Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей |
Общие касательные к двум окружностям |
Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
- Взаимное расположение двух окружностей
- Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
- Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения
- Определение окружности и круга
- Определение окружности и ее элементов
- Что такое окружность и круг
- Пример №3
- Окружность и треугольник
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Пример №4
- Пример №5
- Геометрические построения
- Пример №6
- Пример №7
- Пример №8
- Пример №9
- Пример №10
- Пример №11
- Пример №12
- Пример №13
- Задачи на построение
- Пример №14
- Пример №15
- Пример №16
- Пример №17
- Свойство диаметра, перпендикулярного хорде
- Касательная к окружности
- Признак касательной
- Свойство отрезков касательных
- Касание двух окружностей
- Задачи на построение
- Основные задачи на построение
- Решение задач на построение
- Пример №18
- Геометрическое место точек
- Основные теоремы о ГМТ
- Метод геометрических мест
- Пример №19
- Описанная и вписанная окружности треугольника
- Окружность, вписанная в треугольник
- Пример №20
- Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки
- Циркуль или линейка
- Об аксиомах геометрии
- Метод вспомогательного треугольника
- Пример №21
- Пример №22
- Пример №23
- Реальная геометрия
- Справочный материал по окружности и кругу
- Что называют окружностью
- Окружность, вписанная в треугольник
- Окружность, описанная около треугольника
- Геометрическое место точек в окружности и круге
- Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
- Окружность и круг
- Определение окружности и круга
- Пример:
- Центральные углы и дуги окружности
- Вписанные углы
- Пример:
- Взаимное расположение прямой и окружности
- Пример:
- Взаимное расположение двух окружностей
- Пример:
- Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник
- Пример:
- Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них
- Вписанные и описанные правильные многоугольники
- Пример:
- Длина окружности
- Пример 1.
- Пример 2.
- Площадь круга
- Части окружности и круга
- Пример 1.
- Пример 2.
- 🔥 Видео
Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать
Взаимное расположение двух окружностей
Фигура | Рисунок | Свойства |
Две окружности на плоскости | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внешняя касательная к двум окружностям | |
Внутренняя касательная к двум окружностям | |
Внутреннее касание двух окружностей | |
Окружности пересекаются в двух точках | |
Внешнее касание двух окружностей | |
Каждая из окружностей лежит вне другой | |
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутреннее касание двух окружностей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружности пересекаются в двух точках | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешнее касание двух окружностей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Формула | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решенияСодержание: Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность. Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе. Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения. Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур. Окружность и круг: Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка). Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности. Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками. На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: ), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда Диаметр обозначают буквой D (или d). Тогда Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные. Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности. Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента. Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 — центральный угол. Окружности (круги) равны, если равны их радиусы. Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52). Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать Определение окружности и кругаОкружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности. Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью. Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3). В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка. Определение окружности и ее элементовПусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности. Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ). Радиус — от латинского «радиус» — луч, спица Хорда — от греческого «хорда» — струна, тетива Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» — измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 — радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ). Определение: Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности. На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R. Построение окружности выполняют с помощью циркуля. Видео:Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.Скачать Что такое окружность и кругОкружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности. Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?) Окружность на бумаге описывают МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то (по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла. Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла. Здесь имеются в виду углы меньше развернутого. Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217, Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого). Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок. А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218). Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка. Геометрические места точек пространства изучают в старших классах. Пример №3Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются. Решение: Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть . Но по условию А две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются. Окружность и треугольникОкружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее. Описанная окружностьОкружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223). Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника. Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC. Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну.
Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:
Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон (рис. 225). Вписанная окружностьОкружность называется вписанной в треугольник если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежим’ и внутренней области этого треугольник. Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника. Доказательство: Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС. В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:
Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228). Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то . точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе. Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом. Доказательство: Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоПоскольку Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. Пример №4Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см. Решение: Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см. Пример №5Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c. Решение: Пусть в угол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС — АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с. Геометрические построенияПользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения. Пример №6Постройте треугольник по данным сторонам. Решение: Пусть даны три отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам. Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме. Пример №7Постройте угол, равный данному углу. Решение: Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный (рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений. который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому Пример №8Постройте биссектрису данного угла. Решение: Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ. Действительно, (по трем сторонам). Поэтому Пример №9Разделите данный отрезок пополам. Решение: Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D. Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам. Действительно, по трем сторонам , поэтому По первому признаку равенства треугольников . Итак, AM = ВМ. Пример №10Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а. Решение: В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно. Пример №11Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ. Решение: Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей? Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад. Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности. В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями. Пример №12Разделите данную дугу окружности на две равные части. Решение: Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны. Пример №13Постройте угол вдвое больше данною. Решение: Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем луч ОС. Угол АОС вдвое больше Задачи на построениеС геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле. В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль. Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р. Пример №14Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243). Решение: Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с. Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить. Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача. Пример №15Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245). Решение: Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD. Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим , после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить. Доказательство: В треугольнике по построению. АС + СВ — АС + CD — а + b. Следовательно, удовлетворяет все условия задачи. Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с. Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование. В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:
Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:
Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно. В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно Пример №16Найдите центр данной окружности. Решение: Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246). Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС. Пример №17Через данную точку проведите касательную к данной окружности. Решение: Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить. Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку (Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения. Свойство диаметра, перпендикулярного хордеДиаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите. Решение Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Докажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ. В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать. Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. Касательная к окружностиОпределение и свойство касательной Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b . Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку. Определение: Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А . Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания. Теорема (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство: Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Применим метод доказательства от противного. Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а . На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ , и соединим точки О и С . Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС . Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA . Теорема доказана. Признак касательнойДокажем теорему, обратную предыдущей. Теорема: (признак касательной) Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности. Доказательство: Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем . Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного. Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В , отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника , что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности. Свойство отрезков касательныхПусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170). Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А . Опорная задача Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите. Решение Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, по гипотенузе и катету, откуда АВ = АС. Касание двух окружностейОпределение: Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную. Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей. Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а); Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б). Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее. По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой. Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания. Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания. Задачи на построениеЧто такое задачи на построение? Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:
Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины. Циркуль — от латинского «циркулус» — окружность, круг. С помощью циркуля можно:
Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей. Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи. Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая. Основные задачи на построениеЕсли каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.
Отметим, что построенная прямая перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку. Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной. Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А к В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через и можно определить середину отрезка AB как точку пересечения прямых АВ и , после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи. Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую b , перпендикулярную а, и прямую с, перпендикулярную b (рис. 173). Тогда а || с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:
Если эти задачи применяются как вспомогательные при решение более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать. Решение задач на построениеРешение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг. Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать Окружность и кругОкружность — это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа. Число. называется радиусом этого круга. Содержание: Определение окружности и кругаОпределение. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называют радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. Определение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр, называют диаметром. На рисунке 2.151 изображена окружность с центром в точке О. Отрезок OA — радиус этой окружности, BD — хорда окружности, СМ — диаметр окружности. Определение. Кругом называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эту точку называют центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с тем же центром и радиусом (рис. 2.152). Пример:На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость: а) две окружности; б) три окружности? Решение: Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ: а) четыре части (рис. 2.153); б) восемь частей (рис. 2.154). Центральные углы и дуги окружностиПусть вершина некоторого угла совпадает с центром окружности (рис. 2.155). Угол АОВ мы будем называть центральным углом. Определение. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Определение. Пересечение окружности и ее центрального угла называют дугой окружности. Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего центрального угла. Градусная мера дуги АВ на рисунке 2.155 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается . Можно ввести еще одну важную единицу измерения дуг. При измерении угловой величины дуги окружности за единицу измерения принимается угловая величина дуги этой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Эту единицу измерения угловых величин дуг называют радианом. Сформулируем некоторые свойства измерения дуг окружностей: — градусная мера дуги не зависит от размера окружности; — соответствующие дуги двух концентрических окружностей на рисунке 2.156 имеют одну и ту же градусную меру (величину). — если дуга (на данной окружности) становится больше, то увеличивается и ее величина. Окружности (или круги) равны, если равны их радиусы. Можно говорить и о равных дугах окружностей, но равные дуги могут быть или у одной окружности или у равных окружностей. Определение. Две дуги одной и той же окружности или же равных окружностей называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру. Вписанные углыВершина угла может принадлежать окружности. В этом случае мы получаем вписанные углы. Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность. На рисунке 2.157 угол ABC вписанный. Его вершина В принадлежит окружности, стороны ВА и ВС пересекают окружность. В этом случае говорят, что вписанный угол ABC опирается на дугу АС окружности. Величина вписанного угла выражается в тех же единицах, что и у других углов, а вот правило нахождения этой величины другое. Теорема 40. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. При доказательстве теоремы 40 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунках 2.158—2.160: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 2.158); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.159); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.160). Из теоремы 40 можно получить следующие следствия: Следствие 1. Все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны. Следствие 2. Вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые. На рисунке 2.161 стороны вписанного угла ABC проходят через концы диаметра АС, поэтому Пример:Точки А, В и С лежат на окружности с центром О. Найдите угол АОС, если Решение: Из условия задачи имеем: 1. Точки А, В и С лежат i 2. 3. Найдите 4. Угол ABC, вписанный в окружность, опирается на дугу АС (1, определение вписанного угла). 5. — центральный угол данной окружности (1, определение центрального угла), (1, свойство измерения вписанных углов). 6. (5, свойство измерения центральных углов). Взаимное расположение прямой и окружностиВозможны три случая взаимного расположения прямой и окружности, если эта прямая и окружность лежат в одной плоскости: а) прямая имеет две общие точки с окружностью; б) прямая имеет только одну общую точку с окружностью; в) прямая не имеет общих точек с окружностью. Перечислим условия, определяющие все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от расстояния между центром окружности и прямой. 1) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 2.163). При этом окружность лежит по одну сторону от прямой. 2) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то окружность имеет с прямой единственную общую точку, т. е. прямая касается окружности (рис. 2.164). И в этом случае окружность лежит по одну сторону от прямой. 3) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность ровно в двух точках (рис. 2.165). В этом случае прямая разбивает окружность на две части. Определение. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то говорят, что прямая и окружность пересекаются. В этом случае прямая называется секущей. Можно доказать свойство секущей окружности. Теорема 41. Если прямая проходит через точку, внутреннюю относительно окружности, то она является секущей, т. е. пересекает окружность в двух точках. Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности, а общую точку прямой и окружности — точкой касания (рис. 2.166). Все точки касательной, кроме точки касания, лежат вне данной окружности. Действительно, если предположить, что на касательной АВ имеется хотя бы одна точка, лежащая внутри окружности, то прямая АВ должна пересекать окружность в двух точках, поэтому она не может быть касательной. Прямая и окружность могут иметь только одну общую точку, но через эту точку может проходить бесконечное множество прямых, не лежащих с окружностью в одной плоскости (рис. 2.167). Теорема 42. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. Теорема 43. Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности. Пример:Постройте касательную к данной окружности с центром О и радиусом , проходящую через ее точку А. Решение: Из условия задачи имеем: (рис. 2.168) 1. Окр. (О, ). 2. Точка А на окружности. 3. Требуется построить касательную к окружности, проходящую через точку А. Анализ. Предположим, что задача решена и построена касательная АВ к окружности (рис. 2.168). По теореме 42 касательная АВ перпендикулярна радиусу OA в точке А, поэтому, если построить прямую АВ, перпендикулярную OA, то эта прямая будет искомой. Построение. Нужно построить перпендикуляр АВ к прямой OA в точке А. Это построение можно свести к построению серединного перпендикуляра к отрезку (рис. 2.168). Задача имеет только одно решение. Действительно, касательная, проходящая через точку А, должна быть перпендикулярна прямой OA (т. 42), а через точку А в плоскости данного радиуса проходит только одна прямая АВ, перпендикулярная к прямой OA (т. 41). Взаимное расположение двух окружностейНа рисунке 2.169 изображены две окружности с радиусом и с центром в точке и с радиусом с центром . Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Сравнив расстояние h между центрами и с радиусами окружностей, заметим, что h > + . Представьте теперь, что первая окружность передвигается так, что расстояние h между центрами и уменьшается. Когда расстояние между центрами станет равным сумме радиусов h = + , окружности будут иметь одну общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются внешним образом, а их общую точку называют точкой касания (рис. 2.170). При дальнейшем уменьшении расстояния h окружности будут пересекаться, то есть иметь две общие точки (рис. 2.171). При этом В случае, когда окружности имеют лишь одну общую точку — точку касания (рис. 2.172). Все точки окружности меньшего радиуса, кроме точки касания, будут расположены во внутренней области окружности большего радиуса. В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним образом. При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами, т. е. при условии (рис. 2.173), окружности не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Причем окружность меньшего радиуса расположена во внутренней области окружности большего радиуса. В частности, при h = 0 центры окружностей совпадут (рис. 2.174). Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. Итак, в зависимости от соотношений между h, две окружности могут не иметь общих точек, могут иметь одну или две общие точки. а) — окружности не имеют общих точек; б) — окружности касаются внешним образом; B) — окружности пересекаются в двух точках; г) — окружности касаются внутренним образом; д) — окружности не имеют общих точек; е) h = 0 — окружности являются концентрическими. Пример:Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами окружностей? Решение: Радиусы окружностей перпендикулярны их общей касательной, проходящей через точку А (рис. 2.175). Поэтому Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольникОпределение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. На рисунке 2.176 изображен треугольник ABC, вписанный в окружность, а окружность будет описана около этого треугольника. Теорема 44. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр такой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 2.176). Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Теорема 45. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 2.177). Пример:В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислите радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности. Решение: 1) Из условия задачи имеем: 1. Треугольник ABC, в котором , ВС = 12 см, АС = 16 см. 2. О — центр вписанной окружности. 3. Найдите радиус вписанной окружности. 4. ОМ = OL = ОК = , ОМ СА, OL ВС, OK АВ (2, определение окружности, вписанной в треугольник). Надо найти . Как это сделать? Мы видим, что CMOL — квадрат, и, соединив точку О с точками А и В, применим теорему 45. 5. АО, ВО, СО — биссектрисы углов (4, т. 45) (рис. 2.179). 6. (4, теорема 19). 7. MA = КА, KB = LB (6). 8. (1, теорема Пифагора). Вычислим два раза периметр . 9. АВ + ВС + СА = 2АВ + (1, 7). 10. = 8 см, = 4 см (1, 8, 9). 2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности R = 10 см (рис. 2.180). Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около нихОпределение. Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. На рисунке 2.181 изображен пятиугольник, вписанный в окружность, его вершины А, В, С, D, Е лежат на окружности с центром в точке О, а значит, OA = OB = ОС = OD = ОЕ = , где — радиус окружности, описанной около пятиугольника. Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. На рисунке 2.182 шестиугольник ABCDEF описан около окружности. Не всякий многоугольник можно вписать в окружность и не около всякого многоугольника можно описать окружность. Далее сформулированы свойства и признаки вписанных в окружность четырехугольников. Например, есть четырехугольники, которые можно вписать в окружность (квадрат всегда можно вписать в окружность, рис. 2.183). А вот ромб вписать в окружность (рис. 2.184) нельзя. Теорема 46. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна . Теорема 47. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны. Теорема 48. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна , то около этого четырехугольника можно описать окружность. Теорема 49. Если суммы длин противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Вписанные и описанные правильные многоугольникиТеорема 50. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность. Теорема 51. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность. Теорема 52. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Радиус R окружности, описанной около правильного -угольника со стороной , находится по формуле Радиус окружности, вписанной в правильный -угольник со стороной , находится по формуле Сторону правильного -угольника обозначим . Можно доказать теорему: Теорема 53. Сторона правильного -угольника выражается через радиус R описанной около него окружности формулой Из этой теоремы можно получить следующие следствия. Следствие 1. Действительно, Следствие 2. Следствие 3. Пример:Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник. Решение: Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные восемь точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 2.185). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, полученный восьмиугольник правильный. Длина окружностиИз наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности. Теорема 54. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей. Отношение длины окружности к диаметру обозначают греческой буквой (читается «пи»): где С — длина окружности, R — ее радиус. Число иррациональное, = 3,1416. Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле На рисунке 2.186 изображена дуга АВ окружности с центром О. Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в , находится по формуле Радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что , т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на ; в частности, радианная мера угла 180° равна , радианная мера прямого угла равна . Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна Пример 1.Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг? Решение: Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. Имеем: Решая эту систему, получим х = 225°, у = 135°. Пример 2.Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него. Решение: 1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна 2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен . Поэтому а длина окружности равна Площадь кругаКоэффициент подобия двух кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Следовательно, площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Обозначим радиус круга через S. Отношение площадей двух кругов, радиусы которых записывается так: Итак, площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. Коэффициент их пропорциональности, как и в случае с длиной окружности, равен числу . Таким образом: Площадь круга выражается формулой: Через диаметр площадь круга выражается формулой: Части окружности и кругаОпределение. Круговым сектором называют часть круга, лежащую внутри соответствующего центрального угла (рис. 2.186). Площадь кругового сектора вычисляется по формуле где — радиус круга, — градусная мера соответствующего центрального угла. Определение. Круговым сегментом называют общую часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 2.187, 2.188). Площадь кругового сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле где — радиус круга, — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а — площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак + надо брать, если (рис. 2.187), а знак -, если (рис. 2.188). Пример 1.Проведите необходимые измерения и вычислите площади фигур, изображенных на рисунках 2.189—2.191. Решение: а) правильный (рис. 2.189), точки К и L — середины его сторон, АКМ и CML — секторы, дуга каждого из которых содержит 60°. Поэтому где — сторона . Например, при б) Считая, что АОВ — сектор с углом 120°, О — центр окружности (рис. 2.190), получим: где — радиус окружности. Например, при в) Считая, что дуга АОС (рис. 2.191) проходит через центр окружности О, а ее радиус равен радиусу окружности и , получим: где — радиус окружности. Например, при Пример 2.Докажите, что сумма площадей двух заштрихованных луночек (рис. 2.192) равна площади прямоугольного треугольника ABC. Решение: Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC через , гипотенузу через с (рис. 2.192), а сумму площадей заштрихованных фигур через S. По теореме Пифагора , т. е. Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»: Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»: Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института. Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды. Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги. 🔥 ВидеоВзаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать 7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать Окружность. 7 класс.Скачать Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задачСкачать ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать Взаимное расположение двух окружностейСкачать 70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать |