Основные формулы площади четырехугольников

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Основные формулы площади четырехугольников

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Основные формулы площади четырехугольников

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Основные формулы площади четырехугольников

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиОсновные формулы площади четырехугольников
2стороны и углы между этими сторонамиОсновные формулы площади четырехугольников
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Основные формулы площади четырехугольников
4стороны и радиус вписанной окружностиОсновные формулы площади четырехугольников
5стороны и углы между нимиОсновные формулы площади четырехугольников

Видео:ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольниковСкачать

ВИДЕОУРОК для 9 и 11 классов: Повторение ФОРМУЛ площадей четырехугольников

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:Все площади четырехугольников в одном видео | ЕГЭ математикаСкачать

Все площади четырехугольников в одном видео | ЕГЭ математика

Площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольниковФормулы для площадей четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольниковВывод формул для площадей четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольниковВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. Задачи

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Основные формулы площади четырехугольников

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Основные формулы площади четырехугольников

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Основные формулы площади четырехугольников

a и b – основания,
h – высота

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников,
Основные формулы площади четырехугольников

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникОсновные формулы площади четырехугольниковS = ab
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
ПараллелограммОсновные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
КвадратОсновные формулы площади четырехугольниковS = a 2
Основные формулы площади четырехугольниковS = 4r 2
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
РомбОсновные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
ТрапецияОсновные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольниковS = m h
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
ДельтоидОсновные формулы площади четырехугольниковS = ab sin φ
Основные формулы площади четырехугольниковОсновные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Произвольный выпуклый четырёхугольникОсновные формулы площади четырехугольников
Вписанный четырёхугольникОсновные формулы площади четырехугольников

где
a и b – смежные стороны

Основные формулы площади четырехугольников

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – основания,
h – высота

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников,
Основные формулы площади четырехугольников

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Параллелограмм
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Квадрат
Основные формулы площади четырехугольниковS = a 2

где
a – сторона квадрата

Основные формулы площади четырехугольниковS = 4r 2

Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Ромб
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Трапеция
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Дельтоид
Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольниковОсновные формулы площади четырехугольников

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Основные формулы площади четырехугольников
Основные формулы площади четырехугольников
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Основные формулы площади четырехугольников
Вписанный четырёхугольник
Основные формулы площади четырехугольников
Прямоугольник
Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – смежные стороны

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Основные формулы площади четырехугольников

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммОсновные формулы площади четырехугольников

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратОсновные формулы площади четырехугольников

где
a – сторона квадрата

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбОсновные формулы площади четырехугольников

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Основные формулы площади четырехугольников

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияОсновные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – основания,
h – высота

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Основные формулы площади четырехугольников

ДельтоидОсновные формулы площади четырехугольников

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Основные формулы площади четырехугольников

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Произвольный выпуклый четырёхугольникОсновные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникОсновные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Основные формулы площади четырехугольников

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Основные формулы площади четырехугольников

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Основные формулы площади четырехугольников,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Основные формулы площади четырехугольников,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Основные формулы площади четырехугольников

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Основные формулы площади четырехугольников
(рис.6).

Основные формулы площади четырехугольников

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Основные формулы площади четырехугольников

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Четырехугольники.

Площадь прямоугольника (со сторонами a и b):

Основные формулы площади четырехугольников,

где a – сторона, Основные формулы площади четырехугольников– угол, h – высота, d1 и d2 – диагонали.

Связь между стороной и диагоналями:

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников

Основные формулы площади четырехугольников,

где a и b — стороны, Основные формулы площади четырехугольников— угол, ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b, Основные формулы площади четырехугольников— угол между диагоналями d1 и d2.

Связь между стороной и диагоналями:

Основные формулы площади четырехугольников.

Трапеция (с основаниями a, b и высотой h):

Основные формулы площади четырехугольников

Выпуклый четырехугольник.

Площадь выпуклого четырехугольника:

Основные формулы площади четырехугольников

где d1 и d2 — диагонали, Основные формулы площади четырехугольников— угол между диагоналями.

Связь между сторонами и диагоналями: Основные формулы площади четырехугольников, где a, b, c, d — стороны, m — отрезок, соединяющий середины диагоналей.

Свойства четырехугольников:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны: Основные формулы площади четырехугольников.

Для вписанного четырехугольника справедливы формулы: ac + bd = d1d2;

Основные формулы площади четырехугольников

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.

🌟 Видео

Как не учить формулы площадей четырехугольников?Скачать

Как не учить формулы площадей четырехугольников?

Формулы площади четырехугольников * Area formulas for quadranglesСкачать

Формулы площади четырехугольников * Area formulas for quadrangles

Все формулы площади параллелограмма 🔥 #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофильСкачать

Все формулы площади параллелограмма 🔥 #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофиль

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Формула площади четырёхугольникаСкачать

Формула площади четырёхугольника

Формула площадь четырехугольникаСкачать

Формула площадь четырехугольника
Поделиться или сохранить к себе: