Определение квадрата через параллелограмм ромб и четырехугольник (8 видео)

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение четырехугольника

Выпуклые четырехугольники

Параллелограмм

Содержание

Определение четырехугольника
Выпуклые четырехугольники
Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Примеры решений заданий из ОГЭ
Прямоугольник, ромб, квадрат
Предварительные сведения
Прямоугольник
Готовые работы на аналогичную тему
Квадрат
Пример задачи
5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат
📺 Видео

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Видео:Параллелограмм. Свойства. Прямоугольник, ромб, квадрат. ЗАДАЧИСкачать

Прямоугольник, ромб, квадрат

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.

Напомним основные свойства параллелограмма.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).

Рисунок 1. Прямоугольник

Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются $^0$

Рассмотрим два свойства прямоугольника.

Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.

Готовые работы на аналогичную тему

Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем

Так как $angle B=angle A=^0$, а $AB$ — общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $triangle ABD=triangle ABC$. Следовательно

Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).

Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим

Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $triangle DRC=triangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB=angle RBA$.

Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $triangle DRA=triangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB=angle RBC$.

Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.

Так как сумма углов четырехугольника равняется $^0$, то

Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.

Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).

Рассмотрим свойство ромба.

Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.

Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).

Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,

Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ — медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.

Видео:Геометрия. Четырехугольники. Параллелограмм. Ромб. Квадрат. Математика ОГЭ ЕГЭСкачать

Квадрат

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Рисунок 5. Квадрат

Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Видео:Ромб. 8 класс.Скачать

Пример задачи

Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора

Ответ: $20sqrt$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16 05 2022

Видео:Квадрат. 8 класс.Скачать

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Видеоурок 1: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 1

Видеоурок 2: Прямоугольник, ромб и квадрат. Часть 2

Лекция: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Четырехугольники

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Ну давайте начнем характеризовать все четырехугольники, имеющиеся в теме.