружности примерное положение точек, соответствующих числам:

1 Вариант : 1, — 2, 3, — 4, 5, — 6

2 Вариант : -1, 2, -3, 4 , -5, 6

Образец решения задачи: Дана точка -7. Необходимо из точки А двигаться в отрицательном направлении (по часовой стрелке), пройти по окружности путь длинной 7. Если мы пройдем одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит нужно пройти ещё (в том же направлении) путь длинной 0,72. Это дуга, немного меньше половины четверти окружности, т.е. её длинна меньше числа π/4, т.к. π/4≈0,785 т.е. мы немного не дойдем до середины четвертой четверти.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 7. Построить на миллиметровой бумаге единичную окружность, приняв за единицу 5 см. С помощью этой окружности и транспортира найти синусы и косинусы данных ниже углов с возможно большей точностью. Проверить полученные результаты по калькулятору (При аккуратных построениях ошибка не должна превышать 0,04).

1 вариант: .

2 вариант: .

Рекомендации к выполнению: См. образец решения задания №3 и рекомендации к выполнению задания №6.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 6. Построить на миллиметровой бумаге единичную окружность, приняв за единицу 5см. С помощью этой окружности и транспортира найти синусы и косинусы данных ниже углов с возможно большей точностью.

; ; ; .

Результаты занести в таблицу:

Рекомендации к выполнению: Переходим от радиан к градусам используя равенство: π=180°. С помощью транспортира отмеряем соответствующий угол и обозначаем точку на единичной окружности. Из полученной точки опускаем перпендикуляр на ось х (значения cosx ) и ось y (значения sinx ). Считаем в мм значения sinx и cosx , переходим к единицам по формуле: .

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 3. Отметить на единичной окружности точки соответствующие каждому из чисел заданного множества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Образец решения задачи : Задано множество чисел –π/3+2πk, k є Z . Любые два числа из этого множества чисел отличаются на величину кратную 2π. Значит, результаты поворотов на эти углы совпадают, т. е. всем числам соответствует одна и та же точка. Достаточно найти точку, соответствующую одному из чисел; при k=0 имеем –π/3.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 4. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числам заданного множества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 5 . С помощью единичной окружности составить таблицу синусов и косинусов следующих углов (чисел):

0; ; ; ; ; ; ; ; .

Результаты занести в таблицу:

Краткое описание документа:

Рабочая тетрадь по тригонометрии предназначена для работы со студентами 1 курса колледжа или техникума, также может использоваться на уроках алгебры в 10 классе.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 1008 человек из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Точки, полученные поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на заданные углыСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 530 706 материалов в базе

Другие материалы

• 24.10.2021
• 69
• 1

• 24.10.2021
• 141
• 1

• 24.10.2021
• 229
• 5

• 24.10.2021
• 131
• 3

• 24.10.2021
• 46
• 0

• 24.10.2021
• 142
• 1

• 24.10.2021
• 171
• 2

• 24.10.2021
• 236
• 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.10.2021 750
• DOCX 942.5 кбайт
• 42 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Амелина Анна Ярославовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 767
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Тригонометрия. Часть 1. Как отмечать точки на единичной окружности.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Курганской области школьников переведут на дистанционное обучение с 4 февраля

Время чтения: 1 минута

В Томске студентов вузов перевели на дистанционное обучение до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Школьники Ленобласти уйдут на внеплановые каникулы

Время чтения: 1 минута

Студенты на Северном Кавказе бесплатно подготовят к ЕГЭ сельских школьников

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Свердловской области школьников со 2 по 8 класс и студентов переводят на удаленку

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📺 Видео

Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

3 Единичная окружность на координатной плоскости 10 классСкачать

Определение синуса и косинуса на единичной окружности | Алгебра 10 класс #11 | ИнфоурокСкачать

Числовая окружностьСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать