Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиСвойства хорд и дуг окружности
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиТеорема о бабочке

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
КругТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
РадиусТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
ХордаТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
ДиаметрТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
КасательнаяТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
СекущаяТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Окружность
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеТеорема касательной и секущей к окружности из одной точкиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точкиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныТеорема касательной и секущей к окружности из одной точкиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиТеорема касательной и секущей к окружности из одной точкиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точкиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точкиСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаТеорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Пересекающиеся хорды
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки
Пересекающиеся хорды
Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Тогда справедливо равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

Свойство касательной и секущей

Теорема о пропорциональности отрезков секущей и касательной

(Свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки)

Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Другими словами, квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Дано : окр. (O;R), AK — касательная, AB — секущая,

окр. (O;R)∩AK=K, (O;R)∩AB=B, C

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиПроведём хорды BK и CK.

Рассмотрим треугольники ABK и AKC.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

(как вписанный угол, опирающийся на дугу CK).

Значит, треугольники ABK и AKC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

По основному свойству пропорции

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Что и требовалось доказать .

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найти AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точкиДано :

∆ABC, B, C ∈ окр.(O;R) O∈AC, AB — касательная, AB=4, FC — диаметр, FС=15

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки,

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Пусть AF=x, тогда AC=x+15. Составим и решим уравнение:

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, AC=1+15=16.

Видео:Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки. Доказательство

Теорема о секущей и касательной

Об этой теореме можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть. Конечно, в учебнике она тоже есть – но никак не выделена и найти ее почти невозможно.

Множество задач ЕГЭ и ОГЭ решаются с помощью этой теоремы.

Теорема касательной и секущей к окружности из одной точки

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Пусть МС – касательная, МВ — секущая к окружности. Покажем, что

Как мы доказали , и это значит, что треугольники МСА и МВС подобны по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон:
.

📸 Видео

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Теорема о касательной и секущей ДоказательствоСкачать

Теорема о касательной и секущей Доказательство

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружностиСкачать

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружности

Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Теорема о касательной и секущей. Доказательство.Скачать

Теорема о касательной и секущей. Доказательство.
Поделиться или сохранить к себе: