Соотношение между радиусами вписанной и описанной окружности (6 видео)

Соотношение между радиусами вписанной и описанной окружности

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Содержание

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
Описанная и вписанная окружности треугольника
Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
Вписанные и описанные четырехугольники
Окружность, вписанная в треугольник
Описанная трапеция
Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
Обобщенная теорема Пифагора
Формула Эйлера для окружностей
Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
Соотношение между радиусами вписанной и описанной окружности
🔥 Видео

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` — гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. где — радиус вписанной окружности треугольника,

3. где R — радиус описанной окружности
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Найдем радиус вневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы По свойству касательной Из подобия прямоугольных треугольников АОЕ и (по острому углу) следуетТак как то откуда

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы:

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 90 изображена окружность с радиусом R и центром описанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 92 изображена окружность с центром О и радиусом вписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как и по свойству касательной к окружности то центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле где — полупериметр треугольника, — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть дан треугольник АВС со сторонами — центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Радиусы проведенные в точки касания, будут высотами этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— искомый радиус. Поскольку (как прямоугольные с общим острым углом СВК), то ,
откуда
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 95) из откуда Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD как вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное между гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому откуда
Ответ: см.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, проведенной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить а высоту, проведенную к основанию, — то получится пропорция .
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника:

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, — искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из по теореме Пифагора (см), откуда (см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной . Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( — общий) следует:. Тогда (см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 97) , из откуда . Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса . Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому ‘ откуда = 3 (см).

Способ 4 (формула ).

Из формулы площади треугольника следует:
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус его вписанной окружности.

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, — радиусы вписанной окружности. Так как AM — биссектриса и Поскольку ВК — высота и медиана, то Из , откуда .
В катет ОК лежит против угла в 30°, поэтому ,

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле . Откуда

Ответ:

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника то Значит, сторона равностороннего
треугольника в раз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону разделить на , а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на . Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. где с — гипотенуза.

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности где с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле , где — искомый радиус, и — катеты, — гипотенуза треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами и гипотенузой . Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом касается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Четырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и . Тогда Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Но , т. е. , откуда

Следствие: где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формула в сочетании с формулами и дает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Найти .

Решение:

Так как то
Из формулы следует . По теореме Виета (обратной) — посторонний корень.
Ответ: = 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где — радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как — квадрат, то
По свойству касательных
Тогда По теореме Пифагора

Следовательно,
Радиус описанной окружности
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу значения получим По теореме Пифагора , т. е. Тогда
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника радиус вписанной в него окружности Найти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в гипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как

, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу вписанной окружности, — высота . Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда по катету и гипотенузе.
Площадь равна сумме удвоенной площади и площади квадрата CMON, т. е.

Способ 2 (алгебраический). Из формулы следует Возведем части равенства в квадрат: Так как и

Способ 3 (алгебраический). Из формулы следует, что Из формулы следует, что
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со стороной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Дуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда

Аналогично доказывается, что 180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого (рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении или внутри нее в положении то в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше половины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма не была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Пусть ABCD — описанный четырехугольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок который касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим что противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоречию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Для описанного многоугольника справедлива формула , где S — его площадь, р — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Так как у ромба все стороны равны , то (см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что откуда Искомый радиус вписанной окружности (см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма найдем площадь данного ромба: С другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Поскольку (см), то Отсюда (см).

Ответ: см.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где делит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Необходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту трапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем высоту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямоугольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Тогда По свойству описанного четырехугольника Отсюда

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов и Так как как внутренние односторонние углы при и секущей CD, то (рис. 131). Тогда — прямоугольный, радиус является его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэтому или Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Так как по свойству описанного четырехугольника то
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Найти величину угла ВАС (рис. 132, а).

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то и прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, В прямоугольном треугольнике ABM откуда

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если то Так как АВ = AM + МВ, то откуда т. е. . После преобразований получим: Аналогично:
Ответ:

Замечание. Если (рис. 141), то (см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, — частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основаниями а и Ь.

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Пусть в трапеции ABCD основания — боковые стороны, — высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда . Известно, что в равнобедренной трапеции (можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Отсюда Ответ:
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями боковой стороной с, высотой h, средней линией и радиусом вписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD то около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки » . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике проведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику (рис. 148). Тогда теорема Пифагора может звучать так: сумма квадратов гипотенуз треугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если — соответствующие линейные элементы то можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:

Действительно, из подобия указанных треугольников откуда

Пример:

Пусть (см. рис. 148). Найдем По обобщенной теореме Пифагора отсюда
Ответ: = 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами и расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки , и — лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). Тогда— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой где b — боковая сторона, — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Радиус вписанной окружности Так как то Искомое расстояние
А теперь найдем d по формуле Эйлера:

откуда Как видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы:
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. И обратно.
Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны между собой. И обратно.
Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле где — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка — центр окружности, описанной около треугольника , поэтому .

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка будет центром описанной окружности, а отрезки , и — ее радиусами.

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник . Проведем серединные перпендикуляры и сторон и соответственно. Пусть точка — точка пересечения этих прямых. Поскольку точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Так как точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Значит, , т. е. точка равноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры и (рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка (рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника , отрезки , , — радиусы, проведенные в точки касания, . Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка будет центром окружности радиуса г, которая касается сторон .

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник . Проведем биссектрисы углов и , — точка их пересечения. Так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и (теорема 19.2). Аналогично, так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и . Следовательно, точка равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов и (рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле , где — радиус вписанной окружности, и — катеты, — гипотенуза.

Решение:

В треугольнике (рис. 302) , , , , точка — центр вписанной окружности, , и — точки касания вписанной окружности со сторонами , и соответственно.

Отрезок — радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда .

Так как точка — центр вписанной окружности, то — биссектриса угла и . Тогда — равнобедренный прямоугольный, . Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Плоские и пространственные фигуры
Взаимное расположение точек и прямых
Сравнение и измерение отрезков и углов
Первый признак равенства треугольников
Треугольники и окружность
Площадь треугольника
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Соотношение между радиусами вписанной и описанной окружности

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac~~$$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.~~

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

~~Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.~~