Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурВзаимное расположение двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОбщие касательные к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Содержание
  1. Взаимное расположение двух окружностей
  2. Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  3. Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
  4. Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения
  5. Определение окружности и круга
  6. Определение окружности и ее элементов
  7. Что такое окружность и круг
  8. Пример №3
  9. Окружность и треугольник
  10. Описанная окружность
  11. Вписанная окружность
  12. Пример №4
  13. Пример №5
  14. Геометрические построения
  15. Пример №6
  16. Пример №7
  17. Пример №8
  18. Пример №9
  19. Пример №10
  20. Пример №11
  21. Пример №12
  22. Пример №13
  23. Задачи на построение
  24. Пример №14
  25. Пример №15
  26. Пример №16
  27. Пример №17
  28. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде
  29. Касательная к окружности
  30. Признак касательной
  31. Свойство отрезков касательных
  32. Касание двух окружностей
  33. Задачи на построение
  34. Основные задачи на построение
  35. Решение задач на построение
  36. Пример №18
  37. Геометрическое место точек
  38. Основные теоремы о ГМТ
  39. Метод геометрических мест
  40. Пример №19
  41. Описанная и вписанная окружности треугольника
  42. Окружность, вписанная в треугольник
  43. Пример №20
  44. Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки
  45. Циркуль или линейка
  46. Об аксиомах геометрии
  47. Метод вспомогательного треугольника
  48. Пример №21
  49. Пример №22
  50. Пример №23
  51. Реальная геометрия
  52. Справочный материал по окружности и кругу
  53. Что называют окружностью
  54. Окружность, вписанная в треугольник
  55. Окружность, описанная около треугольника
  56. Геометрическое место точек в окружности и круге
  57. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
  58. Окружность и круг
  59. Определение окружности и круга
  60. Пример:
  61. Центральные углы и дуги окружности
  62. Вписанные углы
  63. Пример:
  64. Взаимное расположение прямой и окружности
  65. Пример:
  66. Взаимное расположение двух окружностей
  67. Пример:
  68. Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник
  69. Пример:
  70. Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них
  71. Вписанные и описанные правильные многоугольники
  72. Пример:
  73. Длина окружности
  74. Пример 1.
  75. Пример 2.
  76. Площадь круга
  77. Части окружности и круга
  78. Пример 1.
  79. Пример 2.
  80. 🔥 Видео

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Каждая из окружностей лежит вне другойОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внешнее касание двух окружностейОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутреннее касание двух окружностейОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружности пересекаются в двух точкахОкружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Каждая из окружностей лежит вне другой
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внешнее касание двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутреннее касание двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружности пересекаются в двух точках
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Каждая из окружностей лежит вне другой
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутреннее касание двух окружностейОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружности пересекаются в двух точкахОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внешнее касание двух окружностейОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутренняя касательная к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутреннее касание двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружности пересекаются в двух точках
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внешнее касание двух окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Каждая из окружностей лежит вне другой
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутренняя касательная к двум окружностямОкружность взаимное расположение окружности и других фигур
Общая хорда двух пересекающихся окружностейОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Внешняя касательная к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Внутренняя касательная к двум окружностям
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Окружность и круг — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Пусть в природе не существовало бы ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.

Раньше вы знакомились с основными геометрическими фигурами, устанавливали особенности этих фигур и их взаимное расположение. Но на практике довольно часто приходится решать «обратную» задачу — по определенным особенностям находить фигуру, имеющую их. Именно таково содержание задач на построение, которые будут рассматриваться в этом разделе.

Еще в работах древнегреческих математиков описаны задачи на построение и методы их решения.

Многие из этих задач составляют классику евклидовой геометрии. Кроме практической ценности, такие задачи представляют значительный исследовательский интерес, поскольку в ходе их решения определяются новые особенности построенных фигур.

Окружность и круг:

Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности (или длина этого отрезка).

Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности.

Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 48 точка О — центр, отрезок ОС — радиус окружности. Радиус обозначают буквой R (или Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 49 изображены: хорда ЕН, дуга КМ (обозначается: Окружность взаимное расположение окружности и других фигур), диаметр АВ. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметры окружности равны между собой. Диаметр АВ состоит из радиусов OA и ОВ, откуда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурДиаметр обозначают буквой D (или d). Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Любые две точки окружности разбивают ее на две дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Эти дуги так и называются — дополнительными. Чтобы различать такие дуги, их иногда обозначают тремя буквами. На рисунке 49 дуги АКМ и АНМ — дополнительные.

Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Точки окружности также принадлежат кругу (рис. 50). Поэтому центр, радиус, хорда и диаметр у круга те же, что и у его окружности.

Часть круга, заключенная между двумя радиусами, называется сектором. Часть круга, заключенная между дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги, называется сегментом (рис. 51). Два радиуса разбивают круг на два сектора, хорда разбивает круг на два сегмента.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Полуокружностью называется дуга окружности, концы которой являются концами диаметра. Полукругом называется часть круга, ограниченная полуокружностью и диаметром, соединяющим концы полуокружности. На рисунке 49 дуга АКВ — полуокружность, сегмент АКВ — полукруг.

Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. На рисунке 51 Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— центральный угол.

Окружности (круги) равны, если равны их радиусы.

Две окружности могут не иметь общих точек, могут пересекаться в двух точках или касаться друг друга в одной точке. Окружности разного радиуса с общим центром называются концентрическими. Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (рис. 52).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Определение окружности и круга

Окружность — это замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра окружности.

Круг — это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.

Размеры окружности и круга определяются их радиусом — отрезком, который соединяет центр с точкой на окружности (рис. 3).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

В математике «окружность» и «круг» — два различных, хотя и связанных между собой, понятия. Окружность, например, является моделью обруча, а круг — моделью крышки люка.
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определение окружности и ее элементов

Пусть на плоскости отмечена точка О. Очевидно, что от точки О можно отложить бесконечное множество отрезков длиной R (рис. 162). Концы всех таких отрезков на плоскости образуют окружность — фигуру, уже известную из курса математики. Определение Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние. Иначе говорят, что все точки окружности равноудалены от ее центра. Определение Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая ее центр. Иначе говоря, круг состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной точки (центра круга) на расстояние, не превышающее заданного. На рисунке 163 заштрихованная часть плоскости — круг, ограниченный окружностью с тем же центром. Центр окружности и круга является точкой круга, но не является точкой окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определение Радиусом окружности (круга) называется расстояние от центра окружности до любой ее точки. Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Радиус — от латинского «радиус» — луч, спица

Хорда — от греческого «хорда» — струна, тетива

Диаметр — от греческого «диа» — насквозь и «метрео» — измеряющий насквозь; другое значение этого слова — поперечник

Радиусом также называется любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. На рисунке 162 Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиусы окружности с центром О. Как правило, радиус обозначается буквой R (или r ).

Определение:

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

На рисунке 164 изображены две хорды окружности, одна из которых является ее диаметром. Обычно диаметр обозначают буквой d. Очевидно, что диаметр вдвое больше радиуса, то есть d = 2R.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Построение окружности выполняют с помощью циркуля.

Видео:Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. Практическая часть. 7 класс.

Что такое окружность и круг

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудален ных от данной точки. Эту точку называют центром окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, называют ради усом. Отрезок, соединяющий две против вольные точки окружности, — хорда окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, — диаметр (рис. 200). Каждый диаметр окружности состоит’ из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше длины радиуса. Длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше длины диаметра, (Почему?)

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность на бумаге описывают МА и MB — перпендикуляры на ОА и ОВ (см. рис. 216), то Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(по гипотенузе и острому углу). Поэтом МА = MB, следовательно, точка М равноудалена от сторон данного угла.

Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Здесь имеются в виду углы меньше развернутого.

Верно ли, что геометрическим местом точек, равноудален-ных от сторон угла, является биссектриса этого угла? Нет. Когда в планиметрии говорят о геометрическом месте точек, не уточняя, о каких именно точках идет речь, то имеют в виду точки плоскости, которой принадлежит данная фигура. При таком условии геометрическим местом точек, равноудаленных от ф сторон угла, является объединение биссектрисы I данного угле g и всех точек некоего другого угла, показанного на рисунке 217,

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Ведь каждая точка угла КОР также равноудалена от сторон донного угла АО В (речь идет об углах меньше развернутого).

Когда мы говорим, что геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр этого отрезка, то мы имеем в виду, что речь идет о геометрическом месте точек плоскости, на которой лежит отрезок.

А геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка, является некая плоскость (мал. 218).

Подумайте, как расположена эта плоскость относительно денного отрезка.

Геометрические места точек пространства изучают в старших классах.

Пример №3

Докажите, что серединные перпендикуляры двух сторон треугольника пересекаются.

Решение:

Пусть n и m— серединные перпендикуляры сторон ВС и АВ треугольника (рис. 219). Докажем, что они не могут быть параллельны. Доказывать будем от противного. Допустим, что n || m. Тогда прямая, перпендикулярная к п, должна быть перпендикулярной и к m, то есть Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Но по условию Окружность взаимное расположение окружности и других фигурА две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. Таким образом, из допущения, что п || т, следует параллельность сторон АВ и ВС треугольника. А этого не может быть. Поэтому прямые ли т не могут быть параллельными. Они пересекаются.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность и треугольник

Окружность и треугольник могут не иметь общих точек или иметь 1, 2, 3, 4, 5, 6 общих точек (соответствующие рисунки выполните самостоятельно). Заслуживаем внимания случаи, когда окружность проходит через все три вершины треугольника или когда она касается всех и сторон треугольника. Рассмотрим такие случаи подробнее.

Описанная окружность

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника (рис. 223).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема: Около каждого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров двух сторон треугольника.

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 224). Найдем точку, равноудаленную от вершин А, В и С.’ Метрическое место точек, равноудаленных от А и В, — серединный перпендикуляр m отрезка АВ; геометрическое место точек, равноудаленна от В и С, — серединный перпендикуляр n отрезка ВС. Эти два серединных перпендикуляра не могут быть параллельными, они пересекаются в точке О. А она равноудалена от Н и С. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, поэтому О — центр окружности, описанной около ABC.

Для каждого отрезка АВ существует серединный перпендикуляр, и только один, а для ВС — серединный перпендикуляр и только один. И точка их пересечения существует всегда, только одна. Таким образом, около каждого треугольника можно описать одну окружность, и только одну. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

  • Серединные перпендикуляры всех трех сторон произвольного треугольника проходят через одну и ту же точку.
  • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и только одну.

Из доказанной теоремы следует cnocof построения окружности, описанной около треугольника. Чтобы описать около треугольника ABC окружность, достаточно:

  1. построить серединные перпендикуляры двух сторон данного треугольника;
  2. определить точку О, в которой эти серединные перпендикуляры пересекаются;
  3. ) из центра О провести окружность радиуса ОА.

Центр окружности, описанной около треугольника, может лежать во внутренней или внешней области данного треугольника либо на его сторон (рис. 225).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в треугольник если она касается всех сторон треугольника (рис. 226). Центр окружности, вписанной в треугольник, лежим’ и внутренней области этого треугольник.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема: В каждый треугольник можно вписан только одну окружность. Ее центром является точка пересечения двух биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Определим точи О, равноудаленную от всех его сторон (рис. 227). Геометрическое место точек, лежащих внутри угла А и равноудаленных второй АВ и АС, — биссектриса l угла А. Гtjметрическое место точек, равноудаленных от сторон АВ и ВС и лежащих внутри угла В, — биссектриса t угла B. Эти две биссектрисы обязательно Пересекаются (докажите это!). Точка U, в которой пересекаются биссектрисы l и t, равноудалена от всех трех сторон данного треугольника. Следовательно, точка О — центр окружности, Вписанной в треугольник АВС. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

В каждом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Из доказанной теоремы следует способ построения окружности, вписанной в треугольник. Чтобы вписать в данный треугольник окружность, достаточно:

  1. провести две его биссектрисы;
  2. из точки их пересечения О опустить перпендикуляр OL на произвольную сторону треугольника;
  3. из центра О радиуса OL описать окружность. Она касается каждой стороны треугольника, следовательно, является вписанной в данный треугольник.

Теорема: Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы.

Пусть ABC — произвольный треугольник с прямым углом С, t— серединный перпендикуляр катета АС, пересекающий гипотенузу АВ в точке О (рис. 228).

Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре отрезка АС, то Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

точка О—середина гипотенузы АВ, равноудаленная от всех вершин треугольника. Таким образом, окружность с центром О и радиусом ОА проходит через все вершины данного треугольника.

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Теорема: Из любой точки окружности ее Диаметр, не выходящий из этой точки, виден под прямым углом.

Доказательство:

Пусть АВ — произвольный диаметр окружности с центром О, а С— произвольная точка окружности, отличная от А и В (рис. 229). Покажем, чтоОкружность взаимное расположение окружности и других фигурПосколькуОкружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Геометрическим местом точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, является окружность диаметра АВ. На самом деле этому ГМТ точки А и В не принадлежат. Подробнее об этом вы узнаете в старших классах.

Пример №4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 см.

Решение:

Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Радиус вдвое меньше: 3 см.

Пример №5

Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и Ь и гипотенузой с, равен a + b — c.

Решение:

Пусть в Окружность взаимное расположение окружности и других фигуругол С прямой, а К, Р, Т — точки касания вписанной в треугольник окружности (рис. 230). Поскольку АР =АТ и ВК = ВТ, то АС + ВС — АВ = PC + СК = 2r, или 2r = a + b- с.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Геометрические построения

Пользуясь линейкой’ и циркулем, моле но выполнить много геометрических построений, то есть начертить геометрические фигуры. Рассмотрим сначала, как выполняются самые простые геометрические построения.

Пример №6

Постройте треугольник по данным сторонам.

Решение:

Пусть даны три отрезки а, b и с (рис. 232). Нужно построить, треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. С помощью линейки проводим произвольную прямую, обозначаем на ней произвольную точку В и циркулем откладываем на этой прямой отрезок ВС = а. Раствором циркуля, равным с описываем дугу окружности с центром В. С той же стороны от прямой СВ описываем дугу окружности радиуса b с центром С. Точку пересечения А этих дуг соединяем отрезками с С и В. Треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить, так как его стороны ВС, АС и АВ равны данным отрезкам.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Если построенные дуги не пересекаются, требуемый треугольник построить невозможно. Это бывшие в том случае, когда один из данных отрезков больше суммы двух других или равен их сумме.

Пример №7

Постройте угол, равный данному углу.

Решение:

Пусть дан угол АОВ и требуется построить угол КРТ, равный Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 233). Проводим луч РТ и дуг* равных радиусов с центрами О и Р. Пусть одна из этих д пересекает стороны угла АОВ в точках А и В, а другая луч РТ в точке Т. Дальше раствором циркуля, равным А/ описываем третью дугу с центром Т. Если она пересекает другую дугу в точке К, проводим луч РК. Угол КРТ — то 1 Будем считать, что линейка без делений.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

который требовалось построить. Ведь треугольники КРТ и АОВ равны (по трем сторонам), поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №8

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 234). Произвольным раствором циркуля опишем дугу с центром О. Пусть А и В — точки пересечения этой дуги с лучами О А и ОВ. Из центров А и В опишем дуги такими же радиусами. Если D — точка пересечения этих дуг, то луч OD — биссектриса угла АОВ.

Действительно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(по трем сторонам). Поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №9

Разделите данный отрезок пополам.

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок (рис. 235). Из точек А и В радиусом АВ описываем дуги. Они пересекутся в неких точках С и D.

Прямая CD точкой М разделит данный отрезок пополам.

Действительно, по трем сторонам Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПо первому признаку равенства треугольников Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур. Итак, AM = ВМ.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №10

Через данную точку Р проведите прямую, перпендикулярную и данной прямой а.

Решение:

В зависимости от того, лежит или не лежит точка Р на прямой а, задачу можно решить, как показа но на рисунках 236 и 237. Опишите и аргументируйте эти построения самостоятельно.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №11

Через точку Р, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую, параллельную прямой АВ.

Решение:

Через точку Р и про из вольную точку А прямой АВ проводим прямую АТ (рис. 238). Строим угол ТРМ, равный углу РАВ, так, что бы эти углы стали соответственны ми при прямых РК, АВ и секущей АР. Построенная таким образом пря мая РК удовлетворяет задачу: она проходит через данную точку Р и параллельна прямой АВ, поскольку Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Геометрическими построениями часто приходилось заниматься многим людям. Еще в доисторические времена мастера, изготавливающие колеса к колесницам, умели делить окружность на несколько равных частей. В наше время выполнять такие построения приходится специалистам, проектирующим или изготавливающим шестеренки, дисковые пилы (рис. 239), турбины и различные роторные механизмы. Как бы вы разделили окружность, например, на 5, 6 или 7 равных частей?
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Основные чертежные инструменты — линейка и циркуль — были известны еще несколько тысячелетий назад.

Слово линейка происходит от слова линия, которое на латинском языке сначала означало «льняная нитка», «черта, проведенная ниткой, бечевкой» (производное от лат. Плит — лен). Слово циркуль тоже латинского происхождения, первоначально слово циркулюс означало «окружность, круг», а потом стало означать инструмент, с помощью которого проводят окружности.

В Древней Греции линейку и циркуль признавали единственными приборами геометрических построений. Задачу на построение считали решенной, если все построения в ней выполнялись только с помощью линейки и циркуля. Сейчас специалисты при выполнении построений пользуются угольником, транспортиром, рейсмусом, рейсшиной и другими чертежными приспособлениями.

Пример №12

Разделите данную дугу окружности на две равные части.

Решение:

Пусть дана дуга АВ окружности с центром О (рис. 240). Представим угол АОВ и проведем его биссектрису ОК. Треугольники АОК и КОВ равны, поэтому и дуги АК и КВ равны.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №13

Постройте угол вдвое больше данною.

Решение:

Пусть АОВ — данный угол (рис. 241) Опишем дугу окружности с центром О Если она пересечет стороны данного угла в точках А и В, из В как из центра сделаем засечку ВС = ВА и проведем луч ОС. Угол АОС вдвое больше Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Задачи на построение

С геометрическими построениями имеют дело различные специалисты. Геометрические построении выполняют чертежники, архитекторы, конструкторы, топографы, геодезисты, штурманы. Разные геометрические фигуры строят также: слесарь — на жести, столяр — на доске, портной— на ткани, садовник — на земле.

В задаче на построение требуется построить геометрическую фигуру, которая должна удовлетворять определенные условия. В геометрии построения выполняют чаще всего с помощь к линейки и циркуля. Условимся: если в задаче не сказано, какими инструментами следует выполнить построение, то имеются в виду только линейка (без делений) и циркуль.

Более сложные задачи на построение часто решают методом геометрических мест. Пусть, например, в задаче требуете!’ найти точку X, удовлетворяющую два условия. Если первое условие удовлетворяют точки фигуры К, а второе — точки фигуры Р, то X должна принадлежать каждой из этих фигур. Тс есть X — точка пересечения фигур К и Р.

Пример №14

Постройте прямоугольный треугольник по да» ному катету а и гипотенузе с (рис. 243).

Решение:

Строим прямой угол АСВ, на его стороне откладываем отрезок СВ = а. Точки С и В — две вершины треугольника, который требуется построить. Третья верши» должна лежать, во-первых, на луче СА, во-вторых, на pfti стоянии с от В, то есть на окружности радиуса с с центр В. Если эту окружность пересекает луч СА в точке А, 1 треугольник ABC — именно тот, который требовалось не строить. Ведь его угол С прямой, ВС = а, ВА = с.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Второй способ (рис. 244). Откладываем отрезок АВ = с и проводим окружность диаметра АВ — ГМТ, из которых АВ виден под прямым углом. Дальше строим полуокружность радиуса а с центром В — ГМТ, удаленных от В на расстояние а и лежащих по одну сторону от прямой АВ. Если два ГМТ пересекаются в точке С, то треугольник ABC — именно тот, который требовалось построить.

Составные части решения задачи на построение — анализ, построение, доказательство и исследование. В анализе ищут способ решения задачи, в построении выполняется само построение, в доказательстве обосновывается правильность выполненного построения, в исследовании выясняется, сколько решений имеет задача.

Пример №15

Постройте треугольник по данной стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон (рис. 245).

Решение:

Анализ. Допустим, что требуемый треугольник ABC построен. Его сторона с и угол А = а — даны. Дан также отрезок, равный сумме сторон а и b. По данным отрезкам с и а + b и углу А между ними можно построить A ABD. Вершиной С искомого треугольника будет такая точка отрезка AD, для которой CD = СВ. Следовательно, точка С должна лежать и на серединном перпендикуляре отрезка BD.

Построение. По двум данным отрезкам и углу между ними строим Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, после чего проводим серединный перпендикуляр I отрезка BD. Пусть прямая I пересекает отрезок АВ в точке С. Проводим отрезок СВ. Треугольник ABC — такой, который требовалось построить.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Доказательство:

В треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо построению. АС + СВ — АС + CD — а + b. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурудовлетворяет все условия задачи.

Исследование. Задача имеет решение только при условии, что а + b > с.

Если задача несложная и способ ее решения известен, анализ можно не описывать. А в решении не обязательно выделять анализ, построение, доказательство и исследование.

В математике чаще всего имеют дело с задачами: на вычисление, на доказательство, на построение, на преобразование и на исследование. Геометрическими задачами на построение активно интересовались античные геометры. Допуская лишь классические построения (выполняемые только линейкой и циркулем), они исследовали, какие из построений можно вы-полнить, а какие невозможно. В частности, выясняли:

  1. можно ли любой угол разделить на три равные части;
  2. можно ли построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга;
  3. можно ли построить ребро такого куба, объем которого был бы в 2 раза больше объема данного куба.

Много столетий выдающиеся геометры пытались решить эти задачи и не смогли. Эти три классические задачи древности получили специальные названия:

  1. трисекция угла,
  2. 2квадратура круга,
  3. удвоение куба.

Последнюю задачу называют еще делосской задачей, связывая ее с древнегреческой легендой. согласно которой оракул бога Аполлона согласился спасти жителей острова Делос от чумы, если кубический жертовник в делосском храме заменят на жертовник такой же формы, но вдвое большего объема. Только почти через 2000 лет ученые убедились, что ни одну из этих трех задач с помощью лишь линейки и циркуля решить невозможно.

В настоящее время специалисты, которым приходится выполнять геометрические построения, пользуются не только линейкой и циркулем. С точки зрения классических методов такие построения приближенные. Но для практических нужд точности, которую обеспечивают приближенные методы, вполне достаточно

Пример №16

Найдите центр данной окружности.

Решение:

Обозначим на данной окружности три производные точки А, В и С (рис. 246).

Представим хорды АВ, ВС и проведем их серединные перпендикуляры n и m. Точка О, в которой пересекаются прямые n и m., — центр данной окружности. Ведь ОА = ОВ = ОС.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример №17

Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

Решение:

Если данная точка А лежит на окружности центра О (рис. 247, а), проводим луч ОА, потом — прямую АК, перпендикулярную к ОА. Прямая АК — касательная, которую и требовалось построить.

Если точка А лежит вне данной окружности центра О (рис. 247, б), то на диаметре ОА описываем окружность. Она пересечется с данной окружностью в двух точках К и Р. Прямые АК и АР — искомые касательные, поскольку Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(Из точек К и Р вспомогательной окружности ее диаметр ОМ виден под прямыми углами АКО и АРО.) В этом случае задача имеет два решения.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Свойство диаметра, перпендикулярного хорде

Диаметр, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Докажите.

Решение

Пусть СО — диаметр окружности с центром О, АВ — хорда этой окружности, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурДокажем, что М — точка пересечения отрезков АВ и СD— середина отрезка АВ.

В случае, когда хорда АВ сама является диаметром, точка М совпадает с центром О и утверждение задачи очевидно. Пусть хорда АВ не является диаметром (рис. 165). Проведем радиусы OA и ОВ. Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОМ является медианой. Итак, AM = ВМ, что и требовалось доказать.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Докажите самостоятельно еще одно утверждение (опорное): диаметр окружности, проведенной через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательная к окружности

Определение и свойство касательной

Любая прямая, проходящая через точки окружности, называется секущей; ее отрезок, лежащий внутри окружности, является хордой. На рисунке 167 хорда CD — отрезок секущей b . Рассмотрим теперь прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

Определение:

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Общая точка касательной и окружности называется точкой касания.

На рисунке 167 прямая а является касательной к окружности с центром О. Иначе говоря, прямая а касается окружности с центром О в точке А . Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Теорема (свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть прямая а касается окружности с центром О в точке А (рис. 168). Докажем, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПрименим метод доказательства от противного. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пусть отрезок OA не является перпендикуляром к прямой а. Тогда, по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из точки О можно провести перпендикуляр ОB к прямой а . На луче АВ от точки В отложим отрезок ВС, равный АВ , и соединим точки О и С . Поскольку по построению отрезок ОВ — медиана и высота треугольника АОС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС, то есть OA = ОС . Таким образом, расстояние между точками О и С равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка С должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку А — единственная общая точка окружности с прямой а. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть OA Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Теорема доказана.

Признак касательной

Докажем теорему, обратную предыдущей.

Теорема: (признак касательной)

Если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к окружности.

Доказательство:

Пусть прямая а проходит через точку А, лежащую на окружности с центром О, причем Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Докажем, что а — касательная к окружности. Согласно определению касательной, нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой а единственную общую точку. Применим метод доказательства от противного.

Пусть прямая а имеет с окружностью общую точку В , отличную от А (рис. 169). Тогда из определения окружности ОА = ОВ как радиусы, то есть треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. По свойству углов равнобедренного треугольника Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, точка А — единственная общая точка окружности и прямой а, значит, прямая а — касательная к окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Свойство отрезков касательных

Пусть даны окружность с центром О и точка А, не принадлежащая кругу, ограниченному данной окружностью (рис. 170).

Через точку А можно провести две касательные к данной окружности. Отрезки, соединяющие данную точку А с точками касания, называют отрезками касательных, проведенных из точки А к данной окружности. На рисунке 170 АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности из точки А .

Опорная задача

Отрезки касательных, проведенных из данной точки к окружности, равны. Докажите.

Решение

Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О из точки А (рис. 170). Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. По свойству касательной Окружность взаимное расположение окружности и других фигурто есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой АО и равными катетами ОВ = ОС как радиусы окружности). Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо гипотенузе и катету, откуда АВ = АС. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Касание двух окружностей

Определение:

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей в таком случае называется точкой касания окружностей.

Различают два вида касания окружностей: внутреннее и внешнее.

Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, а);

Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной, проведенной через точку касания (рис. 171, б).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Рис. 171 Касание двух окружностей. 1. внутреннее; 2. внешнее.

По свойству касательной радиусы данных окружностей, проведенные в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Из теоремы о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной, следует, что центры касающихся окружностей и точка касания окружнос тей лежат на одной прямой.

Касающиеся окружности имеют единствен ную общую точку — точку касания.

Если данные окружности имеют радиусы R и r (R > r), то расстояние между центрами окружностей равно R-r в случае внутреннего касания и R+r в случае внешнего касания.

Задачи на построение

Что такое задачи на построение?

Задачи на построение представляют собой отдельный класс геометрических задач, решение которых подчиняется определенным правилам. Цель решения этих задач — построение геометрических фигур с заданными свойствами с помощью чертежных инструментов. Если в условии задачи нет специальных примечаний, то имеются в виду построения с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки можно провести:

  • произвольную прямую;
  • прямую, проходящую через данную точку;
  • прямую, проходящую через две данные точки.

Заметим, что никаких других построений линейкой выполнять нельзя. В частности, с помощью линейки нельзя откладывать отрезки заданной длины.

