Основание прямой призмы четырехугольник abcd в котором

Условие

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD в котором AB = 12, AD = sqrt(31). Расстояние между прямыми АС и B1D1 равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1 делит отрезок B1D1 в отношении 1:6.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы. [14п9]

Решение

Найдем диагональ прямоугольника ABCD
BD^2=AB^2+AD^2=12^2+(sqrt(31))^2=144+31=175
[b]BD=sqrt(175)[/b]

Прямые АС и B_(1)D_(1) расположены в параллельных плоскостях оснований АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1).

Расстояние между ними есть длина общего перпендикуляра к ним.
Таким перпендикуляром является боковое ребро призмы.
AA_(1)=BB_(1)=CC_(1)=DD_(1)=5

Прямоугольные треугольники Δ D_(1)BD и KDD_(1) подобны по двум углам (равные углы отмечены на рисунке)
∠ MDB= ∠ DKD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей KD

Из подобия: DD_(1):BD=KD_(1):DD_(1)

б)
∠ MDB — угол между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1 и плоскостью основания призмы

∠ MDB= ∠ DKD_(1) внутренние накрест лежащие при параллельных BD и B_(1)D_(1) и секущей KD

О т в е т. cos∠ MDB=[m]frac<sqrt>[/m]

Видео:№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 смСкачать

Основание прямой призмы четырехугольник abcd в котором

Решение:
высота призмы H = DD₁ = d(AC, B₁D₁) = 5
BD² = AB² + AD² = 175
BD₁ = √(BD² + DD₁²) = 10√2
α — плоскость, проходящая через середину ребра АВ перпендикулярно прямой BD₁
cos(∠(BD₁, ABCD)) = cos(∠DBD₁)
cos(∠(α, ABCD)) = сos(90 — ∠DBD₁) = sin(∠DBD₁) = DD₁/BD₁ = 5/(10√2) = (√2)/4
ответ: (√2)/4

высота (призмы): h = DD1 = d*(AC, B1D1) = 5
BD² = AB² + AD² = 175
BD1 = корень из(BD² + DD1²) = 10*корень из 2
α — плоскость
кос(угла(BD1, ABCD)) = кос(угла DBD1)
кос(угла (α, ABCD)) = кос(90 — угла DBD1) = син(угла DBD1 = DD1/BD1 = 5/(10*корень из 2) = (корень из 2)/4

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

Призма

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√

   $, где $р$ — это полупериметр $p=/$

4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

🔍 Видео

№233. Основанием прямой призмы АВСA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABCСкачать

Объем прямой призмы.Скачать

11 класс, 31 урок, Объем прямой призмыСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Задача о вычислении диагонали четырёхугольной призмыСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

№225. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°.Скачать

№751. Определите вид четырехугольника ABCD, если:Скачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

9 класс, 36 урок, ПризмаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать

Построение призмы высотой 30ммСкачать

№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузыСкачать