Окружность всегда можно описать

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Окружность всегда можно описать

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Окружность всегда можно описатьАВС.

Доказать: около Окружность всегда можно описатьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Окружность всегда можно описатьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Окружность всегда можно описать

Точка О равноудалена от вершин Окружность всегда можно описатьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Окружность всегда можно описатьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Окружность всегда можно описать

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Окружность всегда можно описать

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Окружность всегда можно описатьВ = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьАDС, Окружность всегда можно описатьD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьАВС, откуда следует Окружность всегда можно описатьВ + Окружность всегда можно описатьD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьАDС + Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьАВС = Окружность всегда можно описать(Окружность всегда можно описатьАDС + Окружность всегда можно описатьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Окружность всегда можно описатьАDС + Окружность всегда можно описатьАВС = 360 0 , тогда Окружность всегда можно описатьВ + Окружность всегда можно описатьD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описать360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Окружность всегда можно описатьBАD + Окружность всегда можно описатьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Окружность всегда можно описать

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Окружность всегда можно описать

Окружность всегда можно описатьВСDвнешний угол Окружность всегда можно описатьСFD, следовательно, Окружность всегда можно описатьBСD = Окружность всегда можно описатьВFD + Окружность всегда можно описатьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Окружность всегда можно описатьВFD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD и Окружность всегда можно описатьFDE = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Окружность всегда можно описатьBСD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD + Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьЕF = Окружность всегда можно описать(Окружность всегда можно описатьВАD + Окружность всегда можно описатьЕF), следовательно, Окружность всегда можно описатьВСDОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD.

Окружность всегда можно описатьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Окружность всегда можно описатьBАD = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВЕD, тогда Окружность всегда можно описатьBАD + Окружность всегда можно описатьBСDОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описать(Окружность всегда можно описатьВЕD + Окружность всегда можно описатьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Окружность всегда можно описатьВЕD + Окружность всегда можно описатьВАD = 360 0 , тогда Окружность всегда можно описатьBАD + Окружность всегда можно описатьBСDОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описать360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Окружность всегда можно описатьBАD + Окружность всегда можно описатьBСDОкружность всегда можно описать180 0 . Но это противоречит условию Окружность всегда можно описатьBАD + Окружность всегда можно описатьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Окружность всегда можно описать

По теореме о сумме углов треугольника в Окружность всегда можно описатьВСF: Окружность всегда можно описатьС + Окружность всегда можно описатьВ + Окружность всегда можно описатьF = 180 0 , откуда Окружность всегда можно описатьС = 180 0 — ( Окружность всегда можно описатьВ + Окружность всегда можно описатьF). (2)

Окружность всегда можно описатьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Окружность всегда можно описатьВ = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьЕF. (3)

Окружность всегда можно описатьF и Окружность всегда можно описатьВFD смежные, поэтому Окружность всегда можно описатьF + Окружность всегда можно описатьВFD = 180 0 , откуда Окружность всегда можно описатьF = 180 0 — Окружность всегда можно описатьВFD = 180 0 — Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Окружность всегда можно описатьС = 180 0 — (Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьЕF + 180 0 — Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD) = 180 0 — Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьЕF — 180 0 + Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD = Окружность всегда можно описать(Окружность всегда можно описатьВАDОкружность всегда можно описатьЕF), следовательно, Окружность всегда можно описатьСОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВАD.

Окружность всегда можно описатьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Окружность всегда можно описатьА = Окружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описатьВЕD, тогда Окружность всегда можно описатьА + Окружность всегда можно описатьСОкружность всегда можно описатьОкружность всегда можно описать(Окружность всегда можно описатьВЕD + Окружность всегда можно описатьВАD). Но это противоречит условию Окружность всегда можно описатьА + Окружность всегда можно описатьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанная окружность. Всегда ли можно её вписать в четырехугольник? #егэ2024 #егэпоматематикеСкачать

Вписанная окружность. Всегда ли можно её вписать в четырехугольник? #егэ2024 #егэпоматематике

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Окружность всегда можно описать

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Окружность всегда можно описать

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Окружность всегда можно описатьЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Окружность всегда можно описатьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Окружность всегда можно описать

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Окружность всегда можно описать

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Окружность всегда можно описать

Окружность всегда можно описать

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Окружность всегда можно описать

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Окружность всегда можно описать

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Окружность всегда можно описать

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Окружность всегда можно описать

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Окружность всегда можно описать

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Окружность всегда можно описать

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Окружность всегда можно описать

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Окружность всегда можно описать

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

📺 Видео

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Окружность и все, что нужно про нее знать. ТеорияСкачать

Окружность и все, что нужно про нее знать. Теория

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 классСкачать

Описанная окружность. Видеоурок 22. Геометрия 8 класс

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 классСкачать

Урок по теме ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 класс

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис ТрушинСкачать

Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: