Определение угла между двумя параллельными прямыми

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание
  1. Предупреждение
  2. 1. Угол между прямыми на плоскости
  3. Прямые заданы каноническими уравнениями
  4. 1.1. Определение угла между прямыми
  5. 1.2. Условие параллельности прямых
  6. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  7. Прямые заданы общими уравнениями
  8. 1.4. Определение угла между прямыми
  9. 1.5. Условие параллельности прямых
  10. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  11. 2. Угол между прямыми в пространстве
  12. 2.1. Определение угла между прямыми
  13. 2.2. Условие параллельности прямых
  14. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  15. Угол между прямыми
  16. Определение угла между прямыми
  17. Угол между прямыми на плоскости
  18. Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
  19. Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
  20. Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
  21. Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
  22. Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
  23. Угол между прямыми в пространстве
  24. Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения
  25. Угол между двумя прямыми в пространстве
  26. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
  27. Угол между двумя плоскостями, пространства
  28. Пример №1
  29. Расстояния в пространстве
  30. Пример №2
  31. Пример №3
  32. Пример №4
  33. 📹 Видео

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Определение угла между двумя параллельными прямыми,(1.1)
Определение угла между двумя параллельными прямыми,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Определение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямыми,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.5)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.6)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.
Определение угла между двумя параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Определение угла между двумя параллельными прямыми

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Определение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямыми,
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.10)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.11)
Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Определение угла между двумя параллельными прямыми(1.14)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.15)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Определение угла между двумя параллельными прямыми(1.17)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Определение угла между двумя параллельными прямыми(23)
Определение угла между двумя параллельными прямыми

Упростим и решим:

Определение угла между двумя параллельными прямыми
Определение угла между двумя параллельными прямыми

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Определение угла между двумя параллельными прямыми

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Определение угла между двумя параллельными прямыми,(2.1)
Определение угла между двумя параллельными прямыми,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Определение угла между двумя параллельными прямыми,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.5)
Определение угла между двумя параллельными прямыми(2.6)
Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми.
Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Упростим и решим:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.
Определение угла между двумя параллельными прямыми

Угол между прямыми равен:

Определение угла между двумя параллельными прямыми

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Определение угла между двумя параллельными прямыми(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Определение угла между двумя параллельными прямыминужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.9)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.10)
Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.11)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.12)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Определение угла между двумя параллельными прямыми(2.17)
Определение угла между двумя параллельными прямыми.(2.18)
Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

Угол между прямыми

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Соответственно легко найти угол между прямыми

tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Определение угла между двумя параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b

то вектор направляющей имеет вид

Если уравнение прямой задано как

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .

Если дано каноническое уравнение прямой

то вектор направляющей имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Определение угла между двумя параллельными прямыми

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если уравнение прямой задано как

то вектор нормали имеет вид

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

то вектор нормали имеет вид

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Определение угла между двумя параллельными прямыми

sin φ = | a · b | | a | · | b |

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор , для второй прямой направляющий вектор

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )

x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )

tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми в пространстве

cos φ = | a · b | | a | · | b |

Если дано каноническое уравнение прямой

то направляющий вектор имеет вид

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + a y = m t + b z = n t + c

то направляющий вектор имеет вид

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то — направляющий вектор первой прямой, направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор .

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3

3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3

— направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:Углы между секущими и параллельными прямымиСкачать

Углы между секущими и параллельными прямыми

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Определение угла между двумя параллельными прямыми

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Определение угла между двумя параллельными прямыми— угол между скрещивающимися прямыми Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Определение угла между двумя параллельными прямымито углом между прямыми Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымибудет угол между прямыми Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, где Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.1,6).

Итак,Определение угла между двумя параллельными прямыми
Если Определение угла между двумя параллельными прямыми, то Определение угла между двумя параллельными прямыми. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Определение угла между двумя параллельными прямымии плоскостью Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Определение угла между двумя параллельными прямымипрямой Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми;
  2. проводят из точки Определение угла между двумя параллельными прямымиперпендикуляр к плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми;
  3. проводят через точки плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымипрямую Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Прямую Определение угла между двумя параллельными прямыминазывают проекцией прямой Определение угла между двумя параллельными прямымина плоскость Определение угла между двумя параллельными прямымиа.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Определение угла между двумя параллельными прямымиперпендикулярна Определение угла между двумя параллельными прямыми, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой Определение угла между двумя параллельными прямымии плоскостью Определение угла между двумя параллельными прямымиобозначают Определение угла между двумя параллельными прямымиили Определение угла между двумя параллельными прямымиили Определение угла между двумя параллельными прямыми. Читают: «угол между прямой Определение угла между двумя параллельными прямымии плоскостью Определение угла между двумя параллельными прямыми».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Выберем точки Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.4), принадлежащие прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми— линии пересечения плоскостей Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, — и построим два линейных угла для плоскостей Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. Для этого проведем плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, которые пересекут плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымипо прямым Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. Прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымилежат в плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии перпендикулярны прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, значит Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. Если к плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымиприменить параллельный перенос, который переводит точку Определение угла между двумя параллельными прямымив точку Определение угла между двумя параллельными прямыми, то прямая Определение угла между двумя параллельными прямымисовпадет с прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, а прямая Определение угла между двумя параллельными прямыми— с прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымисовпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Определение угла между двумя параллельными прямымисм. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Определение угла между двумя параллельными прямыми— отрезок,Определение угла между двумя параллельными прямыми Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми
Найти: углы, образованные отрезком Определение угла между двумя параллельными прямымис плоскостями Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— проекции точек Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымина плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымисоответственно. Поскольку Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми(или Определение угла между двумя параллельными прямыми) — прямая пересечения этих плоскостей, то Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямыми.
Итак, Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— прямоугольные, у которых: Определение угла между двумя параллельными прямыми Определение угла между двумя параллельными прямыми(по условию).
Из Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми
Из Определение угла между двумя параллельными прямыми Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Определение угла между двумя параллельными прямыми

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Определение угла между двумя параллельными прямыми и Определение угла между двумя параллельными прямыминазывается длина отрезка Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.14). Расстояние от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо прямой Определение угла между двумя параллельными прямымиравно длине перпендикуляра Определение угла между двумя параллельными прямыми, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Определение угла между двумя параллельными прямымис концами в точке Определение угла между двумя параллельными прямымии произвольной точке Определение угла между двумя параллельными прямымипрямой, отличной от Определение угла между двумя параллельными прямыми, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Рассмотрим плоскость Определение угла между двумя параллельными прямымии точку Определение угла между двумя параллельными прямыми, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымиследует выбрать длину перпендикуляра Определение угла между двумя параллельными прямыми, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Определение угла между двумя параллельными прямыми, где Определение угла между двумя параллельными прямыми— произвольная точка плоскости, отличная от Определение угла между двумя параллельными прямыми, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Расстояние от точки Определение угла между двумя параллельными прямыми до отрезка Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Определение угла между двумя параллельными прямымииз точки Определение угла между двумя параллельными прямымик прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми; 2) если основание Определение угла между двумя параллельными прямымиэтого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Определение угла между двумя параллельными прямыми, то искомое расстояние равно длине отрезка Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Определение угла между двумя параллельными прямымиили Определение угла между двумя параллельными прямыми(в зависимости от того, какая из точек — Определение угла между двумя параллельными прямымиили Определение угла между двумя параллельными прямыми— лежит ближе к точке Определение угла между двумя параллельными прямыми) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Определение угла между двумя параллельными прямымиравны между собой, а каждый отрезок с концами Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымина данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Пусть имеем две параллельные плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Определение угла между двумя параллельными прямыми, проведенный из произвольной точки Определение угла между двумя параллельными прямымиодной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымипараллельных плоскостей Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымипараллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Определение угла между двумя параллельными прямымис концами в данных плоскостях Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Определение угла между двумя параллельными прямыми.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Определение угла между двумя параллельными прямыми, к плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымименьше наклонной Определение угла между двумя параллельными прямымик этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Действительно, пусть Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, соответственно параллельные Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, так, что прямая Определение угла между двумя параллельными прямымипересекается с прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, а прямая Определение угла между двумя параллельными прямыми. Через прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымикоторые попарно пересекаются, проводим плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми.
Плоскости Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— параллельные. Произвольные прямые Определение угла между двумя параллельными прямыми, которые пересекают прямую Определение угла между двумя параллельными прямымии перпендикулярны плоскости Определение угла между двумя параллельными прямыми, лежат в одной плоскости. Назовем ее Определение угла между двумя параллельными прямыми. Эта плоскость пересекает плоскость Определение угла между двумя параллельными прямымипо прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, параллельной Определение угла между двумя параллельными прямыми. Пусть точка Определение угла между двумя параллельными прямыми— точка пересечения прямых Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямымии некой прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, а точка Определение угла между двумя параллельными прямыми— точка пересечения той же прямой Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. Тогда прямая Определение угла между двумя параллельными прямыми, перпендикулярная плоскости Определение угла между двумя параллельными прямыми, перпендикулярна и плоскости Определение угла между двумя параллельными прямыми, поскольку Определение угла между двумя параллельными прямыми. Отсюда вытекает, что Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Отрезок Определение угла между двумя параллельными прямыми— общий перпендикуляр к плоскостям Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, а следовательно, и к прямым Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымиимеют другой общий перпендикуляр Определение угла между двумя параллельными прямыми. Проведем через точку Определение угла между двумя параллельными прямымипрямую Определение угла между двумя параллельными прямыми, параллельную Определение угла между двумя параллельными прямыми. Прямая Определение угла между двумя параллельными прямымиперпендикулярна прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми, а следовательно, и Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Поскольку она перпендикулярна прямым Определение угла между двумя параллельными прямымииОпределение угла между двумя параллельными прямыми, которые проходят через точку Определение угла между двумя параллельными прямыми, то она перпендикулярна плоскости Определение угла между двумя параллельными прямыми. Тогда Определение угла между двумя параллельными прямымипараллельна прямой Определение угла между двумя параллельными прямыми. Имеем, что через прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок Определение угла между двумя параллельными прямымиперпендикулярен плоскости треугольника Определение угла между двумя параллельными прямыми, стороны Определение угла между двумя параллельными прямыми, Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымикоторого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо стороны Определение угла между двумя параллельными прямыми, если Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Пусть Определение угла между двумя параллельными прямыми— высота данного остроугольного треугольника Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Определение угла между двумя параллельными прямымии длина Определение угла между двумя параллельными прямымибудет расстоянием от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо стороны Определение угла между двумя параллельными прямыми. Определим ее из прямоугольного треугольника Определение угла между двумя параллельными прямыми(поскольку Определение угла между двумя параллельными прямыми), то Определение угла между двумя параллельными прямыми). Для этого предварительно найдем Определение угла между двумя параллельными прямыми.

Из формулы для площади треугольника Определение угла между двумя параллельными прямыми.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Определение угла между двумя параллельными прямыми
Тогда Определение угла между двумя параллельными прямымииОпределение угла между двумя параллельными прямыми.

Пример №3

Прямая Определение угла между двумя параллельными прямымиперпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Определение угла между двумя параллельными прямыми. Докажите, что расстояния от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо всех сторон ромба равны между собой.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Пусть Определение угла между двумя параллельными прямыми— ромб и Определение угла между двумя параллельными прямыми— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Определение угла между двумя параллельными прямыми— центр вписанной в ромб окружности. Пусть Определение угла между двумя параллельными прямыми— точки касания сторон к окружности. Тогда Определение угла между двумя параллельными прямыми. Поскольку Определение угла между двумя параллельными прямымиОпределение угла между двумя параллельными прямыми, то по теореме о трех перпендикулярах Определение угла между двумя параллельными прямыми. Итак, Определение угла между двумя параллельными прямыми— расстояния от точки Определение угла между двумя параллельными прямымидо сторон ромба. Из равенства треугольников Определение угла между двумя параллельными прямымивытекает, что Определение угла между двумя параллельными прямыми. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Определение угла между двумя параллельными прямымине лежит в плоскости прямоугольного треугольника Определение угла между двумя параллельными прямымии находится на расстояниях Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымиот прямых, содержащих катеты Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми(рис. 6.23). Определение угла между двумя параллельными прямыми— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Определение угла между двумя параллельными прямыми-прямоугольник.

Определение угла между двумя параллельными прямыми

Поскольку отрезки Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— расстояния от точки Определение угла между двумя параллельными прямымисоответственно до прямых Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми, то Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми. По условию Определение угла между двумя параллельными прямыми, поэтому Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми— проекции наклонных Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямымина плоскость Определение угла между двумя параллельными прямымии Определение угла между двумя параллельными прямыми(по теореме о трех перпендикулярах). Однако Определение угла между двумя параллельными прямымипо условию, поэтому Определение угла между двумя параллельными прямыми— прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност

Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

Определение истинной величины двугранного угла АВСD при ребре АВ методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение истинной величины двугранного угла АВСD при ребре АВ методом замены плоскостей проекции

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые
Поделиться или сохранить к себе: