Определите по условию задачи 2 радиус окружности по которой (8 видео)

Определите радиус окружности, по которой движется протон в магнитном поле, если его скорость равна 107 м/с и на него действует сила Лоренца,

Содержание

Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
Контрольная работа «Магнитное поле»
ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 3
ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 3
Часть 1
Модуль “Алгебра”
Модуль “Геометрия”
Часть 2
Модуль “Алгебра”
💡 Видео

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Ваш ответ

Видео:Радиус и диаметрСкачать

решение вопроса

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Контрольная работа «Магнитное поле»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Контрольная работа по теме «Магнитное поле».

№ 1. Длина активной части проводника 15 см. Угол между направлением тока и индукцией магнитного поля равен 90 0 . С какой силой магнитное поле с индукцией 40мТл действует на проводник, если сила тока в нем 12 А?

№ 2. На протон, движущийся со скоростью 10 7 м/с в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила 0,32∙10 -12 Н. Какова индукция магнитного поля?

№ 3. Определите индуктивность катушки, которую при силе тока 8,6 А пронизывает магнитный поток 120мВб.

№ 4. Определите по условию задачи №2 радиус окружности, по которой движется протон, период обращения, импульс электрона, его кинетическую энергию, а также ускоряющую разность потенциалов, которую прошел протон, прежде чем попал в магнитное поле.

№ 1. Участок проводника длиной 10см находится в магнитном поле. Сила электрического тока, протекающего по проводнику, 10 А. При перемещении проводника на 8 см в направлении действия силы Ампера она совершила работу 4мДж. Чему равна индукция магнитного поля? Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции.

№ 2. По катушке протекает ток, создающий магнитное поле энергией 0,5 Дж. Магнитный поток через катушку 10 мВб. Найти силу тока.

№ 3. Частица массой m , несущая заряд q , движется в однородном магнитном поле с индукцией В по окружности радиуса R со скоростью υ. Что произойдет с радиусом орбиты, периодом обращения и кинетической энергией частицы при увеличении индукции магнитного поля?

А. радиус орбиты

В. кинетическая энергия

№ 4. Горизонтальные рельсы находятся на расстоянии 30 см друг от друга. На них лежит стержень массой 100г перпендикулярно рельсам. Вся система находится в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. При пропускании по стержню тока 2 А, он движется с ускорением 2 м/с 2 . Найти коэффициент трения между рельсами и стержнем.

№ 5. Частица массой 10 -5 кг и зарядом 10 -6 Кл ускоряется однородным электрическим полем напряженностью 10 кВ/м в течение 10 с. Затем она влетает в однородное магнитное поле индукцией 2,5 Тл, силовые линии которого перпендикулярны скорости частицы. Найти силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля. Начальная скорость частицы равна нулю.

Контрольная работа по теме «Магнитное поле». Вариант 2.

№ 1. Определите силу тока, проходящего по прямолинейному проводнику, перпендикулярному однородному магнитному полю, если на активную часть проводника длиной 20 см действует сила в 50 Н при магнитной индукции 10 Тл.

№ 2. Электрон со скоростью 5 ∙10 7 м/с влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,8 Тл под углом 30 0 к линиям индукции. Найти силу, действующую на электрон.

№ 3. В катушке с индуктивностью 0,6 Гн сила тока 20 А. Какова энергия магнитного поля катушки?

№ 4. Определите по условию задачи №2 радиус окружности, по которой движется электрон, период обращения, импульс электрона, его кинетическую энергию, а также ускоряющую разность потенциалов, которую прошел электрон, прежде чем попал в магнитное поле.

№ 1. Участок проводника длиной 20 см находится в магнитном поле индукцией 25 мТл. Сила Ампера при перемещении проводника на 8 см в направлении своего действия совершает работу 4 мДж. Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равна сила тока, протекающего по проводнику?

№ 2. Плоская прямоугольная катушка из 200 витков со сторонами 10 см и 5 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл. Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку в этом поле, если сила тока в ней 2 А?

№ 3. Частица массой m , несущая заряд q , движется в однородном магнитном поле с индукцией В по окружности радиуса R со скоростью υ. Что произойдет с радиусом орбиты, импульсом частицы и периодом обращения при увеличении заряда частицы?

А. радиус орбиты

Б. импульс частицы

В. период обращения

№ 4. Прямой проводник длиной 20 см и массой 50 г подвешен на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен горизонтально и перпендикулярно проводнику. Какой силы ток надо пропустить через проводник, чтобы нити разорвались? Индукция поля 50 мТл. Каждая нить разрывается при нагрузке 0,4 Н.

№ 5. Заряженный шарик массой 0,1 мг и зарядом 0,2 мКл влетает в область однородного магнитного поля индукцией 0,5 Тл, имея импульс 6 ∙10 -4 кг∙м/с, направленный перпендикулярно линиям магнитной индукции. Какой путь шарик пройдет к тому моменту, когда вектор его скорости повернется на 30 0 ?

Контрольная работа по теме «Магнитное поле». Вариант 3.

№ 1. Под каким углом расположен прямолинейный проводник к линиям индукции магнитного поля, если на каждые 10 см длины проводника действует сила 3 Н. Сила тока в проводнике 4 А, индукция магнитного поля 15 Тл.

№ 2. В однородное магнитное поле индукцией 8,5 мТл влетает электрон со скоростью 4,6 ∙10 6 м/с, направленной перпендикулярно линиям индукции. Рассчитайте силу, действующую на электрон в магнитном поле.

№ 3. Магнитный поток, пронизывающий один виток катушки, равен 15 мВб. Сила тока в катушке 5 А. Сколько витков содержит катушка, если ее индуктивность 0,06 Гн?

№ 1. Участок проводника находится в магнитном поле, индукция которого 0,04 Тл. Сила электрического тока, протекающего по проводнику, равна 12,5 А. При перемещении проводника на 4 см в направлении действия силы Ампера, поле совершает работу 4 мДж. Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Чему равна длина участка проводника?

№ 2. Какую ускоряющую разность потенциалов проходит протон, влетающий в однородное магнитное поле индукцией 2 Тл перпендикулярно его силовым линиям, если он движется по окружности радиусом 50 см?

№ 3. Частица массой m, несущая заряд q, движется в однородном магнитном поле с индукцией В по окружности радиуса R со скоростью υ. Что произойдет с радиусом орбиты, периодом обращения и импульсом частицы при уменьшении индукции магнитного поля?

А. радиус орбиты

№ 4. В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешен горизонтально проводник длиной 20 см и массой 20,4 г. Индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. На какой угол от вертикали отклонятся нити, если сила тока в проводнике равна 2 А?

№ 5. Частица зарядом q и массой m влетает в область однородного магнитного поля с индукцией . Скорость частицы направлена перпендикулярно силовым линиям поля и границе области. После прохождения области поля частица вылетает под углом α к первоначальному направлению движения. На каком расстоянии d от точки входа в поле вылетит частица из области, «занятой» полем?

Контрольная работа по теме «Магнитное поле». Вариант 4.

№ 1. Определите длину активной части прямолинейного проводника, помещенного в однородное магнитное поле с индукцией 400 Тл, если на проводник действует сила 100 Н. Проводник расположен под углом 30 0 к линиям магнитной индукции, сила тока в проводнике 2 А.

№ 2. С какой скоростью влетел протон в однородное магнитное поле индукцией 10 Тл перпендикулярно силовым линиям поля, если на частицу действует поле с силой 8 ∙10 -11 Н?

№ 3. Магнитное поле катушки с индуктивностью 95 мГн обладает энергией 0,19 Дж. Чему равна сила тока в катушке?

№ 1. Участок проводника длиной 5 см находится в магнитном поле индукцией 50 мТл. Сила электрического тока, протекающего по проводнику, равна 20 А. Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции. Какое перемещение совершает проводник в направлении действия силы Ампера, если работа этой силы 0,004 Дж?

№ 2. Чему равен максимальный вращающий момент сил, действующих на прямоугольную обмотку электродвигателя, содержащую 100 витков провода, размером 4 х 6 см, по которой проходит ток 10 А, в магнитном поле индукцией 1,2 Тл?

А. радиус орбиты

В. кинетическая энергия

№ 4. В горизонтальном однородном магнитном поле индукцией 3 Тл перпендикулярно к силовым линиям расположен горизонтальный проводник массой 3 кг. По проводнику протекает электрический ток силой 5 А. Какова длина проводника, если за 0,1 с, двигаясь из состояния покоя, он поднимается вертикально вверх на 2,5 см?

№ 5. В однородном магнитном поле индукцией 2 Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом 10 см и шагом 60 см. Определить кинетическую энергию протона.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 3

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

ОГЭ по математике 9 класс 2019 года под редакцией И. В. Ященко (14 вариантов) – Вариант 3

При написании данной работы “ОГЭ по математике 2019. ТТЗ Ященко. 14 вариантов. Вариант 3” было использовано пособие “ОГЭ 2019. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. – М.: Издательство “Экзамен”, МЦНМО, 2019″.

Часть 1

Модуль “Алгебра”

Найдите значение выражения 6,8 – 11 * (-6,1)

6,8 – 11 * (-6,1) = 6,8 + 67.1 = 73,9

Ответ:

В таблице дано соответствие размеров женских платьев в Белоруссии, России, Англии и Европейском Союзе.

Белоруссия	80	84	88	92	96	100	104	108	112	116
Россия	40	42	44	46	48	50	52	54	56	58
Англия	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Европейский Союз	34	36	38	40	42	44	46	48	50	52

Какому европейскому размеру соответсвует 44-й размер платья в России?

Итак, из таблицы имеем, что 44-му размеру в России соответствует 38-ый размер в Европейском Союзе

Ответ:

На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D.

Одна из них соответствует числу 100/21. Какая это точка?

Даная величина соответсвует точке B на координатной прямой, поскольку она ближе к 5.

Ответ:

Сколько целых чисел расположено между 3√7 и 7√3?

Преобразуем представленные числа:

3√7 =√9√7 = √(9 * 7) = √63

7√3 = √49√3 = √(49 * 3) = √147

Как видим, между двумя полученными значениями расположено 5 целых чисел:

Ответ:

На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной – давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 720 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Найдем на графике линию соответствующую атмосферному давлению 720 миллиметров ртутного столба.

Отпустим от точки пересечения этой прямой с графиком зависимости прямую на горизонтальную ось. Искомая величина = 0,5 км.

Ответ:

Найдите корень уравнения

Ответ:

За 21 минуту велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за 27 минут, если будет ехать с такой же скоростью?

Решим данную задачу методом пропорции:

Велосипедист проедет 9 километров за 27 минут

Ответ:

Какая из следующих круговых диаграмм показывает распределение грибов в лесу, если белых грибов примерно 21%, мухоморов – примерно 39%, лисичек – примерно 6%, сыроежек – примерно 16% и других грибов – примерно 18%?

Итак, перед нами круги. Каждый круг составляет 360°, что в свою очередь составляет 100%.

Так как у нас нет транспортира, мы будем делать приблизительные измерения, а также пользоваться методом исключения.

1) на второй круговой диаграмме показано количество мухоморов почт 50%, что не соответсвует условию – номер 2 отпадает

2) на четвёртой круговой диаграмме показано содержание мухоморов и лисичек по четверти круга каждого вида грибов (

25%), что также не соответсвует условию задачи – номер 4 отпадает

3) на первой и третьей круговых диаграммах содержание белых грибов, мухоморов и лисичек примерно одинаковое и соответсвует условию задачи. Однако, содержание сыроежек резко отличается:

на первой диаграмме их количество составляет более четверти круга – больше 25%
а на второй диаграмме их количество соответствует условию

Содержание других грибов на третьей круговой диаграмме также соответствует условию.

Ответ:

За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Способ 1:

9 + 2 = 11 – всего человек.

Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 10 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна

Способ 2:

9 + 2 = 11 – всего человек.

Тогда, общее число способов рассадить 11 человек по одиннадцати стульям равняется – 11!

Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики.

Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно

А так как «первым» стулом может быть любой из одиннадцати стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 11. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна

Способ 3:

Известно, что расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам вычисляется по формуле:

Поэтому посадить за круглым столом 11 детей можно (n − 1)! = (11 − 1)! = 10! способами.

Объединим двух девочек в пару.

Рассадить по кругу 9 мальчиков и эту неделимую пару можно 9! способами.

Таким образом, посадить детей требуемым способом можно 2 · 9! способами. Отсюда искомая вероятность будет равна:

Ответ:

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Изображённая на рисунке А прямая соответствует функции 1, поскольку это линейная функция. Выполним проверку: a) при х = 0, y = 1/2 * 0 = 0; б) при х = 1, y = 1/2 * 1 = 0,5.
Изображённая на рисунке Б кривая – это уже давно нам известный график квадратного корня из х, которому соответсвует функция 3. Он не имеет отрицательных значений, поскольку при x 2 = 2; б) при х = 2, y = 2 – 2 2 = -2. Что и требовалось доказать.

Ответ:

А – 1 ; Б – 3 ; В – 2

Дана арифметическая прогрессия (a_n) в которой:

Найдите разность прогрессии.

Формула арифметической прогрессии:

где d – это разность арифметической прогрессии

Ответ:

Найдите значение выражения

Приведём дроби к общему знаменателю и выполним вычисление:

Подставим значение х в полученное выражение:

Ответ:

Высота деревянного стеллажа для книг равна h = (a + b) * n + a миллиметров, где a – толщина одной доски (в мм), b – высота одной полки (в мм), n – число таких полок. Найдите высоту книжного стеллажа из 5 полок, если a = 26 мм, b = 330 мм. Ответ выразите в миллиметрах.

По условию задачи известно:

n = 5
a = 26 мм
b = 330 мм

Подставим значения в формулу:

Высота книжного стеллажа из 5 полок = 1806 мм

Ответ:

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) x 2 – 3x – 11 2 – 3x + 11 2 – 3x + 11 > 0

4) x 2 – 3x – 11 > 0

Итак, имеем две функции x 2 – 3x + 11 и x 2 – 3x – 11. Графиками этих функций являются параболы. Для наглядности мы воспользовались сервисом построения графиков.

Известно, что если парабола пересекает ось Х, то значит функция может принимать и положительные и отрицательные значения (быть >0, и 2 – 3x – 11

D = b 2 – 4ac = (-3) 2 – 4 * 1 * (-11) = 9 + 44 = 53

Дискриминант положительный – данная функция имеет два корня и пересекает ось Х. Следовательно, данная функция может принимать положительные и отрицательные значения. Отсюда неравенства 1) и 4) имеют решения.

Найдем дискриминант второй функции.

D = b 2 – 4ac = (-3) 2 – 4 * 1 * 11 = 9 – 44 = -35

Дискриминант отрицательный, т.е. данное уравнение не имеет корней, а график данной функции не пересекает ось Х.

В данной функции аргумент а=1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

График данной функции полностью располагается над осью Х. Следовательно, функция принимает только положительные значения.

Получается, что неравенство под пунктом 2) x 2 – 3x + 11

Модуль “Геометрия”

Найдите периметр участка земли прямоугольной формы, площадь которого равна 3200 м 2 , а одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах?

Пусть x – одна сторона прямоугольника

Тогда x * 2 – вторая сторона прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Первая сторона a = 40 м

Вторая сторона b = 40 * 2 = 80 м

Периметр прямоугольника равен:

Ответ:

На стороне AC треугольника ∆ABC отмечена точка D так, что AD = 2, DC = 13. Площадь треугольника ∆ABC равна 75. Найдите площадь треугольника ∆ABD.

Построим треугольник согласно условию:

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

a – длина основания
h – высота треугольника

По условию задачи известно, что

площадь треугольника ∆ABC = 75
AD = 2, DC = 13

Тогда формула площади треугольника примет вид

Так как высота у треугольников ∆ABC и ∆ABD общая и равна BH, то площадь треугольника ∆ABD будет равна

Ответ:

Площадь треугольника ∆ABD равна 10

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Выполним некоторые обозначения на нашем рисунке:

Обозначим наш треугольник, как ∆ABC

По условию задачи, треугольник равносторонний, а значит:

AB = BC = AC = 12√3

Известно, что в равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают.

Определение: Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Таким образом, AO = BO = CO = R – радиус окружности.

Определение: В равностороннем треугольнике все углы равны 180° : 3 = 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABH.

По условию задачи нам известно, что AB = 12√3

AH = AC : 2 = 12√3 : 2 = 6√3

Используя теорему Пифагора, найдем чему равна сторона BH

Определение: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Определение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ:

Радиус окружности равен 12

В параллелограмме ABCD угол A равен 61°. Найдите величину угла D. Ответ дайте в градусах.

Определение: Углы, прилежащие к любой стороне параллелограмма, в сумме равны 180°

∠D = 180° – 61° = 119°

Ответ:

Величина угла D = 119°

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены три точки A, B и C. Найдите расстояние от точки А до прямой BC

Из рисунка видно, что от точки А до прямой BC – 1 клетка

Ответ:

Какое из следующих утверждений верно?

Боковые стороны любой трапеции равны.
Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

Неверно – боковые стороны у трапеции могут отличаться друг от друга.
Верно – это одна из формул площади ромба
Неверно – равнобедренный треугольник может быть и тупоугольным

Ответ:

Часть 2

Модуль “Алгебра”

Решите систему уравнений

Найдем чему равен x из второго уравнения

Подставим результат в первое уравнение

Умножим все части на y 2

Тогда получаем квадратное уравнение:

D = b 2 – 4ac = (-65) 2 – 4 * 1 * 64 = 4225 – 256 = 3969

Дискриминант положительный – данная функция имеет два корня

Найдем корни уравнения:

Так как изначально выполнили замену: t = x 2 , то теперь определим чему равен х:

Вернёмся к первоначальной системе:

Как видим, что x, что y могут принимать полученные значения. Кроме того, то полученные корни могут принимать как отрицательное, так и положительное значения, поскольку в первом уравнении оба неизвестных возводятся в квадрат, а во втором уравнении плюс на плюс и минус на минус в любом случае дают одинаковый результат.

Вы легко это можете это проверить подставляя полученные корни в данные уравнения.

Значит, решение исходной системы:

Ответ:

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Преобразуем секунды в часы

12 секунд = 12 : 60 : 60

141 – 6 = 135 (км/ч) – разница между скоростью поезда и пешехода.

135 * 12 : 60 : 60 = 0,45 (км) = 450 метров – длина поезда

Ответ:

Постройте график функции y = x | x | – | x | – 6x и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две точки.

y = x | x | – | x | – 6x

Заданная функция имеет модуль, поэтому разложим данную функцию на две подфункции, в зависимости от значения модуля:

y = x 2 – x – 6x, при x≥0
y = -x 2 – (-x) – 6x, при x 2 – x – 6x = x 2 – 7x, при x≥0
y = -x 2 + x – 6x = –x 2 – 5x , при x 2 – 7x:

y₀ = x 2 – 7x = 3,5 2 – 7 * 3,5 = 2,25 – 4,5 = -12,25

Вершина параболы y = -x 2 – 5x:

y₀ = -x 2 – 5x = -(-2,5) 2 – 5 * (-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25

y=m имеет с графиком ровно две точки в точках: -12,25 и 6,5

Ответ:

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ∆ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Построим чертёж согласно условию задачи:

Так как высота BH является общей высотой для двух треугольников ∆ABC и ∆ABН, то эти треугольники подобны по определению.

Исходя из этого, справедливым будет следующее равенство отношения сторон данных треугольников:

Искомая величина AB = 12

Ответ:

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники ∆MBC и ∆MDA подобны.

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Определение: четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

Следовательно суммы противоположных углов четырёхугольника будут равны:

∠BCD + ∠DAB = ∠4 + ∠3 = 180°

∠ABC + ∠CDA = ∠2 + ∠1 = 180°

Углы ∠CBM и ∠ABC образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠CBM + ∠ABC = ∠5 + ∠2 = 180°

Углы ∠MCB и ∠BCD также образуют развёрнутый угол, значит их сумма равна 180°

∠MCB + ∠BCD = ∠6 + ∠4 = 180°

Из перечисленных равенств получаем

∠4 + ∠3 = 180° , а ∠6 + ∠4 = 180°, значит

∠2 + ∠1 = 180° , а ∠5 + ∠2 = 180°, значит

То есть, углы ∠DAB (∠3) и ∠MCB (∠6) равны и углы ∠CDA (∠1) и ∠CBM (∠5) также равны.

Рассмотрим треугольники: ∆MBC и ∆MDA

Из вышеперечисленного получаем, что оба треугольника имеют%

один общий угол ∠M
углы ∠DAB (∠3) и ∠MCB (∠6) равны
углы ∠CDA (∠1) и ∠CBM (∠5) также равны

следовательно треугольники подобны.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 6, а средняя линия равна 5.

Выполним чертёж, согласно заданного условия:

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

где, (BC + AD)/2 – это полусумма оснований EF (по условию задачи равна 5). Получаем:

Итак, чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти ее высоту h.

Выполним ряд преобразований с нашим чертежом.

Продлим основание AD из точки D (вправо).

Проведём прямую из вершины C до основания AD так, чтобы данная прямая оказалась параллельной диагонали BD. Точку пересечения данной прямой с основанием AD обозначим через M (как показано на рисунке).

В четырехугольнике BCMD сторона CM || BD (по построению) и DM || BC (по определению трапеции)

Следовательно, четырехугольник BCMD является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны параллельны.

Тогда, по свойству параллелограмма, DM = BC.

Найдем длину AM

AM = AD + DM = AD + BC

По условию задачи нам известна величина средней линии – 5. А мы помним, что средняя линия равна полусумме оснований. Отсюда

AM = AD + DM = AD + BC = 5 * 2 = 10

Рассмотрим треугольник ∆ACM.

Нам известны длины всех его сторон:

Зная длины всех сторон треугольника, можно найти его площадь через полупериметр.

Определение: Если известны длины всех сторон треугольника, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться формулой Герона