Циркуль — от латинского «циркулус» — окружность, круг.

С помощью циркуля можно:

  • провести окружность (часть окружности) произвольного или заданного радиуса с произвольным или заданным центром;
  • отложить от начала данного луча отрезок заданной длины.

Кроме того, можно отмечать на плоскости точки и находить точки пересечения прямых и окружностей.

Все перечисленные операции называют элементарными построениями, а решить задачу на построение — это значит найти последовательность элементарных построений, после выполнения которых искомая фигура считается построенной, и доказать, что именно эта фигура удовлетворяет условию задачи.

Итак, решение задач на построение заключается не столько в самом построении фигуры, сколько в нахождении способа построения и доказательстве того, что полученная фигура искомая.

Основные задачи на построение

Если каждый шаг построений описывать полностью, решение некоторых задач может оказаться довольно громоздким. С целью упрощения работы выделяют несколько важнейших задач, которые считаются основными и не детализируются каждый раз при решении более сложных задач.

Пусть даны отрезки длиной а , b и с . Построим треугольник со сторонами, b и с.

Проведем произвольный луч и отметим на нем точку А . Раствором циркуля, равным а , построим окружность с центром А . Пусть В — точка пересечения этой окружности с лучом.

Раствором циркуля, равным b , опишем окружность с центром А , а раствором циркуля, равным с ,— окружность с центром В . Пусть С — точка пересечения этих окружностей.

Проведем отрезки АС и ВС. По построению треугольник ABC имеет стороны длиной а , b и с, то есть треугольник ABC искомый 1 .

1 По данным задачи можно построить четыре разных треугольника с общей стороной АВ. По третьему признаку эти треугольники равны, то есть совмещаются наложением. В таких случаях решением задачи считают любой из этих равных треугольников.

Отметим, что эта задача имеет решение при условии, что длины отрезков а , b и с удовлетворяют неравенству треугольника.

С помощью описанных операций несложно решить задачу о построении угла, равного данному неразвернутому углу А. Для этого достаточно отложить на сторонах данного угла А отрезки АВ и АС и построить треугольник, равный треугольнику ABC.

Построение треугольника с данными сторонами
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Построение биссектрисы угла
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПусть дан неразвернутый угол с вершиной А . Построим его биссектрису.
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурС помощью циркуля построим окружность произвольного радиуса с центром А . Пусть В к С — точки пересечения этой окружности со сторонами данного угла.
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПостроим окружности того же радиуса с центрами В и С . Пусть D — точка пересечения этих окружностей.
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПроведем луч AD. По построению Окружность взаимное расположение окружности и других фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(по третьему признаку). Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то есть AD — биссектриса данного угла А .

Построим окружность произвольного радиуса с центром О. Пусть А и B — точки пересечения этой окружности с прямой а .

Построение перпендикулярной прямой
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПусть даны прямая а и точка О . Построим прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а . Рассмотрим два случая
Точка O лежит на прямой а
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПостроим окружности радиуса АВ с центрами А и В. Пусть С — одна из точек их пересечения. Проведем прямую через точки С и О.
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПо построению отрезок СО — медиана равностороннего треугольника ABC , которая является также его высотой. Итак, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то есть прямая СО — искомая.
Точка O не лежит на прямой а
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПостроим окружность с центром О , которая пересекает прямую O, в точках А и В .
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПостроими окружности того же радиуса с центрами A и В . Пусть Ol — точка пересечения этих окружностей, причем точки О и Ol лежат по разные стороны от прямой а .
Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПроведем прямую Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Пусть С — точка пересечения прямых Окружность взаимное расположение окружности и других фигури а . По построению Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(по третьему признаку). Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Тогда ОС — биссектриса равнобедренного треугольника АОВ , проведенная к основанию. Она также является медианой и высотой треугольника. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигура , то есть прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— искомая.

Отметим, что построенная прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигурперпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Пользуясь описанными построениями, несложно решить задачи на построение середины данного отрезка и на построение прямой, параллельной данной.

Для построения середины отрезка АВ достаточно провести две окружности радиуса АВ с центрами в точках А к В (рис. 172). Обозначив точки пересечения этих окружностей через Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурможно определить середину отрезка AB как точку пересечения прямых АВ и Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, после чего провести доказательство, аналогичное доказательству предыдущей задачи.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Для построения прямой, проходящей через данную точку О параллельно данной прямой а, достаточно провести через точку О прямую b , перпендикулярную а, и прямую с, перпендикулярную b (рис. 173). Тогда а || с по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Таким образом, основными задачами на построение будем считать следующие:

  1. построение треугольника с данными сторонами;
  2. построение угла, равного данному неразвернутому углу;
  3. построение биссектрисы данного неразвернутого угла;
  4. построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой;
  5. построение серединного перпендикуляра к данному отрезку;
  6. построение середины данного отрезка;
  7. построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Если эти задачи применяются как вспомогательные при решение более сложных задач, соответствующие построения можно подробно не описывать.

Решение задач на построение

Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов: анализ, построение, доказательство, исследование.

Выполнение рисунка-эскиза искомой фигуры и установление связи между ее элементами и данными задачи. Определение плана построения искомой фигуры.

Осуществление плана, разработанного в ходе анализа.

Обоснование того, что построенная фигура имеет заданную форму, а размеры и расположение ее элементов удовлетворяют условию задачи.

Определение количества решений и условий существования искомой фигуры или обоснование невозможности ее построения.

Если задача достаточно проста, то отдельные этапы ее решения можно проводить устно.

1] В некоторых задачах для исследования необходимы геометрические утверждения и соотношения, изучаемые в 8—9 классах. В этих случаях исследования мы будем проводить в сокращенном виде или вообще опускать.

Рассмотрим на конкретных примерах некоторые методы решения задач на построение.

Пример №18

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Анализ

Пусть a, b, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— две стороны и медиана треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 174).

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 175). Если ВМ — данная медиана треугольника ABC, то в треугольнике АВМ известны длины трех сторон Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо условию задачи). Таким образом, мы можем построить треугольник АВМ и найти вершины А и В искомого треугольника. Чтобы найти вершину С, достаточно отложить на луче AM отрез ок МС длиной Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Построение

  1. Разделим отрезок bпополам.
  2. Построим треугольник АВМ со сторонами АВ = а, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
  3. Отложим на луче AM отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.
  4. Соединим точки В и С.

Доказательство

В треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— медиана (по построению). Следовательно, треугольник ABC искомый.

Исследование

Задача имеет решение при условии существования треугольника АВМ, то есть, если числа Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— удовлетворяют неравенству треугольника.

Сравним только что решенную задачу с задачей о доказательстве равенства треугольников но двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них (п. 13.1). Решая обе эти задачи, мы использовали треугольник АВМ в котором все стороны известны по условию. Его рассмотрение помогло в задаче на доказательство получить необходимые соотношения для углов данных треугольников, а в задаче на построение — найти две вершины искомого треугольника. Треугольник АВМ называют вспомогательным а соответствующий метод решения — методом вспомогательного треугольника.

Решение задач на построение с помощью метода вспомогательной треугольника подробно рассмотрено в Приложении 2.

Геометрическое место точек

Понятие о геометрическом месте точек

До сих пор мы описывали геометрические фигуры с помощью определений и устанавливали их особенности путем доказательства свойств и признаков, относящихся к фигуре в целом. Для случаев, когда определенное свойство и соответствующий ему признак имеет каждая точка фигуры, существует еще один способ описания.

Определение:

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удовлетворяющих определенному условию.

Например, по определению окружность является геометрическим местом точек, удаленных от данной точки плоскости на одинаковое расстояние.

В определении ГМТ обратим внимание на слово «всех». Оно указывает на то, что для выяснения геометрического места точек недостаточно доказать, что точки указанной фигуры удовлетворяют определенному условию (то есть установить свойство точек). Необходимо также показать, что других точек, удовлетворяющих данному условию, на плоскости нет, то есть доказать соответствующий признак: если точка удовлетворяет указанному условию, то она принадлежит данной фигуре.

Иначе говоря, доказательство того, что некоторая фигура F является геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Р, состоит из доказательства двух утверждений — прямого и обратного:

  1. если определенная точка P принадлежит фигуре F, то она удовлетворяет условию Р ;
  2. если определенная точка удовлетворяет условию Р, то она принадлежит фигуре F .

Основные теоремы о ГМТ

Часто геометрическим местом точек является прямая или часть прямой. Докажем две важные теоремы о ГМТ.

Теорема: (о серединном перпендикуляре)

Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство:

Нам необходимо доказать два утверждения:

  1. если точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку, то она равноудалена от концов этого отрезка;
  2. если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру к этому отрезку.

Докажем первое из этих утверждений. Пусть точка С лежит на прямой с, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину — точку О (рис. 176). В треугольнике АСВ отрезок СО — медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием АВ. Отсюда АС=ВС , то есть расстояния от точки С до концов отрезка АВ равны. Докажем второе утверждение. Пусть точка D равноудалена от точек А и В , то есть AD = BD (рис. 177). Тогда в равнобедренном треугольнике ADB отрезок DO — медиана, проведенная к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая DO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Теорема доказана.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема: (о биссектрисе угла)

Биссектриса неразвернутого угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Доказательство

По аналогии с предыдущей теоремой докажем сначала, что любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Пусть даны неразвернутый угол с вершиной А и точка D на его биссектрисе (рис. 178). Опустим из точки D перпендикуляры DB и DC на стороны данного угла. По определению, DB и DC — расстояния от точки D до сторон угла А.

Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо условию. Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо гипотенузе и острому углу. Отсюда DB = DC , то есть точка D равноудалена от сторон данного угла.

Теперь докажем, что любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть F — некоторая точка, равноудаленная от сторон угла А, то есть перпендикуляры FB и FC, опущенные из точки F на стороны данного угла, равны (рис. 179). Соединим точки F и А . Тогда прямоугольные треугольники FBA и FCA равны по гипотенузе и катету.

ОтсюдаОкружность взаимное расположение окружности и других фигур, то есть луч AF — биссектриса угла А.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

*Здесь и далее, говоря о точках, равноудаленных от сторон угла, мы имеем в виду точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от прямых, содержащих его стороны.

Метод геометрических мест

Понятие ГМТ часто используется при решении задач на построение. Например, пусть необходимо построить точку, удовлетворяющую условиям Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Если геометрическим местом точек, удовлетворяющих условиюОкружность взаимное расположение окружности и других фигур, является фигура Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, а геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— фигура Окружность взаимное расположение окружности и других фигурто искомая точка будет общей для фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурто есть точкой их пересечения.

Рассуждения по такой схеме лежат в основе метода геометрических мест.

Пример №19

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение:

Пусть в искомом прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ равна с , катет ВС равен а (рис. 180). Для построения треугольника воспользуемся методом геометрических мест. Для этого на стороне прямого угла С отложим катет ВС, ВС = а (рис. 181). Точка А должна принадлежать второй стороне прямого угла и быть удаленной от точки В на расстояние с, то есть А — точка пересечения окружности с центром В радиуса с со второй стороной прямого угла. Построенные точки А, В и С являются вершинами искомого прямоугольного треугольника ABC. В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника задача имеет решение при условии а Окружность взаимное расположение окружности и других фигур с.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Описанная и вписанная окружности треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение:

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности.

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность.

На рисунке 183 окружность с центром О описана около треугольника ABC.

Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема: (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:

Пусть прямые а и b — серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС данного треугольника ABC (рис. 184).

Сначала докажем методом от противного, что прямые а и b пересекаются. Предположим, что эти прямые не пересекаются, то есть а || b . Тогда поскольку Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо следствию из теоремы о свойствах углов при параллельных прямых. Но Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо построению, отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурчто невозможно по условию. Следовательно, прямые а и b пересекаются в некоторой точке О.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

По теореме о серединном перпендикуляре точка О равноудалена от точек А и В (то есть OA = OB ) и равноудалена от точек В и С (то есть ОВ = ОС ). Отсюда OA = OB = ОС. Следовательно, существует окружность с центром О, проходящая через все вершины треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна.

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с О, точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне АС содержит вое точки, равноудаленные от точек А и С . Поскольку точка О также равноудалена от точек А и С , то этот серединный перпендикуляр проходит через точку О. Теорема доказана.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Отметим, что центр описанной окружности не всегда лежит внутри треугольника; он также может лежать на одной из его сторон или вне треугольника (рис. 185).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность, вписанная в треугольник

Определение:

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

В этом случае треугольник является описанным около данной окружности.

На рисунке 186 окружность с центром О вписана в треугольник ABC. Прямые, содержащие стороны треугольника, являются касательными к вписанной окружности, а точки касания лежат на сторонах треугольника. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам данного треугольника.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Далее в таком случае мы будем говорить, что центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Теорема: (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство:

Пусть AD и BE — биссектрисы данного треугольника ABC (рис. 187).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Докажем методом от противного, что эти биссектрисы пересекаются. Пусть AD и BE не пересекаются. Тогда AD || BE, а углы BAD и ABE — внутренние односторонние при параллельных прямых AD и BE и секущей АВ. Сумма этих углов должна быть равна 180°, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Итак, биссектрисы AD и BE пересекаются в некоторой точке О. Тогда по теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ и АС, а также равноудалена от сторон АВ и ВС . Таким образом, три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны данного треугольника, равны. Следовательно, существует окружность с центром О, которая касается всех сторон треугольника ABC.

Докажем методом от противного, что эта окружность единственна.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда ее центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с О, точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

И наконец, биссектриса CF содержит все точки, равноудаленные от сторон СА и СВ. Поскольку точка О также равноудалена от СА и СВ, то эта биссектриса проходит через точку О. Теорема доказана.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Поскольку все биссектрисы треугольника лежат внутри него, то и центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Пример №20

В равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Докажите.

Решение:

В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы Окружность взаимное расположение окружности и других фигурявляются также медианами и высотами (рис. 188). Это означает, что. прямые Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC. Поскольку все они пересекаются в одной точке, то эта точка — центр описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Верно также и обратное утверждение: если в треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Историческая справка:

Простейшие геометрические задачи на построение:

Возникновение задан на построение было обусловлено необходимостью измерений земельных участков и строительством. Значительных успехов в решении таких задач достигли древнегреческие ученые, прежде всего Евклид и Платон, в VII — III в. до н. з. Именно со времен Платона в решении задач на построение стали выделять четыре этапа: анализ, собственно построение, доказательство и исследование.

Задачи, которые невозможно решить с помощью циркуля и линейки

Особый интерес математиков древности вызывали три классические задачи, которые не удавалось решить с помощью циркуля и линейки — о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба. Задача о квадратуре круга состояла в построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга. В задаче о трисекции угла пытались разделить данный угол на три равные части. Такую задачу несложно решить для некоторых конкретных углов, например развернутого, прямого, но не для любого угла. Задача об удвоении куба состояла в построении куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. Невозможность решить эти задачи с помощью циркуля и линейки была доказана в XIX в.

Циркуль или линейка

Интересна историй ограничений в выборе инструментов для решения задач на построение. В X веке арабский математик Абу-ль-Вафа предложил ограничиться в геометрических построениях односторонней линейкой и циркулем постоянного раствора. В 1797 г. итальянец Лоренцо Маскерони доказал: любая задача на построение, решенная с помощью циркуля и линейки, может быть решена и с помощью одного циркуля (при этом предполагалось, что через любые две точки может быть проведена прямая). А еще раньше, в 1672 г. к такому же выводу пришел датчанин Г. Мор. Так, теорема о возможности построений только циркулем получила название «теоремы Мора — Маскерони». В 1833 г. швейцарский геометр Якоб Штейнер показал, что, при наличии на плоскости окружности с отмеченным центром, любую задачу на построение можно решить с помощью одной линейки. Задачи на построение играют особую роль в обучении геометрии, ведь они прекрасно развивают логику и абстрактное мышление. Специалисты считают задачи на построение одними из самых полезных и красивых задач геометрии.

Об аксиомах геометрии

Вы ознакомились с начальными понятиями геометрии: точкой и прямой, а также лучом, отрезком и углом. Их основные свойства — аксиомы — не доказываются, но являются фундаментом для доказательства других утверждений. Первую попытку провести логическое обоснование геометрии с помощью систематизированного перечня исходных положений (аксиом или постулатов) осуществил древнегреческий математик Евклид в своей знаменитой книге «Начала». На протяжении многих веков ученые-геометры опирались именно на евклидовы аксиомы. Но в XIX—XX вв., после создания Лобачевским неевклидовой геометрии, исследования системы геометрических аксиом вышли на качественно новый уровень. Одним из тех, кто внес заметный вклад в усовершенствование аксиоматики, был выдающийся украинский математик Алексей Васильевич Погорелов. В своей фундаментальной работе «Основания геометрии» (1983) он разработал собственную усовершенствованную систему аксиом евклидовой геометрии, которая решила проблему преодоления ряда существенных трудностей, возникших при введении понятия меры для отрезков и углов. Более того, А. В. Погорелов предложил упрощенный вариант геометрической аксиоматики, предназначенный именно для преподавания геометрии в школе. Этот вариант был положен в основу учебника «Геометрия», по которому свыше четверти века изучали и, без сомнения, будут изучать геометрию в школе. Вот как выглядит система аксиом школьного курса, предложенная А. В. Погореловым.

  1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
  2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на

  1. которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
  2. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
  3. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
  4. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
  5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Этой системы аксиом мы придерживаемся и в нашем учебнике с учетом принятой нами терминологии. Некоторые аксиомы были сформулированы в главе I, другие аксиомы не формулировались, но фактически использовались в рассуждениях. Отметим, что авторы не ставили цель представлять в этом учебнике абсолютно совершенную и логически завершенную систему аксиом, а сосредоточили основное внимание на практическом применении основных свойств простейших геометрических фигур при доказательстве теорем и решении задач. В дальнейшем, при изучении свойств фигур в пространстве, формулировки некоторых аксиом будут уточнены, а сама система аксиом — расширена.

Вообще же, система аксиом должна удовлетворять условиям независимости (не содержать аксиомы, которые можно вывести с помощью других аксиом), непротиворечивости (не иметь явных или скрытых противоречий) и полноты (содержать достаточное количество аксиом, чтобы доказать основные утверждения). Исследование проблем построения таких систем аксиом является содержанием одного из разделов современной геометрии.

Метод вспомогательного треугольника

Метод вспомогательного треугольника применяется при решении многих задач на построение. Используя этот метод, необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

  1. предположив, что искомый треугольник построен, выполнить рисунок- эскиз и найти на нем вспомогательный треугольник, способ построения которого известен (или получить такой треугольник путем дополнительных построений);
  2. установить, какие вершины искомого треугольника мы получим, построив вспомогательный треугольник;
  3. определить на основании данных задачи последовательность построения других вершин, предположив, что вспомогательный треугольник построен;
  4. осуществить все намеченные построения;
  5. провести необходимые доказательства и исследования.

Довольно часто метод вспомогательного треугольника используют в сочетании с другими методами. Рассмотрим такие случаи на примерах.

Пример №21

Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме второго катета и гипотенузы.

Решение:

Пусть а и b + с — катет и сумма второго катета и гипотенузы треугольника ABC, который необходимо построить (рис. 194). Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 195). Отложим на луче ВС отрезок CD длиной с и соединим точки А и D. Треугольник АВD прямоугольный с катетами а и b+с, то есть может быть построен по данным задачи и является вспомогательным. Построив его, получим вершины А и В искомого треугольника. Для построения вершины С воспользуемся одним из признаков равнобедренного треугольника. Точка С является точкой пересечения серединного перпендикуляра к стороне АD с лучом BD.

Построение

  • 1. Построим прямой угол с вершиной В.
  • 2. Отложим на сторонах этого угла отрезки АВ = а и ВD = b+с и соединим точки А и О. Треугольник АВD вспомогательный.
  • 3. Построим перпендикуляр к отрезку АО. который проходит через его середину В. Пусть С— точка его пересечения с лучом ВD.
  • 4. Соединим точки А и С.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Доказательство:

В треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо построению. В треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— высота и медиана (по построению). Значит, треугольник АСD равнобедренный с основанием AD), откуда СА=СD=с. По построению Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурТаким образом, треугольник ABC искомый.

В соответствии с неравенством треугольника, задача имеет решение при условии aОкружность взаимное расположение окружности и других фигурc+b

При решении этой задачи мы использовали метод спрямления. Суть его такова: если в условии задачи на построение заданы сумма (или разность) отрезков, то на рисунке-эскизе их необходимо отложить на одной прямой от общего конца так, чтобы другие концы этих отрезков образовали заданный отрезок-сумму (разность). Благодаря такому дополнительному построению, удается получить вспомогательный треугольник.

Пример №22

Постройте треугольник по медиане и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

Решение:

Пусть m — медиана треугольника ABC, который необходимо построить, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— углы, на которые медиана делит угол треугольника (рис. 196).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Анализ

Допустим, что треугольник ABC построен (рис. 197). Применим метод удвоения медианы. Для этого на луче ВМ отложим отрезок МD, равный m, и соединим точки O и А. По первому признаку равенства треугольников Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(АМ=СМ по определению медианы, ВМ =DМ по построению, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигуркак вертикальные). Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Следовательно, треугольник АВD вспомогательный, поскольку его можно построить по стороне и прилежащим к ней углам Окружность взаимное расположение окружности и других фигурПостроив этот треугольник, получим вершины А и В скомого треугольника. Для построения вершины С достаточно удвоить в треугольнике АВD медиану AM.

Построение (сокращенный план)

  • 1. Построим треугольник АВD, в котором BD=2mОкружность взаимное расположение окружности и других фигур. Треугольник АВй вспомогательный.
  • 2. Построим в треугольнике АВD медиану AM и на ее продолжении отложим отрезок МС, равный Am. >
  • 3. Соединим точки Bи С.

Доказательство

Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо первому признаку равенства треугольников Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо построению, Окружность взаимное расположение окружности и других фигуркак вертикальные). Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурТакже по построению Окружность взаимное расположение окружности и других фигурВ треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— медиана, поскольку по построению Окружность взаимное расположение окружности и других фигурТаким образом, треугольник ABC — искомый.

Пример №23

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.

Решение:

Пусть а — сторона искомого треугольника ABC, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— проведенная к ней медиана, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— высота треугольника, проведенная к другой стороне (рис. 198). Построим этот треугольник.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Анализ

Пусть треугольник ABC построен (рис. 199). Тогда прямоугольный треугольник ВСН можно построить по гипотенузе BC и катету ВН : на стороне прямого угла Н отложим катет BH=hb , тогда С — точка пересечения окружности с центром В радиуса а со второй стороной прямого угла.

Таким образом, мы построим вершины В и С искомого треугольника. Для построения вершины А снова используем метод геометрических мест. Поскольку основание высоты ВН принадлежит стороне АС, то точка А лежит на прямой НС. Поскольку Окружность взаимное расположение окружности и других фигурто точка А должна лежать на расстоянии Окружность взаимное расположение окружности и других фигурот точки D. Это означает, что A — точка пересечения прямой СH и окружности радиуса Окружность взаимное расположение окружности и других фигурс центром D.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Построение

  • 1. Построим прямой угол с вершиной Н.
  • 2. Отложим на стороне этого угла отрезокВН, ВН= hb.
  • 3. Построим окружность с центром В радиуса а. Пусть С — точка пересечения этой окружности с другой стороной прямого угла.
  • 4. Соединим точки В и Си разделим отрезок ВС пополам. Пусть точка D — его середина.
  • 5. Проведем прямую СН.
  • 6. Построим окружность с центром D радиуса mа. ПустьА — точка пересечения этой окружности с прямой СН.
  • 7. Соединим точкиА и В.

Доказательство

В треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— медиана, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— высота (по построению). Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование

В соответствии со следствием теоремы о сравнении сторон и углов треугольника вспомогательный треугольник существует, если hb Окружность взаимное расположение окружности и других фигур a. В зависимости от длины медианы Окружность взаимное расположение окружности и других фигурзадача имеет одно или два решения, или не имеет ни одного.

Реальная геометрия

На любой шине от автомобиля есть маркировка, указывающая на ее размеры, например, 195/55 R16 (рис. 54). Число 195 означает ширину шины в мм. В данном случае ширина шины равна 195 мм или 19,5 см.

Второе число 55 означает высоту шины или высоту ее профиля, выраженную в процентах от ее ширины. В нашем случае это 55 % от 195 мм, то есть примерно 107 мм или 10,7 см.

И наконец надпись R16 обозначает внутренний диаметр шины, выраженный в дюймах. Так как 1 дюйм Окружность взаимное расположение окружности и других фигурто для нашей шины получим Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Интересно знать:

Если круг вращать около своего диаметра, получим геометрическое тело, которое вы хорошо знаете, — шар (рис. 55). Он также имеет центр, радиус, диаметр. Поверхность шара называется сферой. Сфера — это оболочка шара. Расстояние от центра шара до любой точки сферы равно радиусу шара. Диаметр шара равен двум радиусам.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Если провести плоскость, пересекающую шар, то в сечении получим круг. Когда секущая плоскость будет проходить через центр шара, радиус R полученного круга будет равен радиусу шара.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Справочный материал по окружности и кругу

18. Геометрическое место точек

  • ✓ Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.
  • ✓ Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
  • ✓ Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

19. Окружность и круг, их элементы

  • ✓ Окружностью называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки равны данному положительному числу. Данную точку называют центром окружности.
  • ✓ Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.
  • ✓ Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром.
  • ✓ Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.
  • ✓ Кругом называют геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки не больше данного положительного числа. Заданную точку называют центром круга. Радиус окружности, ограничивающей круг, называют радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром О и радиусом Окружность взаимное расположение окружности и других фигур
  • ✓ Окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
  • ✓ Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

20. Свойства окружности

  • ✓ Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
  • ✓ Диаметр окружности, который делит хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

21. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

  • ✓ Прямая и окружность могут не иметь общих точек, иметь две общие точки или иметь одну общую точку.
  • ✓ Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
  • ✓ Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
  • ✓ Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
  • ✓ Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
  • ✓ Если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющие данную точку с точками касания, равны.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 247 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

  • ✓ Центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин.
  • ✓ Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
  • ✓ Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке.
  • ✓ Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
  • ✓ На рисунке 248 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.
  • ✓ Центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.
  • ✓ В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис треугольника.
  • ✓ Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  • ✓ Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляют по формуле Окружность взаимное расположение окружности и других фигургде r — радиус вписанной окружности, а и b — катеты, с — гипотенуза.

Что называют окружностью

Окружностью называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (рис. 282).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Эту точку называют центром окружности; отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности.

На рисунке 282 точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— центр окружности, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 282 Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— хорда, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— диаметр. Часть плоскости, ограниченную окружностью, вместе с самой окружностью называют кругом (рис. 283).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Центром, радиусом, диаметром, хордой круга называют соответственно центр, радиус, диаметр, хорду окружности, ограничивающей круг.

Свойства элементов окружности.

  1. Диаметр окружности вдвое больше его радиуса.
  2. Диаметр является наибольшей из хорд.
  3. Диаметр из любой точки окружности виден под прямым углом.
  4. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
  5. Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, которая не является диаметром, перпендикулярен этой хорде.

Касательной к окружности называют прямую, которая имеет с окружностью одну общую точку. Эту точку называют точкой касания.

На рисунке 284 прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— касательная к окружности, точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— точка касания.

Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. На рисунке 285

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. При этом треугольник называют описанным около окружности (рис. 286).

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины треугольника. При этом треугольник называют вписанным в окружность (рис. 287).

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Геометрическое место точек в окружности и круге

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: все, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 272). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определенным свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, зафиксируем две точки Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка Окружность взаимное расположение окружности и других фигури только они (рис. 273). Поэтому искомым ГМТ является отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Рассмотрим перпендикулярные прямые Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой Окружность взаимное расположение окружности и других фигури находиться на расстоянии 1 см от прямой Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Очевидно, что точки Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 274) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 274).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Вообще, чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

  1. каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
  2. если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1. Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство: По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудаленных от его сторон.

Прямая теорема. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пусть какая-то точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигурне совпадает с вершиной угла Окружность взаимное расположение окружности и других фигури принадлежит его биссектрисе (рис. 275). Опустим перпендикуляры Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурсоответственно на стороны Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Надо доказать, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

В прямоугольных треугольниках Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигургипотенуза Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— общая, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, так как Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— биссектриса угла Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо гипотенузе и острому углу. Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Обратная теорема. Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство: Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Пусть какая-то точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, принадлежащая углу Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, не совпадает с его вершиной и равноудалена от его сторон. Опустим перпендикуляры Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурсоответственно на стороны Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Надо доказать, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 275).

В прямоугольных треугольниках Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигургипотенуза Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— общая, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо условию. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо гипотенузе и катету. Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудаленность точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек к Окружность взаимное расположение окружности и других фигурили Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпринадлежит продолжению стороны угла (рис. 276). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка. Также отметим, что теорема остается справедливой и для развернутого угла.

Определение. Окружностью называют геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 277 точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называют радиусом окружности. На рисунке 277 отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 277 отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 277 отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— диаметр окружности. Очевидно, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, т. е. диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Из курса математики шестого класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 278). Теперь с помощью понятия ГМТ можно дать другое

Определение. Кругом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— произвольная точка круга с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигуррадиуса Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 278). Если Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то говорят, что точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигурлежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигуркругу не принадлежит (рис. 278). Также говорят, что точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигурлежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На продолжении хорды Окружность взаимное расположение окружности и других фигурокружности с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигурза точку Окружность взаимное расположение окружности и других фигуротметили точку Окружность взаимное расположение окружности и других фигуртакую, что отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигурравен радиусу окружности (рис. 279). Прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпересекает данную окружность в точках Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Докажите, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Решение:

Пусть Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Так как Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— равнобедренный, то Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— внешний угол треугольника Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Так как Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— равнобедренный, то имеем: Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— внешний угол треугольника Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур, то есть Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Теорема 20.1. Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство: Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 286 изображена окружность с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— точка пересечения диаметра Окружность взаимное расположение окружности и других фигури хорды Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Надо доказать, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Проведем радиусы Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. В равнобедренном треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигуротрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— высота, а значит, и медиана, т. е. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Теорема 20.2. Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 287 изображены прямая и окружность, которые на рисунке 287, а не имеют общих точек, на рисунке 287, б имеют две общие точки, на рисунке 287, в — одну.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Очевидно, что касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 287, в прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— касательная, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— точка касания.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 288 изображен отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, который касается окружности в точке Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Теорема 20.3 (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Доказательство: На рисунке 289 изображена окружность с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— точка касания прямой Окружность взаимное расположение окружности и других фигури окружности. Надо доказать, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Предположим, что это не так, то есть Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— наклонная к прямой Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Тогда из точки Окружность взаимное расположение окружности и других фигуропустим перпендикуляр Окружность взаимное расположение окружности и других фигурна прямую Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 289). Поскольку точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— единственная общая точка прямой а и круга с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигурне принадлежит этому кругу. Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур. Получили противоречие: перпендикуляр Окружность взаимное расположение окружности и других фигурбольше наклонной Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Теорема 20.4 (признак касательной к окружности). Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Доказательство: На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, отрезок Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— ее радиус, точка Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпринадлежит прямой Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Докажем, что прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— касательная к окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пусть прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигурне является касательной, а имеет еще одну общую точку Окружность взаимное расположение окружности и других фигурс окружностью (рис. 291). Тогда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— равнобедренный ( Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурравны как радиусы). Отсюда получаем противоречие: в треугольнике Окружность взаимное расположение окружности и других фигуресть два прямых угла. Следовательно, прямая Окружность взаимное расположение окружности и других фигурявляется касательной к окружности. Следствие. Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Часто при решении целого класса задач используют результат следующей задачи.

Если из данной точки к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Решение:

На рисунке 292 изображена окружность с центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Прямые Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— касательные, Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— точки касания. Надо доказать, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Проведем радиусы Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурв точки касания. По свойству касательной Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. В прямоугольных треугольниках Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигуркатеты Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурравны как радиусы одной окружности, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— общая гипотенуза. Следовательно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурпо гипотенузе и катету. Отсюда Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Общая схема решения задач на построение
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Окружность и круг

Окружность — это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка.

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа. Число. называется радиусом этого круга.

Содержание:

Определение окружности и круга

Определение. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки.

Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называют радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Определение. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр, называют диаметром.

На рисунке 2.151 изображена окружность с центром в точке О. Отрезок OA — радиус этой окружности, BD — хорда окружности, СМ — диаметр окружности.

Определение. Кругом называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного от данной точки.

Эту точку называют центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с тем же центром и радиусом (рис. 2.152).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример:

На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость: а) две окружности; б) три окружности?

Решение:

Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ: а) четыре части (рис. 2.153); б) восемь частей (рис. 2.154).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Центральные углы и дуги окружности

Пусть вершина некоторого угла совпадает с центром окружности (рис. 2.155). Угол АОВ мы будем называть центральным углом.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определение. Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Часть окружности, расположенная внутри угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Определение. Пересечение окружности и ее центрального угла называют дугой окружности.

Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги АВ на рисунке 2.155 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Можно ввести еще одну важную единицу измерения дуг. При измерении угловой величины дуги окружности за единицу измерения принимается угловая величина дуги этой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Эту единицу измерения угловых величин дуг называют радианом.

Сформулируем некоторые свойства измерения дуг окружностей:

— градусная мера дуги не зависит от размера окружности;

— соответствующие дуги двух концентрических окружностей на рисунке 2.156 имеют одну и ту же градусную меру (величину).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

— если дуга (на данной окружности) становится больше, то увеличивается и ее величина.

Окружности (или круги) равны, если равны их радиусы. Можно говорить и о равных дугах окружностей, но равные дуги могут быть или у одной окружности или у равных окружностей.

Определение. Две дуги одной и той же окружности или же равных окружностей называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Вписанные углы

Вершина угла может принадлежать окружности. В этом случае мы получаем вписанные углы.

Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 2.157 угол ABC вписанный. Его вершина В принадлежит окружности, стороны ВА и ВС пересекают окружность. В этом случае говорят, что вписанный угол ABC опирается на дугу АС окружности.

Величина вписанного угла выражается в тех же единицах, что и у других углов, а вот правило нахождения этой величины другое.

Теорема 40. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

При доказательстве теоремы 40 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунках 2.158—2.160: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 2.158); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.159); центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 2.160).

Из теоремы 40 можно получить следующие следствия:

Следствие 1. Все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны.

Следствие 2. Вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.

На рисунке 2.161 стороны вписанного угла ABC проходят через концы диаметра АС, поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример:

Точки А, В и С лежат на окружности с центром О. Найдите угол АОС, если Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Точки А, В и С лежат i

2. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

3. Найдите Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

4. Угол ABC, вписанный в окружность, опирается на дугу АС (1, определение вписанного угла).

5. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— центральный угол данной окружности (1, определение центрального угла), Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(1, свойство измерения вписанных углов).

6. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(5, свойство измерения центральных углов).

Взаимное расположение прямой и окружности

Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности, если эта прямая и окружность лежат в одной плоскости:

а) прямая имеет две общие точки с окружностью;

б) прямая имеет только одну общую точку с окружностью;

в) прямая не имеет общих точек с окружностью.

Перечислим условия, определяющие все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от расстояния между центром окружности и прямой.

1) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек (рис. 2.163). При этом окружность лежит по одну сторону от прямой.

2) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то окружность имеет с прямой единственную общую точку, т. е. прямая касается окружности (рис. 2.164). И в этом случае окружность лежит по одну сторону от прямой.

3) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность ровно в двух точках (рис. 2.165). В этом случае прямая разбивает окружность на две части.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Определение. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то говорят, что прямая и окружность пересекаются. В этом случае прямая называется секущей.

Можно доказать свойство секущей окружности.

Теорема 41. Если прямая проходит через точку, внутреннюю относительно окружности, то она является секущей, т. е. пересекает окружность в двух точках.

Определение. Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности, а общую точку прямой и окружности — точкой касания (рис. 2.166).

Все точки касательной, кроме точки касания, лежат вне данной окружности. Действительно, если предположить, что на касательной АВ имеется хотя бы одна точка, лежащая внутри окружности, то прямая АВ должна пересекать окружность в двух точках, поэтому она не может быть касательной.

Прямая и окружность могут иметь только одну общую точку, но через эту точку может проходить бесконечное множество прямых, не лежащих с окружностью в одной плоскости (рис. 2.167).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема 42. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

Теорема 43. Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности.

Пример:

Постройте касательную к данной окружности с центром О и радиусом Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, проходящую через ее точку А.

Решение:

Из условия задачи имеем: (рис. 2.168)

1. Окр. (О, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур).

2. Точка А на окружности.

3. Требуется построить касательную к окружности, проходящую через точку А.

Анализ. Предположим, что задача решена и построена касательная АВ к окружности (рис. 2.168). По теореме 42 касательная АВ перпендикулярна радиусу OA в точке А, поэтому, если построить прямую АВ, перпендикулярную OA, то эта прямая будет искомой.

Построение. Нужно построить перпендикуляр АВ к прямой OA в точке А. Это построение можно свести к построению серединного перпендикуляра к отрезку Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 2.168).

Задача имеет только одно решение. Действительно, касательная, проходящая через точку А, должна быть перпендикулярна прямой OA (т. 42), а через точку А в плоскости данного радиуса проходит только одна прямая АВ, перпендикулярная к прямой OA (т. 41).

Взаимное расположение двух окружностей

На рисунке 2.169 изображены две окружности с радиусом Окружность взаимное расположение окружности и других фигури с центром в точке Окружность взаимное расположение окружности и других фигури с радиусом Окружность взаимное расположение окружности и других фигурс центром Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Сравнив расстояние h между центрами Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигурс радиусами окружностей, заметим, что h > Окружность взаимное расположение окружности и других фигур+ Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Представьте теперь, что первая окружность передвигается так, что расстояние h между центрами Окружность взаимное расположение окружности и других фигури Окружность взаимное расположение окружности и других фигуруменьшается. Когда расстояние между центрами станет равным сумме радиусов h = Окружность взаимное расположение окружности и других фигур+ Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, окружности будут иметь одну общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются внешним образом, а их общую точку называют точкой касания (рис. 2.170).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

При дальнейшем уменьшении расстояния h окружности будут пересекаться, то есть иметь две общие точки (рис. 2.171). При этом Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

В случае, когда Окружность взаимное расположение окружности и других фигурокружности имеют лишь одну общую точку — точку касания (рис. 2.172). Все точки окружности меньшего радиуса, кроме точки касания, будут расположены во внутренней области окружности большего радиуса. В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним образом.

При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами, т. е. при условии Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 2.173), окружности не пересекаются, т. е. не имеют общих точек. Причем окружность меньшего радиуса расположена во внутренней области окружности большего радиуса. В частности, при h = 0 центры окружностей совпадут (рис. 2.174). Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Итак, в зависимости от соотношений между h, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурдве окружности могут не иметь общих точек, могут иметь одну или две общие точки.

а) Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— окружности не имеют общих точек;

б) Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— окружности касаются внешним образом;

B) Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— окружности пересекаются в двух точках;

г) Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— окружности касаются внутренним образом;

д) Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— окружности не имеют общих точек;

е) h = 0 — окружности являются концентрическими.

Пример:

Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами окружностей?

Решение:

Радиусы окружностей Окружность взаимное расположение окружности и других фигурперпендикулярны их общей касательной, проходящей через точку А (рис. 2.175). Поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 2.176 изображен треугольник ABC, вписанный в окружность, а окружность будет описана около этого треугольника.

Теорема 44. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр такой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 2.176).

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Теорема 45. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 2.177).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример:

В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислите радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности.

Решение:

1) Из условия задачи имеем:

1. Треугольник ABC, в котором Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, ВС = 12 см, АС = 16 см.

2. О — центр вписанной окружности.

3. Найдите радиус вписанной окружности.

4. ОМ = OL = ОК = Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, ОМ Окружность взаимное расположение окружности и других фигурСА, OL Окружность взаимное расположение окружности и других фигурВС, OK Окружность взаимное расположение окружности и других фигурАВ (2, определение окружности, вписанной в треугольник).

Надо найти Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Как это сделать? Мы видим, что CMOL — квадрат, и, соединив точку О с точками А и В, применим теорему 45.

5. АО, ВО, СО — биссектрисы углов Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(4, т. 45) (рис. 2.179).

6. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(4, теорема 19).

7. MA = КА, KB = LB (6).

8. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(1, теорема Пифагора).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Вычислим два раза периметр Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

9. АВ + ВС + СА = 2АВ + Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(1, 7).

10. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур= 8 см, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур= 4 см (1, 8, 9).

2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности R = 10 см (рис. 2.180).

Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них

Определение. Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

На рисунке 2.181 изображен пятиугольник, вписанный в окружность, его вершины А, В, С, D, Е лежат на окружности с центром в точке О, а значит, OA = OB = ОС = OD = ОЕ = Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус окружности, описанной около пятиугольника.

Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

На рисунке 2.182 шестиугольник ABCDEF описан около окружности.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Не всякий многоугольник можно вписать в окружность и не около всякого многоугольника можно описать окружность.

Далее сформулированы свойства и признаки вписанных в окружность четырехугольников.

Например, есть четырехугольники, которые можно вписать в окружность (квадрат всегда можно вписать в окружность, рис. 2.183). А вот ромб вписать в окружность (рис. 2.184) нельзя.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Теорема 46. Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Теорема 47. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Теорема 48. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Теорема 49. Если суммы длин противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вписанные и описанные правильные многоугольники

Теорема 50. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теорема 51. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема 52. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.

Радиус R окружности, описанной около правильного Окружность взаимное расположение окружности и других фигур-угольника со стороной Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, находится по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Радиус окружности, вписанной в правильный Окружность взаимное расположение окружности и других фигур-угольник со стороной Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, находится по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Сторону правильного Окружность взаимное расположение окружности и других фигур-угольника обозначим Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Можно доказать теорему:

Теорема 53. Сторона Окружность взаимное расположение окружности и других фигурправильного Окружность взаимное расположение окружности и других фигур-угольника выражается через радиус R описанной около него окружности формулой Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Из этой теоремы можно получить следующие следствия.

Следствие 1. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Действительно, Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Следствие 2. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Следствие 3. Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример:

Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник.

Решение:

Два перпендикулярных диаметра делят окружность на четыре равные части. Для построения правильного восьмиугольника необходимо каждую из этих частей разделить пополам, т. е. провести биссектрисы прямых углов, и полученные восемь точек окружности последовательно соединить отрезками. Получим вписанный в окружность восьмиугольник (рис. 2.185). Равенство сторон и равенство углов восьмиугольника следует из равенства всех восьми треугольников, которые равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, полученный восьмиугольник правильный.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина окружности

Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее многоугольника с достаточно малыми сторонами. Имеет место такое свойство длины окружности.

Теорема 54. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к диаметру обозначают греческой буквой Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(читается «пи»): Окружность взаимное расположение окружности и других фигургде С — длина окружности, R — ее радиус. Число Окружность взаимное расположение окружности и других фигуриррациональное, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур= 3,1416.

Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

На рисунке 2.186 изображена дуга АВ окружности с центром О.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, находится по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности следует, что Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на Окружность взаимное расположение окружности и других фигур; в частности, радианная мера угла 180° равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, радианная мера прямого угла равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример 1.

Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг?

Решение:

Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. Имеем:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Решая эту систему, получим х = 225°, у = 135°.

Пример 2.

Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение:

1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

2) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Поэтому Окружность взаимное расположение окружности и других фигура длина окружности равна Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Площадь круга

Коэффициент подобия двух кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Следовательно, площади двух кругов относятся как квадраты их радиусов. Обозначим радиус круга через S. Отношение площадей Окружность взаимное расположение окружности и других фигурдвух кругов, радиусы которых Окружность взаимное расположение окружности и других фигурзаписывается так:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Итак, площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов.

Коэффициент их пропорциональности, как и в случае с длиной окружности, равен числу Окружность взаимное расположение окружности и других фигур. Таким образом:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Площадь круга выражается формулой: Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Через диаметр площадь круга выражается формулой:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Части окружности и круга

Определение. Круговым сектором называют часть круга, лежащую внутри соответствующего центрального угла (рис. 2.186).

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус круга, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— градусная мера соответствующего центрального угла.

Определение. Круговым сегментом называют общую часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 2.187, 2.188).

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Площадь кругового сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус круга, Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак + надо брать, если Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 2.187), а знак -, если Окружность взаимное расположение окружности и других фигур(рис. 2.188).

Пример 1.

Проведите необходимые измерения и вычислите площади фигур, изображенных на рисунках 2.189—2.191.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Решение:

а) Окружность взаимное расположение окружности и других фигурправильный (рис. 2.189), точки К и L — середины его сторон, АКМ и CML — секторы, дуга каждого из которых содержит 60°. Поэтому

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— сторона Окружность взаимное расположение окружности и других фигур.

Например, при Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

б) Считая, что АОВ — сектор с углом 120°, О — центр окружности (рис. 2.190), получим:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус окружности. Например, при Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

в) Считая, что дуга АОС (рис. 2.191) проходит через центр окружности О, а ее радиус равен радиусу окружности и Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, получим:

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

где Окружность взаимное расположение окружности и других фигур— радиус окружности.

Например, при Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Пример 2.

Докажите, что сумма площадей двух заштрихованных луночек (рис. 2.192) равна площади прямоугольного треугольника ABC.

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Решение:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC через Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, гипотенузу через с (рис. 2.192), а сумму площадей заштрихованных фигур через S.

По теореме Пифагора Окружность взаимное расположение окружности и других фигур, т. е. Окружность взаимное расположение окружности и других фигурОкружность взаимное расположение окружности и других фигур

Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Окружность взаимное расположение окружности и других фигур Окружность взаимное расположение окружности и других фигур

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🔥 Видео

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 класс

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать

Окружность и прямая: варианты взаимного расположения

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задачСкачать

Взаимное расположение двух окружностей.Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Взаимное расположение двух окружностейСкачать

Взаимное расположение двух окружностей

70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

70. Взаимное расположение прямой и окружности

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
Поделиться или сохранить к себе: