Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Окружность радиусом r высекает на сторонах четырёхугольника равные хорды, длина каждой из которых d. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Видео:Задание 16 из реального ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 из реального ЕГЭ по математике

Ваш ответ

Видео:Геометрия Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хордыСкачать

Геометрия Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,688
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Окружность и трапеция  | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеUW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем: Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Приведем решение Максима Волкова.

Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеUW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Тогда

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Проведем отрезки АО и ОВ. Заметим, что треугольник AOB прямоугольный, так как АО и ВО — биссектрисы углов трапеции при боковой стороне. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника находим:

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Следовательно, для высоты трапеции получаем:

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажите

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды докажитеДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

🎬 Видео

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

ЕГЭ Задание 16 Первый признак подобия треугольниковСкачать

ЕГЭ Задание 16 Первый признак подобия треугольников

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 21-27 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8Скачать

Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 21-27 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8

Планиметрия. №7. (16 задача ЕГЭ).Скачать

Планиметрия. №7. (16 задача ЕГЭ).

ПЛАНИМЕТРИЯ | 16 задача ЕГЭ | 23 вариант Ященко 2021 🔴Скачать

ПЛАНИМЕТРИЯ | 16 задача ЕГЭ | 23 вариант Ященко 2021 🔴

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и ВСкачать

№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и В

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

16 задача из ЕГЭ по ПРОФИЛЮ| УМСКУЛСкачать

16 задача из ЕГЭ по ПРОФИЛЮ| УМСКУЛ

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике
Поделиться или сохранить к себе: