Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

диаметры аб сд окружнлсти пересекаются в точке о .найдите величину угла адо, если угол бод равен 145ответ дайте в градусах . нужно решение!​

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметры АВ и DC пересекаются в центре окружности, точке О .

Рассмотрим ΔAOD . ∠BOD — внешний угол ΔAOD , равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним, то есть

Но ∠ADO=∠DAO как углы при основании равнобедренного треугольника (OA=OD=R радиус окружности) .

Содержание
  1. Диаметры ab и cd окружности пересекаются
  2. диаметры аб сд окружнлсти пересекаются в точке о .найдите величину угла адо, если угол бод равен 145ответ дайте в градусах . нужно решение!​
  3. Диаметры окружности пересекаются в центре
  4. Всё про окружность и круг
  5. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  6. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  7. Свойства хорд и дуг окружности
  8. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  9. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  10. Теорема о бабочке
  11. Диаметры окружности пересекаются в центре
  12. Касательная к окружности
  13. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  14. Свойства касательной к окружности
  15. Задача
  16. Задача 1
  17. Задача 2
  18. Задача 1
  19. Задача 2
  20. Задача 1
  21. Задача 2
  22. Диаметр CD окружности с центром в точке О пересекается с хордой АВ в точке К, ОК = 5 см. Расстояние от центра окружности до хорды
  23. Ваш ответ
  24. решение вопроса
  25. Похожие вопросы
  26. 🎦 Видео

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Диаметры ab и cd окружности пересекаются

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

диаметры аб сд окружнлсти пересекаются в точке о .найдите величину угла адо, если угол бод равен 145ответ дайте в градусах . нужно решение!​

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметры АВ и DC пересекаются в центре окружности, точке О .

Рассмотрим ΔAOD . ∠BOD — внешний угол ΔAOD , равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним, то есть

Но ∠ADO=∠DAO как углы при основании равнобедренного треугольника (OA=OD=R радиус окружности) .

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Диаметры окружности пересекаются в центре

Видео:Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MCСкачать

Геометрия Докажите, что если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM٠MB = DM٠MC

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оСвойства хорд и дуг окружности
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оТеорема о бабочке

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2Скачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (см. рис.). Докажите, что угол AMC = 1/2

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке оДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Пересекающиеся хорды
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о
Пересекающиеся хорды
Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, AM = 6 см, BM = 14 см, CM = 12 смСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, AM = 6 см, BM = 14 см, CM = 12 см

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Тогда справедливо равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M CM = 4 см DM = 6 см AM на 2 см больше BMСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M CM = 4 см DM = 6 см AM на 2 см больше BM

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

ОГЭ по математике. Задание 16

Диаметры окружности пересекаются в центре

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Выберите неверное утверждение и запишите в ответе его номер.

1) Равнобедренный треугольник всегда является остроугольным.

2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

3) Любые два диаметра окружности пересекаются.

1) Неверно, существуют тупоугольные равнобедренные треугольники.

2) Верно, если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

3) Верно, так как диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. В окружности все диаметры пересекаются в центре.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

О чем эта статья:

Видео:#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Диаметр аб и сд окружности пересекаются в точке о

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:ОГЭ 2020 задание 18Скачать

ОГЭ 2020 задание 18

Диаметр CD окружности с центром в точке О пересекается с хордой АВ в точке К, ОК = 5 см. Расстояние от центра окружности до хорды

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рисСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рис

Ваш ответ

Видео:2017 на окружности по разные стороны от диаметра AB взяты Точки M и NСкачать

2017 на окружности по разные стороны от диаметра AB взяты Точки M и N

решение вопроса

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,049
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

🎦 Видео

ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 17 вариант задача 25

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: